数学思考的实施与实现
——以“用数对确定位置”教学为例

浙江省金华师范学校附属小学 余庆玲

数学是思维的体操，数学思考是判断学生是否深度学习的一个重要指标。

能引起学生感兴趣的不是知识与技能，而是隐含在背后的思考。

思考来源于感想，有所感才会有所想，而感来源于体验。

这些道理都是深受广大一线教师认可的，但如何做到是个关键问题。本文以“用数对确定位置”一课为例，谈谈数学思考缺失的原因及课堂教学中关于“数学思考”的实施与把握。

一、分析：“用数对确定位置”的数学思考消失的原因

“用数对确定位置”，北师大版、人教版、苏教版等教材都是从教室的座位图出发的，多年以来，教师也已形成一个基本的教学套路——“以教室座位图为情境，描述某个学生的位置→学生发现描述方法的差异→感受到需要对‘列’和‘行’的认定统一规则→将座位图抽象为点子图、格子图→认识数对→练习”。这样的教学，表面上看很顺畅，但当追问学生“通过这节课的学习，你有什么收获或感想”时，学生通常只能说出“通过这节课的学习，我知道了什么是数对，如何用数对来确定位置”。如此看来，在这节课的学习中，学生属于一种表层的记忆学习，而这两个显性目标一般用5分钟左右即可掌握下来，同时知识、技能背后的数学思考是明显缺失的。笔者不禁反思：这节课的数学思考是怎么消失的？

（一）教学目标的缺失

一节课，完整的教学目标除了从“四基”的角度来思考外，教师还可以从它的“显性目标”和“隐性目标”两个层面来思考。“显性目标”指的是这节课的知识点和技能点，“隐性目标”指的则是这节课的体验点。“显性目标”通常指向应试，而“隐性目标”则指向成长。本课的教学目标整理后如下表。

显性知识知识点 明确数对的意义当下的考试技能点 掌握用数对确定平面上物体的位置隐性知识 体验点 角色转换（观测点：自我→对方） 学生的成长

本节课，学生最大的一个纠结点：学生看到的班级座位方向和教师看到的班级座位方向是相反的，而直角坐标方向相当于以教师为观测点，即数学知识与学生的经验产生了冲突。观测点由“我→老师”的转换，这个体验点就是这节课的意义。

“我→老师”角色转换的价值：我是这样看的，但别人不是这样看的，当这个观念放在脑子里时，他就具有了同理心，实现了换位思考，所谓的理解、交流、沟通都在这里面了，这也就真正达成了学科“育人”的目标。

（二）课堂节奏的失误

课堂节奏是有轻重缓急的，本课中的显性知识适合以“演示+告知”的方式进行，它适合轻而快；而“角色转换”这一隐性知识是无法通过观察和讲解来完成的，必须通过体验才能实现，因此它适合重而缓。

如果学生没有经历过“角色转换”的活动，教师直接告诉学生：“教室的座位方向是为了方便老师而规定的，因此要以老师为观测点，此时‘组’的方向就是从左往右，‘号’的方向是从前往后。”这样教学可以吗？当然也可以。但这会给学生留下严重的后遗症：“为什么1组1号的座位始终没动，而我和老师看到的座位方向会不一样？”学生的困惑点得不到疏通，而教师把一个对于孩子来说并不大认可的结论强塞给他们，长此以往，他们就干脆不思考了，同时也错失了良好的“育人”机会。

（三）学习材料的偏差

体验需要经历活动，活动需要有材料。对于“角色转换、换位思考”的体验，教室座位图并不是最理想的学习材料。因为在教室座位图中，学生很容易自我代入，把自己作为其中的一员，然后以自己为观测点来确定位置。那如何才能去“自我”，以对方的角度来观察呢？

教学中，有些教师会请几个学生站在讲台上，让他们进行换位观察，并把观察到的结果告诉其他同学；有些教师会用相片的方式，让学生观察教师与座位图之间的方向关系……但当学生回到自己的座位，离开了相片之后，他们便又掉回了原点。

我们发现，把人物换成动物，能较好地实现这一目标。因为没有学生会把自己当成动物中的一员，让他给一班动物排座位时，他就自然而然地把自己作为领导者（或教师）的角色，然后便能以教师的角度为观测点来确定位置。

简言之，没有提供充足的时间、空间及合适的学习材料是导致数学思考消失的主要原因。

二、实践：数学思考如何把握与实现

根据以上思考，重构“用数对确定位置”一课的教学流程如下。

环节一：激活经验 感悟规律

师：谁能给大家介绍一下你在教室里的座位（多个学生）？

师：大家在介绍自己的座位时有什么共同点？

生1：都要用两个数来表示。

生2：都是先“组”再“号”；“组”都是从教室门口依次往另一边数，“号”的方向是从前往后。

师（小结）：看来在教室里确定一位同学的座位需要两个数据。

环节二：改造经验 深入思考

1.产生冲突

（教师呈现图1左侧的座位表）

师：你能在这张座位表里找到3组2号吗？你是怎么想的？

生：通常会出现图1右侧四种不同的想法，用黑点代表“3组2号”，生2的认可度最高。

图1

师：这四位小朋友的差别在哪里？

生1：他们对“1组1号”规定的位置不同（标准不同）。

生2：“组”和“号”数的方向不同。

师：对于同一个位置却出现多种不同的结果，你有什么想法？

生：这样的话，世界会很混乱。

师（小结）：看来确定几组几号，我们需要统一“1组1号”这个标准或对“组”和“号”统一方向。

2.经历体验

（教师提供操作板，如图2）

图2

师：现在每位小朋友手上都有一班小狗，请你给小狗排排座位，并给坐在3组2号的小狗画上圈。

师：你找到的3组2号小狗在哪里？你是怎么确定的？

生：因为小狗是面朝我们的，所以按照平时习惯，“组”是按从左往右来确定的，“号”是按从前往后确定的。（边比画边说明，如图3，学生意见很统一）

图3

师：结合小狗的座位图，你觉得教室座位的方向是为了满足谁的需要？

生：老师。

师（小结）：教室的座位图是为了方便老师而规定的，通常把讲台的位置统一在正下方，再以老师为观测点，根据观察习惯，从左往右为“组”，从前往后为“号”。

3.角色转换

师：现在回头看图1中对于“3组2号”的四个不同的结果，你认为哪幅图的方向顺序是符合以老师为观测点，并且较为合理的？

生：（位于第三象限）生3同学的位置结果最合理，因为要以老师为观测点，老师从左往右看为“组”，从前往后看为“号”。

师：那图4中的这两幅图有什么不同？

图4

生：右上角（第一象限）的座位图是以同学们为观测点，是同学们看到的方向和结果；左下角（第三象限）的座位图是以老师为观测点，是老师所看到的结果。

师：同学们，通过找“3组2号”的小狗和确定“3组2号”的座位，你们有什么感想？

师（小结）：学会站在他人角度思考问题。

环节三：完善经验 建立模型

动画展示下列学习材料，如图5。

图5

师：这样的表示方法你能读懂吗？读懂了什么？

生1：“组”表示的是横轴，“号”表示的是纵轴，几组几号代表的是横轴与纵轴所形成的具体位置。

生2：用一对数就能确定平面上的某个位置。

师：（3，2）是一个数对，由括号、两个数字加逗号组成，读作“数对三二”，数对的规则是“先横再纵”，它可以确定一个具体的位置。

师：如果要表示老师的位置，用数对怎么表示？

生：如果老师站在第一组的前面，就是（1，0），如果老师站在门口就是（0，0）。

师（小结）：刚才我们以老师为确定位置的起点，这个起点也叫原点，用数对（0，0）表示。从原点出发，分别画一条从左往右的横轴和一条从下往上的纵轴，在间隔相同的距离处标上相应的数字，这就是数学中的平面直角坐标系。

三、讨论：进行数学思考的要素

思考，需要借助问题才能进行。而发现问题、提出问题都需要具备一定的数学眼光才能完成，在分析问题、解决问题中又少不了数学思维和数学语言。因此，数学眼光、数学思维、数学语言是实现数学思考的三要素。

（一）会用数学的眼光观察现实世界

数学是以真实世界里并不存在的抽象数量关系和空间形式为研究对象的。因此，生活在真实世界里的我们，需要通过创设一个真实的问题情境，再“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，找到代表“真实”的本质属性，进而得到数学的研究对象，并寻得对象之间的数量关系或空间形式，而数学眼光就是通过这样的思维活动逐渐形成的。数学眼光是一种建立联系的眼光，它搭建起现实与数学之间的桥梁。数学眼光的培养路径可参见图6：

图6

如“用数对确定位置”一课的“环节一”中，“向大家介绍自己的教室座位”，既创设了一个真实的问题情境，又是对真实位置属性的一种抽象，抽象出与解决问题相关的“组”和“号”两个元素；“大家在介绍自己的座位时有什么共同点”便是利用直观与比较、抽象与概括来实现对元素之间“规律”的感悟，建立数对的基本模型。

（二）会用数学的思维思考现实世界

推理是数学思维活动中最能反映数学独特思维价值的部分，因此，数学思维能力的核心是推理能力。数学推理分为演绎推理和合情推理，课堂教学中的讲解法（先讲解相关知识、技巧，再练习）就是一种对演绎推理能力的培养。合情推理能力培养通常可以从这三条路径进行：一是通过对前后知识的对比与分析，从而进行判断与推理；二是基于学生的生活经验，利用学生的“活明白”，通过推理、辨析“想明白”，进而“学明白”；三是创设问题情境，在问题解决的过程中，综合运用所学知识和方法，通过猜想、实验、验证、推理等活动发展学生的思维能力。数学思维的培养路径可参见图7：

图7

在“用数对确定位置”一课的“环节二”中，走的是经验改造的路径：先是基于学生已有座位经验产生了认知冲突（对于“3组2号”这个座位产生了四种不同的位置结果，这是学生的“活明白”）；再通过给小狗排座位，跳出自我的角色代入，体验到“转换观测点，观测到的结果就会发生变化”，利用改造后的经验来进行由自我到教师角色转换的推理，这是“想明白”的过程。而“环节三”中从经验向模型的建构则是学生的“学明白”。

（三）会用数学的语言表达现实世界

语言是思维的载体，是思维的工具，是思维的桥梁。离开了数学语言，数学思考就如同无水之池，而数学建模可以说是数学语言表达的最高层次。在数学思考过程中，学生必须借助数学语言才能使思维外显和延续，彰显智慧。加强数学语言能力的培养，可以让思维更严密、更开放、更准确。数学语言的培养路径可参见图8：

图8

文字、符号、图形三位一体，在直观语言和抽象语言的相互转化中，学生的数学语言经历严谨规范→精练准确→简洁可变的提升过程。在“用数对确定位置”中，“3组2号”是一种数学语言，（3，2）是一种数学语言；实物图、示意图、坐标图等是直角坐标系的不同数学语言，数学语言不断升级的背后，是学生思维水平的提升。

作为数学课程总目标的“三会”，它是一个整体，三者互为支撑。一方面，数学眼光的观察和数学语言的表达都离不开数学思维；另一方面，数学思维也肯定要在“眼光”和“语言”拓展出的空间中开展。“眼光” “思维”和“语言”清楚地告诉我们数学课程要学什么，“观察” “思考”和“表达”清楚地告诉我们应该怎么学。