小学数学线上几何作图教学实践探索
——以“用多功能尺作图”为例

马 娅

上海市徐汇区康健外国语实验小学 上海 200233

一、引言

我国教育数字化转型顺应社会数字化转型和世界教育发展趋势，伴随“停课不停学”和大规模在线教育的实施而逐步发展为国家战略［1］。在线同步教学让师生在空间分离的情况下实现实时的教与学，建立现场参与感，可实现接近课堂教学的及时交互［2］。

得益于“空中课堂”经验和教育数字化转型的推进，上海中小学在线教育的网络环境更加优化，平台体验更加友好，区校方案更加完备［3］。因此，在进行线上教学时，笔者能够更加从容熟练地操作在线教学平台，并基本掌握了平台用于进行线上教学的主要功能。通过实践，学生也基本能够在线上课堂中发言和进行互动。

然而，针对一些特殊课型，教师在实际教学中仍然面临诸多问题和挑战。具体而言，几何作图教学注重实践操作，在线教学平台如何满足这种需求，教师如何有效地引导学生进行在线互动和实践操作，以及如何评估学生的学习成果等方面，都需要我们进一步探讨和研究，以期找到更有效的解决方案。

本节“用多功能尺作图”课程属于沪教版数学教材四年级第二学期第五单元“整理与提高”单元，是一节几何复习课。学习几何，对于培养学生的空间观念和推理能力具有非常重要的意义。学生的空间观念是在观察和操作中形成的，画图是简单易学的几何操作活动，也是几何学习中效果十分显著的直观手段［4］。不同于其他新授课，几何教学更注重动手操作实践。在几何作图教学中，除了课堂互动之外，教师还需特别关注学生的作图表现。然而，线上教学的特殊性使得线上几何作图教学的难度进一步加大。因此，如何有效地实施线上几何作图教学成为一个值得探讨的问题。此外，学生手头没有教材中的多功能尺，教师需要选择合适的替代工具来进行几何作图教学。同时，考虑到本节课是一节几何复习课，学生已经学过如何用普通三角尺画垂线和平行线，因而本节课的教学目标和教师在教学过程中的关注重点需要进行相应的调整。

基于对上述问题的思考和探索，笔者借助信息化平台，对常用的在线教学软件进行了对比研究，旨在更好地呈现学生的作图过程，力求为几何作图教学提供更加适合的工具和平台。同时，结合各类教学资源，笔者努力将本节课的教学内容进行整合和完善，提高线上几何作图教学的效果和质量，以确保学生能够更好地掌握知识，促进他们的学习与发展。

二、教学准备与铺垫

（一）适应新背景，选择合适的教学工具

本节课教材中的多功能尺（图1）在日常生活中并不常见，在对学生进行了初步调查后，笔者发现他们大多已有“带量角器的三角尺”。这种尺同样具备多种功能合一的特点，可以实现教材中多功能尺的作图功能，成为其有效替代品。因此，笔者选择了这种带量角器的三角尺（图2）作为教学工具，以便于学生进行学习。

图1 教材中的多功能尺

图2 本节课使用的多功能尺

（二）应对新要求，使用恰当的教学软件

与其他新授课相比，几何教学更注重学生的动手操作实践。然而，由于线上教学本身有一定的局限性，教师要展开具体的教学操作，要关注学生的作图，还要与学生及时互动并反馈，这使得在线上开展几何教学的难度进一步增大。为了解决这一难题，笔者将线上的互动操作作为本节课的重点研究问题，以实现既能观察学生的作图情况，又能及时进行师生互动。

笔者对教学中常用的几个在线课堂软件（如钉钉在线课堂、腾讯课堂、ClassIn 平台等）进行了研究和对比。通过比较和尝试，笔者发现钉钉在线课堂的“全员看他”功能可以在学生交流作图过程时使用。当教师点击该按钮时，学生的摄像头内容会出现在主屏幕上，使得所有学生都能清晰地看到该学生的作图过程，从而加强了线上教学时的及时交互。因此，在经过一番比较后，笔者决定采用钉钉在线课堂作为本节课的线上教学平台。

（三）基于新操作，提升学生软件使用的熟练度

在确定了教学软件后，为了提高学生的课堂参与度和作图过程的展示效率，笔者对学生进行了操作培训。钉钉在线课堂中的“旋转”按钮能帮助学生在视频设置中旋转屏幕，以便更好地展示作图过程。学生只需按“旋转”按钮两次，再将笔记本电脑调整到与桌面呈60°左右的角度，便能够将作图过程清晰地展示在屏幕上。由于钉钉在线课堂是师生平时常用的教学工具，学生对其较为熟悉，经过培训后，他们都能熟练地独立完成操作。此外，教师还能通过屏幕上的“翻页”功能，逐一查看学生在课堂上的画图情况，以便更好地指导他们的学习。

三、教学实践与思考

（一）聚焦叠加组合，利用分屏板书呈现效果

在课堂教学初期，笔者通过复习已学的几何图形，梳理并巩固了迄今为止所使用的作图工具，并启发学生思考：如果需要画不同的图形，就需要准备不同的工具，这增加了操作的复杂性。因此，笔者引导学生思考是否可以将直尺、量角器和三角尺的功能进行叠加，从而创造出一把集多种功能于一体的尺，初步形成“叠加组合”的作图工具思想，进而引出本节课的教学工具——多功能尺。在学生对教学工具的探索过程中，笔者通过将简单功能不断叠加形成多功能尺的过程，培养其好奇心，并渗透创新设计的一种思维方式，从而有效地落实了教学目标。

在展示了本节课所研究的教学工具后，笔者引导学生进行观察和比较，让他们自主探究多功能尺与普通三角尺的不同之处，激发其主观能动性。学生发现了多功能尺与普通三角尺的异同及其每一部分的作用，并了解到这是一把将直尺、三角尺和量角器相结合的多功能的尺。在此基础上，笔者利用多功能尺与之前普通作图工具的共同点进行作图，巩固了旧知。

导入是课堂教学的重要环节，对于学生能否在短时间内安静地进入学习状态，起着至关重要的作用［5］。因此，在本节课的导入环节中，笔者采用了左右分屏的模式，左侧大面积区域用于进行教学，右侧区域则用于呈现最初复习引入的几何图形，保留了学习过程的痕迹（图3）。这样，学生能始终了解学习的进程，并在作图工具叠加组合的过程中逐步构建自己的知识框架。这种方法不仅提高了学生的学习兴趣，还使他们能够清晰地把握整节课的主脉络。

图3 左右分屏板书

（二）聚焦多功能作图，关注学生几何操作

在复习巩固了多功能尺与普通作图工具的共同点并作图后，笔者进一步通过实际问题创设情境：由于长时间使用，三角尺的直角部分可能会出现磨损，导致在画垂线时需要借助画延长线来完成。针对这一情境，笔者提出一个问题：能否利用多功能尺的特殊功能更方便地作图，以避免这种情况？在教学过程中，笔者给足学生参与的时间和空间，让他们根据自己的经验独立自主地进行探究学习，为他们提供了动手探究的机会［6］，引导他们通过探索和思考利用多功能尺寻找新方法来作垂线。随后，学生通过观察发现多功能尺上有4 组互相平行的短线，可以为快速画平行线提供便利。学生自主尝试使用多功能尺作图，这激发了他们自主研究解决问题的兴趣，同时提升了他们的几何学习能力。

在学生交流并归纳了画垂线的新方法之后，笔者利用钉钉在线课堂的“题组”模式来巩固练习操作，丰富了线上教学的形式（图4）。这种模式不再单纯依赖于教师的讲授，而是将学生的“被动学习”转变为“主动探索”。同时，“题组”模式还巩固了“求点到直线的距离”以及“垂直于同一条线的直线互相平行”等知识点。

图4 “题组”模式示例

在利用多功能尺的特殊功能来画垂线和平行线的作图过程中，学生按照课前的要求将摄像头对准作图纸。笔者通过钉钉在线课堂中的“屏幕翻页”功能，可以观察到每个学生的作图情况。根据实际情况，笔者能及时给予提示和指导。

在学生交流“过直线l外一点B画直线l的垂线b”的过程中，笔者重点关注学生是否能使用规范的语言表述操作过程。以下示例为学生在交流演示时的表述：

生：在画这条垂线时，因为直线l上没有点，无法与量角器的中心点重合，所以我选择用90°的刻度与点B重合。但我发现量角器的零刻度线无法与直线l重合。因此，我利用了尺上的刻度线与边垂直的关系来作图：

① 选择一条较长的刻度线，与直线l重合；

② 平移三角尺，使这条边经过点B；

③ 描出线；

④ 标上直角符号；

⑤ 写结语：b⊥l。

通过学生的操作描述，笔者不仅可以了解他们对几何知识的掌握情况，还可以加强对其几何直观能力的培养。同时，其他学生也可以通过其操作描述来检验自身作图的准确性，拉近彼此在线上教学中的距离。

而在画两条距离为5 cm 的平行线时，考虑到这是本课新学的方法，在学生完成作图并演示后，笔者在课件上再次演示了一遍操作过程，以弥补学生在摄像头下作图的清晰度不足的缺陷。

（三）聚焦对比猜测，鼓励学生自主学习探索

在利用带量角器的多功能尺按要求画出垂线和平行线，并能够规范表述作图过程后，笔者引导学生回归课本，并展示了教材中的多功能尺。学生通过对比观察，发现了它与自己所使用的多功能尺的共同点，并猜测了其各部分功能与作用。在此基础上，学生了解了该教学工具的特点，并在课后进行了自学并尝试作图，实现了知识的拓展和迁移。

为了进一步延伸教学内容，笔者引入了经过线段中点画垂线（中垂线）的作图方法，并将圆规作图与该方法相结合。这一作图方法与学生所学的知识完全不同，引发了学生的认知冲突，激发了他们自主探究的兴趣。同时，笔者将课件板书中“圆”的复习部分进行了融合，为后续的探索研究做了铺垫。

在进行这一部分的教学设计时，笔者曾面临如何将圆规作图经过线段中点画垂线的过程通过线上教学呈现给学生的挑战。经过比较权衡，笔者最终选择了使用媒体动画的形式来展现这一验证过程。这一举措在增加了教学多样性的同时，也能够有效地调动学生的学习积极性，开阔他们的眼界，完善他们的知识层面［7］。

（四）聚焦创新想象，引导学生设计多功能作图工具

在课程结束阶段，笔者首先回顾总结了本节课所学的内容，强调了课上所介绍的两种多功能尺的设计理念，即将直尺、量角器、三角尺的功能通过叠加组合整合在一起。笔者结合实际，进一步引导学生理解生活中存在其他多功能产品，它们都是将基本功能进行重新组合和优化设计构造而成的。学生结合本节课所学内容和分屏板书，自然而然地进行深入思考：是否有可能将直尺、量角器、三角尺和圆规这四种常用作图工具集成为一个多功能工具。他们会很容易地想到尝试将圆规的功能叠加到多功能尺中。为了给他们提供更多的灵感，笔者展示了一段市售产品介绍视频。这一产品已将圆规与多功能尺结合在一起，验证了多功能设计的可行性和实用性。笔者鼓励学生在课后进行自主探索和创新实践，尝试设计自己的多功能作图工具。

四、教学反思与后续探索

（一）夯实几何作图能力基础，渗透小升初知识衔接

作为一节复习提高课，本节课旨在巩固学生在几何作图方面的技能，并在此基础上提高其灵活运用工具进行几何作图的能力。学生已具备使用普通三角尺画垂线和平行线的基础，因而本节课的重点在于引导他们在作图的过程中根据多功能尺的功能，采用适当的方法正确、清晰地作图，并能准确表述作图过程。在上课过程中，笔者特别关注了这一环节，并努力确保落实该教学目标。

根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的要求，本节课所涉及的“用多功能尺作图”内容是图形与几何领域新增加的一个点——利用直尺和圆规来作图的活动。这是为初中阶段的尺规作图打下基础，其意义是培养学生的几何直观等关键学科素养，使其感受到数学图形的直观存在，清晰地感知图形组成元素之间的空间关系。同时，教师通过增加动手操作的环节，可以让学生多一些机会动手作图，增强学生对数学的感觉，改变学习方式［8］。由此可见，将这些内容落实到教学过程中是十分重要的。

因此，在本节课的教学过程中，笔者注重学生的实践操作，鼓励他们在课堂上积极动手作图。比如，通过让学生尝试利用线段的中点画垂线（中垂线），教师随后演示用圆规作图的方法，使学生意识到圆规不仅可以用于画圆，还可以用于画垂线。这种教学方法激发了学生对后续学习的兴趣，为他们在初中阶段进一步学习“尺规作图”打下了基础，从而实现数学学习的小升初知识衔接，使其形成初步的几何直观。

在后续的几何操作课程中，笔者也继续贯彻这一理念。例如，在五年级第一学期的平行四边形作图教学中，笔者鼓励学生自主探索，根据平行四边形的特性，通过已知边确定其对边位置，从而规范作图过程。在操作过程中，笔者同样关注学生的作图及表述的过程，这也是为他们将来的初中几何学习打好基础。

（二）结合几何教学，培养学生创新意识

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对于创新意识的培养有明确的要求，提倡学生勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题。不同于平常使用的一般作图工具［9］，本节课“用多功能尺作图”内容所使用的是融直尺、三角尺和量角器功能为一体的尺，它将几个基本工具组合到一起，形成了一个创新的作图工具。本节课所要探究的内容也与创新意识培养要求相呼应。教师利用几何教学这个培养学生创新意识的重要平台，通过与生活实际相结合的教学方式，聚焦“多功能”这一核心概念，采取叠加组合的方式引导学生循序渐进地探究多功能尺的功能。这在作图工具创新的基础上鼓励学生自主探究，达到了教法创新的目的。教师围绕核心问题，巧设驱动性问题，让学生学会独立思考、自主尝试，并在操作中体验感悟，从而使学生的创新意识和创新思维能力在几何教学中得到锻炼和发展。

（三）整合不同的教学方式，高效开展几何教学

线上教学可以利用多媒体和网络技术等丰富的教学手段，为几何教学提供更为丰富和多元的可能性。比如，教师通过几何图形的动态演示，能够帮助学生更好地理解几何概念和定理，提高他们的学习兴趣和积极性。本节课以钉钉在线课堂为线上教学平台，对线上几何教学方式进行了探讨。在教学形式上，笔者在线上教学实践过程中预设了多种手段，如多媒体演示、实时互动等，做了许多前期准备。然而，笔者在实际线上授课中发现，在课堂上逐一纠正学生的画法仍存在一定的难度，需要在学生演示时进行评价反馈。此外，学生的设备、网络条件与操作熟练度也会对课堂教学时间产生影响，使得操作复杂性高于线下教学。学生交互形式以师生互动为主，生生互动形式有限，多为使用“黑板”功能打字交流或进行追问交流，大规模的交流互动较少。在线学习时，学生的注意力也容易分散。因此，为了提高课堂效率，教师需要设计一些有趣的互动环节来吸引学生的注意力，并控制好教学讲授的时长。

回到线下课程，本节课的重点也应关注学生的自主探索以及规范作图并表达的过程。笔者预期此过程更便于观察全班的操作情况，可以采用小组合作与评价等多样化的教学模式，巩固知识点，强化其落实和核心素养的培育。线上的板书模式可以延续应用，保留多功能尺的功能叠加与验证，保持有序性和整体性。

五、结语

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，要合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革［10］。在几何教学中，信息化技术和平台的应用为教师提供了更多的教学资源和手段。结合几何教学的特点，笔者通过这些技术和平台更新了教育理念，拓展了教学方式，对几何教学的本质和目标也有了更加深入的思考。笔者将不断总结提炼线上教学的宝贵经验，合理利用信息技术，基于学情进行探索和实践，夯实学生的几何作图能力基础，培育学生的核心素养，更有效地进行几何教学。