利用RC充、放电过程测定电容值*

程 豪,廖昱博,张捷睿

(赣南师范大学 物理与电子信息学院,江西 赣州 341000)

电容是电子设备中最基础的元件之一,在调谐、旁路、耦合、滤波等电路中起着重要的作用.电容值是电学中的重要参数.在电路设计和检测中,电容的准确测量至关重要.电容测量不仅有助于检验电子元件是否符合设计要求,同时也有助于判断电路的稳定性和可靠性,为电路设计和优化提供依据.

常用的电容测量方法主要有:万用表法[1],交流电桥法[2-4]和RC振荡电路法[5-7]等.万用表内阻有限流作用,测量电路中的电流很小,不会对耐压较低的电容造成永久性损坏,但测量精度较低,而且往往存在较大的读数误差.交流电桥法测量结果相对较为精确,但其不具备自动平衡措施,电路组合相对比较复杂,测量结果的干扰因素较多[2,4].RC振荡法可以测量较宽的频率范围,适用于测量动态电容,灵敏度也较高,但对于小电容值的变化不灵敏[7],同时,电路测量结果易受杂散电容的干扰,稳定性相对较差.

目前,也有报道利用RC电路充放电原理测量电容的数字式方法[8-10],这些方法能够比较准确地测量电容.但是,为了保证测量的准确性,其通常采用比较复杂的电路结构,因而成本相对较高.并且,电容测量过程不够直观,通常不能给出电容的等效电阻值.相比之下,通过示波器直接记录RC充、放电曲线来测电容,原理比较清晰,装置简易,操作简便,测量也较为准确,而且通过改变方波信号源的频率,可以满足一定范围电容值测量的需要

图1 实验采用的RC充、放电电路

有鉴于此,本文借助示波器记录RC充、放电过程来测定电容值.首先选取串接的电阻和已知电容,测量充、放电曲线,读取τ值,建立C-τ定标曲线.然后选取若干待测电容,同理测得时间常数τ,并利用建立的C-τ关系式求得待测电容值.最后,利用差减法近似估计电容的等效串联电阻值.

1 实验方法

1.1 实验原理

实验采用的电路如图1所示.S为示波器;为串接R的电阻(阻值可调);C为待测电容;F为方波发生器.方波信号脉冲如图2所示,在0到t1内,以恒定电压U加在RC电路两端,此时电容充电;在t1到t2时间内输出电压降到0,此时电容C经电阻RC放电.当方波发生器连续将方波电压加在RC电路时,电路中将周期地发生充、放电过程.

图2 方波信号脉冲图

图3 RC串联电路的等效电路图

图4 撤去电容之后的等效电路图

图5 LRC电路实验仪实物图

若电容初始电压为零,充电时电容电压满足:

UC=U[1-exp(-t/τ)]

(1)

放电时电容电压满足:

UC=Uexp (-t/τ)

(2)

上述公式中的τ=RC表示时间常数,是反映暂态过程进行快慢的指标.对于充电过程,时间常数是指电容两端电压从0增加到最大电压的63.2%时所经历的时间;对于放电过程,时间常数是指电容两端电压从最大值降到最大电压的36.8%时所经历的时间.

实验以频率为1000 Hz的方波为例,将串接电阻值设为900 Ω.考虑到充、放电曲线的完整性,要求方波周期T>10τ,即电容测量上限值约为0.1 μF;又考虑到示波器所能辨识的时间灵敏度,选取0.01 μF为测量范围的下限;即选取0.01 μF至0.1 μF的电容进行测量.

由已知电容测得时间常数,建立C-τ定标曲线,再测量接入待测电容后的时间常数,由C-τ函数关系式可得待测电容值.但是,由于待测电容非理想电容,可将其等效为理想电容串接电阻的形式,其等效电路见图3.图中F为方波信号源,r0为信号源等效内阻,忽略信号源的等效电抗.Cm为待测电容值,R′是待测电容的等效串联电阻,R是包含可调电阻在内的外电路其余部分的等效电阻.假设测得待测电容值Cm,其对应电路时间常数为τ,由时间常数的定义式,可知:

τ=RtotCm

(3)

式中Rtot为RC电路总等效电阻,由图3可知:

Rtot=R′+r0+R

(4)

由式(3)和式(4)可得待测电容的等效串联电阻:

(5)

为了估计r0+R,将待测电容撤去,即将信号源直接连接可调电阻R两端.如图4所示为撤去电容之后的等效电路图.设方波信号源的电动势为ε,方波输出高电平时,外电路两端电压为U0.根据全电路的欧姆定律有:

(6)

这样,通过改变可调电阻值,从而获得不同的外电路端电压值,即可测算出r0+R.

1.2 实验器材

双踪数字示波器(优利德,UTD2102CEX),LRC电路实验仪(杭州泽胜,ZC1502)含方波信号源50 Hz～1 kHz,信号幅度0～10 Vpp可调,幅度和频率调节均采用优质多圈电位;十进式电阻箱(10 kΩ+1 kΩ+100 Ω+10 Ω)×10,精度0.5%;十进式电容箱(0.1 μF+0.01 μF+0.00 1μF+0.0001 μF)×10,精度1%等.LRC电路实验仪的实物图如图5所示.

1.3 实验过程

开机预热10 min.然后,按图1连接电路.将信号源调至方波,频率1000 Hz,串接电阻使用十进式电阻箱,阻值调为900 Ω.实验所用电容均取自十进式电容箱,使用前将电容两端短接,使其放电直至两端电压为零.在0.01 μF至0.1 μF范围内,等间距地选取十组已知电容值,测量充、放电曲线.再从获取的充、放电曲线中分别读出τ1、τ2值,求得平均值τ,从而建立C-τ定标曲线.选取参考值为0.015 μF至0.095 μF等间距的九组待测电容,记录其充、放电曲线.同理读出τ值.然后,将每组读出的平均值τ分别代入C-τ函数关系式,得出待测电容的测量结果,并求相对误差.最后,撤去电容,电阻箱调为三个不同阻值,在信号源高电平时,用示波器分别测出外电路的端电压,根据公式(6)求出r0+R,再由公式(5)求出待测电容的等效串联电阻.

图6 电容为0.07 μF时的充电曲线

表1 已知电容τ值的测量结果

图8 C-τ关系曲线图

表2 待测电容的电路时间常数测量结果

2 实验结果与讨论

测量十组已知电容,获取充、放电曲线.以0.07 μF的已知电容为例,其充、放电曲线分别如图6和图7所示.由此分别读出τ1、τ2值,求得平均值τ,如表1所示.

由以上数据作C-τ关系曲线如图8所示.由图可知,C和τ的线性关系非常显著,其函数关系式为:

C=0.001τ

(7)

测量九组待测电容,获取充、放电曲线.由充、放电曲线图像,所得的时间常数结果如表2所示.分别将每组读出的τ值代入C-τ函数关系式,得出待测电容的测量结果及相对误差,如表3所示.可见,在所给的测量范围内,相对误差小于3%.

为测量待测电容的等效串联电阻,撤去待测电容,示波器记录可调电阻分别为900 Ω、50 Ω、10 Ω,对应的外电路两端电压值,如表4所示,可得如下三式:

(8)

(9)

(10)

联立求得:r0+R=998.021 Ω

进而求得待测电容的等效串联电阻值如表5所示.

表3 电容测量值、参考值以及相对误差

表4 三组电阻值与外电路端电压的测量结果

表5 待测电容等效串联电阻的估算结果

3 结论

本文选取频率为1000 Hz的方波信号源,通过RC充、放电过程测定已知电容的RC电路时间常数,建立了C-τ定标曲线,用于测量未知电容.在0.01 μF至0.1 μF范围内,电容测量的相对误差小于3%.相比交流电桥法、RC振荡法等方法,本文的实验装置简易,便于操作,测量结果也较为准确.同时,可通过差减法较好地估计电容的等效串联电阻.实验中误差主要来源包括:一方面,示波器本身是非理想仪表,存在不可避免的系统误差;另一方面,方波信号源电压有波动,同时,示波器也有读数误差.再者,实验所用的电容和电阻为十进式电容箱和电阻箱,精度不高,而且电阻箱也存在因绕线产生的电容副效应,这对电容测量结果都有一定的影响.尽管如此,本文测量结果的误差相对较小.利用本文方法,不仅可以较准确测量电容,还可以很好地估计其等效串联电阻值.并且,通过改变方波信号源频率,可以适合一定范围电容值的测量需要.