RBF神经网络的机电伺服系统固定时间滑模控制

王传玺,刘永慧

(上海电机学院 电气学院,上海 201306)

机电伺服系统是由电动机驱动的运动伺服系统,目前已被广泛应用于航天发动机[1]、航海[2]等领域。但该系统在实际运行过程中,存在许多干扰因素,如系统内部参数未知[3]、机械摩擦[4]等,这些不确定性因素会导致无法建立精确的数学模型,这为伺服系统的高性能控制器设计带来了难度。

传统的机电伺服系统常见控制方法有比例积分微分(Proportion Integration Differentiation,PID)控制[5]、模糊控制[6]等。PID控制算法简单,但是其调节范围有限,很难实现机电伺服系统的高精度跟踪;模糊控制的设计缺乏系统性,单纯将系统信息做模糊化处理会导致控制精度降低。滑模控制因其鲁棒性强、响应速度快等特性,被广泛应用于机电伺服系统的控制器设计中[7-9],但传统、单一的滑模控制已经难以满足机电伺服系统跟踪性能的更高需求。为了保证系统能够在固定的时间内达到收敛效果,Wu等[10]将终端滑动面和分段连续滑模面组成一种新的固定时间滑模面,通过预定时间强制系统到达终端滑模面,有效缩短了系统的收敛时间。Yan等[11]利用状态逼近角和切换滑模构造了一种新的固定时间终端滑模控制器,通过改进固定时间理论,使得系统能够快速消除奇异性引起的误差。

许多学者将神经网络等智能控制算法与滑模控制相结合,利用智能算法自学习的特性对建模不确定性部分进行逼近,再将智能算法的输出信号输入滑模控制器中。Tian等[12]在终端滑模控制器的基础上加入神经网络算法,利用饱和函数设计滑模面,避免系统产生奇异性,抑制了模型不确定性和外部干扰造成的影响。Shen等[13]构造了非奇异终端滑模面,采用径向基函数(Radial Basis Function,RBF)神经网络逼近模型中的不确定项,使系统在有限时间内达到稳定。

基于上述分析,为解决扰动因素造成机电伺服系统跟踪性能下降、单个隐含层神经网络估计复杂函数精度较低的问题,提出了一种基于RBF神经网络的机电伺服系统固定时间滑模控制方法,使得机电伺服系统能够在固定时间内实现快速稳定。本文建立了含扰动因素的机电伺服系统数学模型,设计了全局鲁棒固定时间滑模控制器,保证系统误差在固定时间内收敛到零,减小不确定性因素造成的控制系统抖振问题。此外,为了达到更高的学习精度和更强的函数拟合能力,采用双隐含层RBF神经网络对干扰的不确定性进行逼近和补偿,并通过在线自适应更新网络连接权重,进一步提高系统的鲁棒性和跟踪性能。

1 机电伺服系统数学模型

为简化分析,在d-q坐标系下,令非零电流分量iq=0,建立惯性负载的机电伺服系统方程为[14-15]

式中:θ为状态变量,表示电机输出轴的位置;dθ/dt为电机输出轴的转速;J为等效转动惯量;R为等效阻尼系数;K为电机扭矩常数;u(t)为控制器输出信号;F(θ,dθ/dt,t)为扰动因素,有

式中:f(θ,dθ/dt,t)为未建模的非线性不确定干扰数学模型;Ff(θ,dθ/dt,t)为已建模静摩擦力,有

式中:l1、l2为不同的摩擦力;f1、f2、f3为不同类型的摩擦效果对应系数为θ的导数。

系统模型式(1)可以描述为

将上述方程改写为状态方程的形式:

式中:x(t)=dθ/dt为系统的状态变量;A=-R/J为状态参数;B=K/J为系统输入;C=1为输出参数为系统输出。

因为-1＜tanh(x(t))＜1,所以

2 控制器设计

本文控制器的设计主要分为两步:①引入固定时间滑模控制使跟踪误差在固定时间内收敛到零,减小扰动因素对控制系统造成的影响;② 在系统状态受到外界干扰的情况下,采用双隐含层RBF神经网络对扰动因素进行在线逼近和补偿,使系统准确地跟踪期望信号。

2.1 固定时间滑模控制器设计

本文采用固定时间滑模控制方法,结合机电伺服系统数学模型,设计一种新型的滑模面,使系统在固定时间内达到收敛。

定义x(t)∈Rn为状态变量,f(t,x(t))为可导的非线性函数,针对非线性系统

若原点为系统的平衡点,且系统为全局渐进稳定,则引入以下定义:

定义1[16]假设系统能够收敛,且收敛时间Ts(x0)≠∞,那么所有t≥Ts都满足x(t)=0,则系统为全局有限时间稳定。

定义2[17]若系统的收敛时间存在一个独立的上界值,并且系统满足全局有限时间稳定条件,那么系统满足全局固定时间稳定。

若系统满足以上定义,则引入以下引理:

引理1[18]若一个径向函数V: Rn→R+∪{0}连续且有界,有λ1、λ2＞0,0＜α＜1,β＞1,并且满足

则称系统模型式(6)为全局固定时间稳定,收敛时间T满足,

引理2[19]若存在一个径向函数V:Rn→R+∪{0}连续且有界,有k1、k2＞0,0＜q＜1,p＞1,η0＞0,并且满足

则称系统模型式(6)为实际固定时间稳定,收敛时间T满足,

然后,设计滑模控制器,定义θ(t)为电动机输出轴的实际位置,θd(t)为跟踪期望轨迹,则跟踪误差为

对式(11)求导可得

将改进的滑模面设计为

式中:c1＞0,c2＞0;k＞0;0＜γ1＜1,γ2＞2,为防止奇异现象,令,其中m1、n1、m2、n2为正奇数,且m1＞n1,n2＞m2。对式(13)求导可得

不考虑扰动的情况下,由式(5)、式(12)和式(14)得出等效控制为

为保证系统在固定时间内收敛,定义p1＞0,p2＞0,υ1＞1,υ2＞1,设计切换控制项

,其中b1、q1、b2、q2为正奇数,且b1＞q1,b2＞q2。

结合式(15)和式(16),得到总的控制律为

由引理1可知,对系统模型式(5)而言,设计控制律式(17)能保证系统全局稳定,且系统在固定时间内达到收敛条件,以下给出证明过程。

证明选取以下Lyapunov函数:

则V1(t)的导数为

由引理1可得系统达到滑模面时间T1满足,

当系统达到滑模面后,重新选取Lyapunov函数:

则对式(21)求导可得

式中:D≥|d(t)|为扰动的上界;c2＞0;k＞0;0＜γ1＜1,γ2＞2。

由引理1可得在滑模面运动时间T2满足,

式中:δ=(γ2+1)/2-1＞0。

可见,所设计的控制器能够使得系统在固定时间T内达到收敛条件,且

2.2 基于RBF神经网络的滑模控制器设计

本文采用双隐含层RBF神经网络,逼近式(2)中复杂的非线性函数f(θ,dθ/dt,t),以达到降低模糊增益的目的。双隐含层RBF神经网络由输入层、隐含层和输出层构成,且有两层隐含层,如图1所示。

图1 双隐含层RBF神经网络结构

双隐含层RBF神经网络工作原理如下:

(1) 输入层。xi(t)为第i个输入。本文采用输入层维度为2,则输入向量表示为

(2) 第1层隐含层。将输入层的信息进行高斯函数计算,以激活该神经元,输出值h1j(x(t))可表示为

式中:h1j、c1j、b1j分别为第j个节点的高斯基函数输出值、坐标矢量和宽度。

(3) 第2层隐含层。为达到更好的逼近效果,对该层进行一次高斯函数计算,定义c2j、b2j分别为高斯基函数中心的坐标矢量和宽度,则第j个节点的输出值可表示为

式中:ε为RBF神经网络逼近误差,且ε→0+。

定义双隐含层RBF神经网络的输出为

则系统总的控制器设计为

式中:p1＞0,p2＞0;υ1＞1,υ2＞1。

结合式(5)、式(13)和式(31)得到

对于系统模型式(5),当选用控制器式(31)时,系统满足跟踪误差在固定时间TZ=T+T3收敛至零,以下给出证明过程:

构造Lyapunov函数为

式中:η＞0。

求导可得

设计自适应律为

由引理2可知,系统模型式(5)在固定时间内收敛,且系统的收敛时间为

综上可知,对于系统模型式(5),所设计的控制器能使得系统状态在固定时间内收敛。

3 仿真验证

本文基于Matlab进行仿真验证。系统初值设置为:电机输出轴初始位置θ(0)=0.1rad,机电伺服系统模型参数设置如表1所示。

表1 机电伺服系统模型参数

3.1 跟踪仿真验证

单隐含层和双隐含层RBF神经网络下的跟踪仿真结果如图2、图3所示。由图2可知,初始时刻,跟踪波动较大,单隐含层RBF神经网络下,系统实现跟踪理想信号的调节时间大约为4s。由图3可知,双隐含层RBF神经网络下,系统实现跟踪理想信号的时间大约为1.4s。在实现稳定跟踪后,通过单隐含层RBF神经网络逼近和补偿扰动后的系统会有较大的波动,而双隐含层RBF神经网络下的系统跟踪稳定,波动不明显。表明本文采用的双隐含层RBF神经网络对扰动有着更好的逼近和补偿效果,能够更好地削弱外界干扰对系统造成的影响。

图2 单隐含层RBF神经网络下的跟踪仿真结果

图3 双隐含层RBF神经网络下的跟踪仿真结果

3.2 扰动逼近仿真验证

单隐含层和双隐含层RBF神经网络逼近扰动仿真结果如图4、图5所示。由图4可知,单隐含层RBF神经网络稳定逼近扰动信号的时间大约为3.5s。由图5可知,双隐含层RBF神经网络稳定逼近扰动信号的时间大约为1.2s,双隐含层RBF神经网络逼近扰动的起始波动值更大,但是收敛速度更快。当RBF神经网络能够稳定跟踪扰动时,相对于单隐含层RBF神经网络,双隐含层下RBF神经网络的逼近更加精确,波动幅度更小。

图4 单隐含层RBF神经网络逼近扰动仿真结果

图5 双隐含层RBF神经网络逼近扰动仿真结果

4 结论

本文基于固定时间理论,利用RBF神经网络对模型逼近的特性,提出了一种基于RBF神经网络的固定时间滑模控制方法,以达到提高机电伺服系统跟踪性能的目的。首先,建立了含有未知扰动力矩的不确定性机电伺服系统的数学模型;然后,对机电伺服系统设计了固定时间收敛的滑模控制器,使系统能在固定时间内跟踪理想信号;最后,为减小外界扰动对系统造成的影响,采用双隐含层RBF神经网络对不确定性因素进行在线逼近和补偿,并设计了自适应控制器对网络连接权重进行自动更新。仿真结果验证了该控制方法能够快速实现精确的跟踪控制。