奇异谱分析-灰色混合模型在深基坑变形预测中的应用

卢鸿荣

(广东省核工业地质局测绘院,广东 广州 510800)

0 引言

随着中国城市化进程的不断推进,超高层建筑物、大型商场、地铁、地下街道等基础设施的数目快速增长,使得基坑开挖的规模、深度和难度不断增加。在基坑施工过程中,对基坑的变形进行监测以及预测,对确保施工安全尤为重要[1]。

从20世纪60年代末开始,国外便开始进行基坑变形监测,以预防塌方事故发生。我国的基坑变形监测虽起步较晚,但经过多年的发展,高精度电子水准仪、智能自动化全站仪、测量机器人、三维激光扫描仪、全球导航卫星系统等得到了应用[2-4]。

在基坑等建筑物变形预测方面,专家学者们开展了大量的研究工作。郭松等提出了基于ARMA等模型的基坑沉降时间序列预测分析方法[5],张巧英等提出了基于灰色模型的位移变形预测方法[6]。鉴于单一模型各有优缺点,张善廷等利用时间序列模型和灰色模型进行组合,并通过工程实例验证了组合模型的可行性[7]。刘杰、王璐、滕浩等将传统预测模型与人工神经网络进行组合,取得了比单一模型更好的效果[8-10]。此外,还有马尔科夫链、支持向量机、卡尔曼滤波等方法被用于基坑变形的预测研究[11-13]。

考虑到在基坑监测中获取的数据中既包含有基坑变形的趋势信号又包含有噪声信号,本文将奇异谱分析和灰色预测模型进行结合,通过奇异谱分析重构趋势信号,提升灰色模型的拟合优度和基坑变形预测的准确度。

1 奇异谱分析

奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis,SSA)是一种强大的非线性时间序列分析工具,能根据观测数据构造轨迹矩阵,然后进行分解和重构,以提取出代表原始时间序列不同成分的分量,包括趋势、周期、噪声等分量,从而能更准确地对时间序列进行分析和预测。奇异谱分析主要包括以下4个步骤[14]：

1)嵌入：通过选择合适的窗口将原始的一维时间序列,{X(t)：t=1,2,…,N},转换到相空间,得到轨迹矩阵：

(1)

式中：K=N-L+1。

(2)

3)分组：将下标分组为不相交的子集I1,I2,…,Im,并在组内进行相加,例如,对子集I1={1,2,…,p},相应地YI1=Y1+Y2+…+Yp,进而有Y=YI1+YI2+…+YIm。

(3)

2 灰色系统模型

在深基坑施工过程中,由于造成基坑各项变形的力学构成因素以及地质因素等复杂多变,很难明确地分析这些因素及其影响力,因此通过精密的力学模型来实现对深基坑变形的有效分析是很难的。灰色系统理论可通过如累加、累减、映射等信息处理方式,弱化原始数据序列的随机性,将其转化为有规律的数据序列,并通过一阶线性微分方程进行近似的离散,建立起带参数的灰色模型,利用最小二乘方法对该灰色模型进行参数估计,将得到的预测数据序列进行逆变换获得原始的预测序列,并与原始系列进行对比,检验灰色模型的预测精度[15]。

文献[15]对灰色模型进行了详细的阐述,其中GM(1,1)模型采用一次累加(1-AGO)生成灰色序列,假设原始数据序列为X(0)={(x(0)(i),i=1,2,…,n},且原始数据序列为非负单调的,其一次累加生成的灰色序列为X(1)={x(1)(k),k=1,2,…,n},其中：

(4)

令生成的新的数据序列X(1)的紧邻均值生成序列为Z(1)={z(1)(k),k=2,3,…,n},其中：

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(5)

则定义基本灰微分方程为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(6)

式中：x(0)(k)代表灰系数;a代表发展系数;z(1)(k)代表白化背景值;b代表灰作用量。

将k=2,3,…,n代入式(6)中的基本灰微分方程可以得到：

(7)

将式(7)整理成矩阵形式有：

yn=BP

(8)

式中：yn=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T;

求解式(8)中的矩阵方程,得到P的解：

(9)

3 奇异谱分析-灰色串联预测模型

当原始数据中包含较多噪声时,灰色模型无法区分有效信息与噪声信息,从而可能导致预测模型精度不高。为了提高基坑变形分析的准确性,本文在利用监测信号进行预测分析之前先对信号进行降噪处理。

首先,对获取的基坑变形监测数据进行延时嵌入相空间,通过奇异值分解获得特征值与特征向量。然后,筛选贡献率最大的几个特征值为一组,并根据该组的合成矩阵重构出基坑变形的趋势信号。最后,从当前时点往前选取一段时间的监测数据用于构建灰色系统,并对未来多个时间步的变形进行预测。奇异谱分析-灰色模型流程图见图1。

图1 奇异谱分析-灰色模型流程图Fig.1 Flowchart of singular spectrum analysis-grey prediction model

4 工程案例

4.1 工程概况

广州某人行地道采用“工”字形布置,主通道长度为85 m。地道净宽为4 m,净高为3 m,地道内设置了泵房、设备房及电梯井。钢板桩以内的基坑最宽处宽为9.610 m,最深处深为8.937 m,人行通道主体部分的基坑深度为5.80 m;每个基坑周长均为410.79 m。

4.2 测点布置

该工程共布设了28个水平位移和沉降监测点,沿基坑坡顶采用浅埋式布设水平和沉降一体化布置,编号为S29～S56,平均布点间距为14.7 m,监测点布设如图2所示。 监测时间覆盖从基坑开挖至土方回填结束的全过程。从2017年5月23日至2017年7月3日,历时42 d,最小监测间隔1次/d,最大监测间隔1次/5 d,总监测期数为22次。因篇幅所限,本文以S52号监测点沉降数据、S53号监测点水平位移数据为例,实测数据详见表1,展开变形预测分析。

表1 监测点S52和S53的实测数据

图2 监测点布设图Fig.2 Layout of monitoring points

4.3 数据重构

首先,选取嵌入延时为1和嵌入维度为7,将基坑变形的原始监测数据转为轨迹矩阵。通过奇异值分析,获得一系列的特征根和特征向量。选取贡献率大于0.001的特征值进行组合与重构,获得基坑变形的趋势分量。

图3(a)为采用奇异谱分析对S52监测点沉降数据进行重构前后的对比图。其中,圆形曲线为实测数据,正方形曲线为重构后的数据。图3(b)为重构前后曲线的残差,经ADF检验和KPSS检验,结果表明残差为平稳序列,也就是说残差中已不包含趋势分量,说明重构序列已充分反映基坑变形的趋势。对比重构前后的曲线,可见原始监测数据存在一定的波动,部分观测值偏离主趋势,如第3、12、13数据点。通过奇异谱分析和重构,变成一条能够更好反映变化趋势的平滑曲线,有利于后续预测模型的构建。

图3 基坑变形S52监测点沉降数据重构Fig.3 Reconstruction of settlement data for monitoring point S52 for foundation pit deformation

图4(a)为采用奇异谱分析对S53监测点水平位移数据进行重构前后的对比图。其中,圆形曲线为实测数据,正方形曲线为重构后的数据。图4(b)为重构前后曲线的残差。从图4中可见,原始监测数据存在较大波动,在第10、19个数据点之后的几个点出现了与主趋势相反的变化。通过奇异谱分析和重构,水平位移数据变得更为平滑,且变化趋势更为规律,有利于后续预测模型的构建。

图4 基坑变形S53监测点水平位移数据重构Fig.4 Reconstruction of horizontal displacement data for monitoring point S53 for foundation pit deformation

4.4 趋势预测

对经过重构后的S52和S53监测点的数据,建立灰色模型。在建模过程中取n=8期(13-20期)观测数据作为实验数据,并预测后两期数据(21、22期)。模型预测值和重构值对比如图5所示。通过计算模型的后验方差比C和小误差概率p对两个监测点的灰色模型进行检验。S52点的后验方差比C=0.012 5,小误差概率p=100%,S53点的后验方差比C=0.018,小误差概率p=100%,说明两个监测点的预测模型效果好。

图5 基坑变形的预测结果Fig.5 Prediction results of foundation pit deformation

为了对比本文采用的奇异谱分析-灰色串联模型和直接采用灰色模型的预测精度,对S52点和S53点的观测数据分别建立两种模型。考虑到参与模型预测的原始数据序列长度不同,获得的模型精度不同,分别选取不同维度的数据序列进行模型预测,并计算预测值和实测值的平均误差对比模型精度。对于监测点S52和S53,以第20期数据为原点,分别向前取长度为4到20的观测数据作为建模输入数据,例如n=6的数据为第15到第20期观测数据,预测第21、22期数据。对于S52和S53,两种预测模型的误差对比分别如表2和表3所示。

表2 采用不同模型对S52监测数据的预测误差对比

表3 采用不同模型对S53监测数据的预测误差对比

通过对比,可以看出：

1)模型精度：奇异谱分析-灰色模型的后验方差普遍小于灰色模型的后验方差。因为通过奇异谱分析,去除了数据中的噪声干扰,使数据变化趋势的规律性得以增强,有助于GM(1,1)建模,因此奇异谱分析-灰色混合模型较单纯灰色系统模型精度更高。

2)预测精度：在任意维度下,奇异谱分析-灰色模型的预测精度均优于单纯使用灰色模型。对于监测点S52,直接采用灰色系统模型的各维平均相对误差的均值为11.73%,而奇异谱分析-灰色系统模型的平均相对误差为9.5%;对于监测点S53,直接采用灰色系统模型的各维平均相对误差的均值为14.5%,奇异谱分析-灰色系统模型为9.4%。

5 结束语

本文采用奇异谱分析-灰色混合模型对基坑变形监测数据进行了分析。首先,采用奇异谱分析对原始数据进行重构,然后采用灰色系统进行建模和预测。实验结果表明：经过奇异谱分析重构的监测数据更具有规律,利于预测模型构建;在不同数据维度下,奇异谱分析-灰色混合模型的预测精度均优于直接采用灰色系统模型的预测精度。本文方法可帮助基坑工作人员掌握基坑变形情况和预测变化趋势,更好地指导基坑施工。