基于NURBS 的反射面天线结构和辐射性能分析

雷震，任毅行，陈浩祥，刘宇华，赵武林，李东伟

（1.长安大学 工程机械学院，陕西，西安 710000；2.中国电子科技集团公司第三十九研究所，陕西，西安 710016）

大口径反射面天线与其他类型天线相比，具有高增益、高分辨率、宽频带和低成本等优点，被广泛应用于射电天文学、地面卫星通信、深空探测等场景，这些天线的工作频率一般非常高，反射面误差将大大降低其电磁性能[1–4].

天线的机械结构会导致反射面误差，面板的制造、装配误差称为随机误差，而环境载荷例如太阳热[5−8]、重力[8−9]和风[10]，会造成结构变形，称为系统误差[11].文献[3，12 − 21]中研究了随机误差对天线性能的影响，RUZE[12]提出的Ruze 公式给出了增益损失与反射面随机误差均方根（root mean square,RMS）之间的关系.在存在系统误差的情况下，辐射特性在很大程度上取决于变形后的反射面形状，且无法通过反射面均方根（RMS）来预测[11]，很多研究通过假设反射面变形函数来研究其对天线辐射特性的影响[2，3，22–31].大型天线的误差主要来自于系统误差，其辐射方向图的计算需要进行机电耦合分析[31]，即通过结构分析获得变形反射面，再对变形反射面进行电磁仿真.传统分析流程如图1 所示，存在如下缺点：①模型异构.几何模型、结构分析中的网格模型和电磁仿真中的网格模型由不同的数学形式表示，几何模型在非均匀有理B 样条（NURBS）空间S中表示，其余网格模型用拉格朗日多项式（小平面）表示，空间 分 别 为S(M)、Sd(M)和Sd(Mf)，其 并 不 等 价，即S≠S(M)=Sd(M)≠Sd(Mf)，且彼此转换复杂，且会损失几何精度，见图1，最终降低电磁分析的精度和速度.② 结构分析和电磁仿真的相互约束.不同的物理分析对网格尺寸的要求有很大差异，电磁仿真中使用的单元通常比结构分析中使用的单元小得多.如果采用相同的网格，结构分析速度将大大减慢；如果使用不同的网格，电磁网格只能通过在变形后的结构网格上再次划分网格得到，操作十分麻烦，且转换时不仅会损失几何精度，还会造成机械变形结果的不精确引入.

图1 机械变形天线辐射方向图分析的传统方法流程图Fig.1 The traditional flowchart for radiation pattern analysis of mechanically deformed antennas

本文提出一种新的机电耦合计算方法，通过引入结构分析的等几何方法（isogeometric analysis, IGA）和电磁分析的NURBS 上的物理光学方法（NURBSPO）[14]，将几何造型、多场分析统一于NURBS 框架内，不同物理场分析不会彼此限制，但却能无缝、准确地共享信息，可高效完成力致形变大型天线电磁性能评估.

1 理论部分

1.1 机电耦合分析框架

本文方法的框架如图2 所示，也包含了图1 中涉及的3 个部分，但在新框架下，结构仿真采用等几何分析获取变形，电磁仿真采用基于NURBS 的PO 方法获取电磁性能.其中的所有模型均由NURBS 表示，如图2 所示，通过插入NURBS 节点[32]，CAD 模型可以转换为网格模型进行结构分析，输出的变形后网格模型变为精细网格模型然后进行电磁仿真分析，节点插入不会改变NURBS 的形状，但会创建层次蕴含的NURBS 空间，即S⊆S(N)=Sd(N)⊆Sd(Nf)，底层模型可精确表示上层模型.模型转换不会缺失几何和变形信息，可据需要选择结构分析及电磁分析的网格尺寸，模型的层次蕴含性使多物理场分析更加方便和灵活.

图2 机械变形天线辐射方向图分析的流程Fig.2 Our flowchart for radiation pattern analysis of mechanically deformed antennas

变形反射面法线的变化会偏离电磁波的方向，使其无法完全收敛于焦点；电磁波从焦点至口径面传播距离的变化也会导致口径面的相位差，其均影响天线电磁性能，有研究考虑了上述部分或全部因素[24,33]，但对变形和辐射公式进行了各种简化或假设.本文提出方法未进行任何假设，且计算本身也并没有缺失任何几何或变形信息.本方法具有以下优势：①所有模型均为同构模型，多场分析直接在CAD模型上进行，不需要传统的面片式网格划分，结构/电磁分析也不再需要网格处理和转换，几何信息和变形得以在不同分析之间便捷、无缝且准确地传输；②该方法突破了结构分析和电磁分析的相互制约，两类分析可根据需要采用对应合适的网格尺寸.

1.2 等几何分析

等几何分析可以视为有限元分析（finite element method, FEM）的一种变种，最先由HUGHES[34]提出，随后成功应用于传统可使用FEM 的任何场合，如结构分析[35]、流体分析[36]、流固耦合[37]和电磁分析[38].

CAD 曲面由NURBS[32]表示为：

式中：Pi,j为控制点的坐标；为NURBS 基函数.曲面在二维参数化网格上进行定义，图3 为一个NURBS曲面的示例.

图3 NURBS 表示的CAD 模型Fig.3 The CAD model using NURBS

力学分析中结构方程的弱形式为：

式中：W为系统的总功；S和E分别为结构的应力和应变；b、t和u分别为体力、边界力和位移.与传统有限元方法的区别在于试函数形式，式中试函数δu在NURBS 空间中进行展开，因此，位移将也用NURBS表示，位移变量将附着在控制点上.

图4 为等几何分析的示意图，网格创建是通过插入节点至NURBS 表示的CAD 模型中，见图3.

图4 等几何结构分析示意图Fig.4 A schematic graph of isogeometric structural analysis

NURBS 参数化等值线包围的区域即为单元，插入的节点越多网格单元越细，根据IGA 结构分析方法[34,39]，结构离散线性方程表示为

式中：U为附加在NURBS 控制点上的位移变量；F为荷向量；K为刚度矩阵.

则变形反射面表示为

式中：P为未变形处控制点的初始位置；U为位移.

依据载荷、几何形状、材料特性和结构边界条件，可以确定天线结构的变形，随后的电磁仿真在插入节点进一步细化变形反射面上进行.由于变形后的模型仍然是NURBS 模型，且插入节点不会改变几何模型[39]，因此变形和形状信息将便捷、无缝且准确地传输到电磁分析中.

1.3 基于NURBS 的PO 方法

具有任意馈源的反射面天线的几何结构如图5所示，采用物理光学法[40]计算辐射场公式为

图5 任意位置的馈源辐射反射面天线Fig.5 A reflector antenna illuminated by an arbitrarily located source

式中：j=k=2π/λ ，λ 为波长，η=120π为自由空间波阻抗，如图5 所示；n为反射面向外单位法向量；H为磁场强度；r为观测方向的单位向量；r′为反射面S上的任意一点；VS为馈源在全局XYZ笛卡尔坐标系中的空间坐标；rS为馈源局部坐标系xSySzS中反射面S上一点的空间坐标.

馈源发出的入射电磁波通常在其局部球面坐标系中表示为：

为满足电磁分析要求，需插入更多节点至结构分析后获取的变形反射面进行网格细化，然后直接在经过细化的变形CAD 模型中使用PO 方法.如图6所示，具体做法为通过插入节点至图4 变形模型中获取细化NURBS 模型，在每个单元中使用高斯积分计算PO，然后所有单元叠加获得天线的辐射场.细化后变形模型的变形信息传递精确，不会缺失几何信息，同时更小的单元也完全满足电磁分析的需要.

图6 基于NURBS 的电磁仿真PO 方法Fig.6 A diagram of PO on NURBS for electromagnetic simulation

利用变形的NURBS 表示的反射面、馈源的位置和方向，按上述方法计算即可得到变形天线的方向图，可控制电磁模型网格的大小和高斯点的数量来满足仿真的精度，获得收敛的方向图.

2 计算案例

案例天线的几何形状为旋转抛物面，为便于比较，该算例按文献[40]中的案例设置，其母线如图7所示，相关的NURBS 模型信息见表1，其模型及相关分析边界条件如图8 所示.反射面分为4 个部分，相邻片的公共边进行固定约束，重力载荷沿z方向设置，模拟结构在自重作用下发生的变形.此处，设置的所有参数并非真实物理情况，只用于展示和验证本文提出的方法.在结构分析中，天线面板由Kirchhoff-Love IGA 壳单元[39]完成建模.

表1 抛物面天线的几何参数Tab.1 The geometric coefficients of the parabolic antenna

图7 反射面天线母线形状Fig.7 The shape of a reflector antenna

图8 基于NURNS 的抛物面天线模型和结构分析参数Fig.8 The NURBS expressed parabolic antenna and the mechanical problem setup

图9 展示了用于结构分析的网格模型，其共有120 个单元和600 个自由度，与图8 对比，天线的几何形状并未发生改变，但单元数量变多，可以更准确地近似变形场.图10（a）～10（c）分别为求解出的天线结构在Ux，Uy和Uz方向的位移场，图10（d）表示位移放大100 倍的变形结构，最大变形约为Uzmax=−0.038.所有模型均为NURBS 表示，花瓣状的变形也完全符合预期，等几何分析在结构分析中的有效性和精度详见文献[30 − 34].

图9 用于天线力学分析的等几何网格Fig.9 The IGA mesh for antenna mechanical analysis

图10 重力沿z 方向天线结构的位移场Fig.10 The displacement fields of the antenna structure with z gravity

馈源位于焦点处，设定为yS方向极化，−18.5 dB的边缘锥削[40]，以式（9）形式定义的馈源为

式中q=17.109 4.

电磁分析需使用比结构分析更细化的网格模型，通过在变形反射面中插入节点得到.图11 展示了具有1 920 个单元的变形天线的电磁分析模型（位移放大100 倍），其与图10（d）形状完全相同.使用3 点高斯积分方法进行辐射积分，每个单元中包含9 个点，此处单元仅表示分段高斯积分的区域.

图11 用于电磁分析的含1 920 个NURBS 单元的变形天线模型（位移放大100 倍）Fig.11 The deformed antenna model with 1 920 NURBS elements for EM analysis, the displacements are scaled by 100 for the clarity of the deformation

图12 展示了波长 λ设置为1 时变形天线的辐射方向图和文献[40]中未变形天线的分析结果，当D=0（无变形）时的辐射模式与文献[40]中的分析结果一致，证明了电磁分析方法的正确性，当存在变形（D）时，可见辐射方向图相应地明显变化.

图12 ϕ=0°时，不同位移下变形天线的辐射方向图Fig.12 The radiation patterns of the distorted antennas when ϕ=0°, with different magnitudes of displacements

结构力学分析中位移与载荷成正比，缩放位移并不影响其分布，图12 还展示了变形设置为0.125U、0.250U和0.500U的辐射方向图，随着变形的增加，辐射方向图变差，副瓣抬高.当变形达到最大值时，即图10 所示的变形，D=U和Uz=−0.038 （λ /26）时，副瓣严重抬高可能导致天线无法正常工作.R MS=λ/16被广泛用作天线结构的设计标准，但此处均方根RMS 远小于 16/λ，说明Ruze 公式在此处不适用，因为其是从随机分布的误差中推导出来，无法预测规则分布误差的影响.BAHADORI 等[3]提出了一种假定函数形式的变形对辐射方向图的影响，变形为 100/λ时也较大影响了初始辐射方向图.这表明了对天线结构进行个案设计而非仅做统计研究的必要性，也说明了机电耦合分析的重要性.

为了进一步验证电磁分析的结果，使用商业软件（FEKO，PO 算法）进行仿真分析对比，单元边长选择0.4，模型具有29 327 个三角形网格面.图13 为变形分别为D=0、0.5U和1.0U时变形天线的辐射方向图，图14 显示了结构分析的结果.图13 中展示了120 个单元和1 920 个单元分析产生的结果，可以看出本文结果也与商业软件的结果完全吻合，这再次证明了电磁分析结果的正确性，同时，本文提出的方法只需 120 个单元便可得到正确的结果.

图13 ϕ=0°时，不同单元数下本文方法和商用软件变形天线辐射方向图对比Fig.13 The radiation patterns of distorted antennas obtained when ϕ=0°,with different number of elements (our method) and with commercial software

图14 重力沿y 方向天线结构的位移场Fig.14 The displacement fields of the antenna structure with y gravity

本文还给出了天线载荷变化的情况下的案例，将重力载荷设置由z方向变为y方向.图14 中显示，变形同样为类花状，但变形不再关于x轴对称，而是关于y轴对称，z方向的最大位移为−0.008（λ/125），图14（d）还展示了变形天线的位移放大500 倍的模型图.同时还对具有1 920 个单元的模型进行了电磁分析，变形范围为位移量的0～16 倍.图15 显示了 ϕ =0°的辐射方向图，随着变形的增加，主瓣变宽，第二副瓣抬高，第一副瓣逐渐消失.图16显示了 ϕ = 90°的辐射方向图，位移带来的变化更为复杂：随着变形的增加，主瓣向θ方向移动，因变形的天线不再关于x轴对称，辐射方向图不再具有对称性.

图15 y 方向载荷下不同位移量变形天线的辐射方向图(ϕ=0°)Fig.15 The radiation patterns (ϕ=0°) of the distorted antennas with different magnitudes of displacement (y load)

图16 y 方向载荷下不同位移量变形天线的辐射方向图(ϕ=90°)Fig.16 The radiation patterns (ϕ =90°) of the distorted antennas with different magnitudes of displacement (y load)

比较上述2 个算例，可以得出结论：不同的变形对辐射方向图的影响差异很大，而变形又与天线结构及其力学边界密切相关，准确评估载荷对电磁性能的影响至关重要，本文提出的机电耦合方法可以较好解决上述问题，上述算例与商业软件、理论结果的对比证明了本方法灵活有效.

3 结 论

本文提出了一种基于NURBS 的机电耦合求解方法；借助等几何结构分析和基于NURBS 的PO 方法，CAD 建模、多物理仿真均在NURBS 框架内进行.该方法摒弃了传统的使用由小平面组成的网格模型进行几何近似的方法，不再需要繁琐的网格创建和不同物理场网格模型的转换操作，直接在几何模型上进行分析，保证了模型的几何精度和变形信息的传递精度.该方法有效地实现了反射面天线在机械载荷作用下的辐射特性计算，相较于传统的天线误差分析中使用的统计模型和假设变形方法，它支持任意天线在给定载荷下的个案研究，从而为大型天线机械结构设计提供了有力的工具.