浅谈四点共圆的简单应用

胡继春

《义务教育数学课程标准》(2022版)指出:几何的学习要从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系。这样的学习过程,有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观,提升抽象能力和推理能力。

不少地方的教材已经不学习四点共圆了,或者把四点共圆放在阅读材料中,但是如果我们学会四点共圆,如果选择、填空题里有几何难题,那不管我们用什么方法,把答案做对就没问题。考场上的书写表达,有一种“改头换面”的方法——将用了四点共圆的书写方法,改写成没用四点共圆的书写方法。

一、 引例

在刚刚结束的2023年中考,安徽省中考试卷中第22题是一道几何综合性的解答题,不少学生表示题目难度比较大,尤其是第二问无从下手。现在我们一起来研究这道题。

【引例】(2023年安徽第22题)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD。

(1)如图1,求∠ADB的大小;

图1

(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB。

(ⅰ)如图2,连接CD,求证:BD=CD;

图2

本题我们只研究第(1)问和第(2)问的第(ⅰ)问,第(2)问的第(ⅱ)问不研究。

分析:(1)根据旋转的性质得出MA=MD=MB,根据等边对等角得出∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB,在△ABD中,根据三角形内角和定理即得出∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°,进而即可求解;

我们先来看中考参考答案怎么解答的。

(2)(ⅰ)延长AC,BD交于点F,证明四边形AMDE是菱形,进而根据平行线分线段成比例得出,AF=AB,根据等腰三角形的性质,得出D是BF的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得证;

方法一:证明:如图3,延长BD、AC,交于点F,则∠BCF=90°,

图3

方法二:因为ME⊥AD,∠ADB=90°,所以EM∥BD,又因为DE∥AB,所以四边形BDEM是平行四边形。所以DE=BM。所以AM=BM=DE。所以DE∥AM且DE=AM,所以四边形AMDE是平行四边形。因为ME⊥AD,所以平行四边形AMDE是菱形。所以∠CAD=∠BAD,又因为∠ACB=∠ADB=90°,所以A、C、D、B四点共圆,因为∠CAD=∠BAD,所以BD=CD。

本题考查了三角形内角和定理、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。第(2)问的第(ⅰ)小问辅助线的作法复杂且在考场比较紧张的状态下难以想到。比较一下这两种证明方法,如果没有四点共圆,就是考查了学生对相似的理解,通过相似转化得到所需要的结论,但当我们学习了四点共圆后很快就能够得出结论,省去了添加辅助线和相似。这种思考比相似比例的转化简单许多,这样作比较,就能突出四点共圆的优势了。

著名的数学家斯托里亚尔说:“数学教学是数学语言的教学。”数学具有一定的抽象性,文字语言和符号语言转换频繁。

以往的论文中都是研究四点共圆的证明方法和四点共圆的应用,文章通过探讨用四点共圆和不用四点共圆等不同方法解决问题,体现出四点共圆解题的优越性。

二、 常用的四点共圆的判定方法

1.如果四个点到一个点的距离相等,那么这四个点在同一圆上

这个判定方法是根据圆上的点可以看成是到定点的距离等于定长的点的集合这个定理得出的,也是最基本判定方法,其他的判定定理的直接证明法也都是根据它得出的。

2.如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个点共圆

3.如果两个点在一条线段的同旁,且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆

方法2和3是几何题中最常用的判定方法,此外还有如两条线段相交各自被交点分成的两条线段的积相等,则四点共圆,及圆幂定理的逆定理等方法。

三、 四点共圆的在习题中的应用

【例1】如图4,△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=54°,AB=AC,AD=AE,连接BD、CE交于F,连接AF,则∠AFE的度数是

图4

( )

A.63° B.62° C.57° D.56°

方法一:如图5,过点A作AG⊥BD,AH⊥CE。因为∠BAC=∠DAE=54°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE,

图5

点评：本题是典型的手拉手模型可以利用8字形和角平分线的判定解决,但是难度比较大,尤其是作AG和AH两条辅助线较难想到,学生难以挖掘出AF平分∠BFE这个结论。而利用四点共圆的方法,省去了添加辅助线使得复杂的推理变得容易发现,解题方法简单了很多。

【例2】(2015年辽宁·抚顺)如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE。

图6

(1)当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;

(2)当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;

(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系。(用含α的三角函数表示)

方法一:(1)如图7,过点D作DG⊥BC,交AB于点G,则∠BDE+∠GDE=90°,因为DE⊥AD,所以∠GDE+∠ADG=90°,所以∠BDE=∠ADG,因为∠BAC=90°,∠ABC=45°,所以∠C=45°,因为MN∥AC,所以∠EBD=180°-∠C=135°,因为∠BGD=45°,DG⊥BC,所以∠BGD=∠BDG=45°,BD=DG,所以∠AGD=135°,∠EBD=∠AGD,所以△BDE≌△GDA(ASA),所以AD=DE。

图7

(3)AD=DE·tanα;

点评：方法一(2)(3)两问作法太复杂,中考时时间有限很难做出来,方法二运用四点共圆的方法使得复杂的推理变得简单明了,一气呵成简单得多同时还有助于我们发现题目各条件之间的内在联系。

四、 结论

圆这一章的知识综合性很强,可以将前面所学过的所有的图形放在圆中研究问题,故四点共圆的基本理念可以将三角形、四边形的相关知识进行转化,有效结合几何图形,建立图形变换的基本思想。我们做的很多题,可以不用四点共圆也能解出,但是比较复杂。四点共圆往往可以另辟蹊径,在考场上如果一时想不出普通解法,四点共圆可以江湖救急。还有些题,不用四点共圆也能做但非常麻烦,我们在考场上要懂得“惜时如金”。