模糊集范畴

张德学

(四川大学 数学学院, 四川 成都 610064)

日常生活中经常会遇到一些不能准确指定元素的“类”或概念,例如“大高个”“年轻人”等,这些不能准确指定元素的类在智能科学等领域有重要的作用,如模式识别、信息交流、概念抽象等.为了从数学上处理这些不能准确指定元素的类,1965年,Zadeh[1]引入了模糊集的概念,关键的思想是引入一个元素隶属于一个类的程度,这个隶属度常常用介于0和1之间的一个实数来表示.确切地说,一个模糊集是一个序对(X,μ),其中X是集合,μ是X到闭区间[0,1]的映射.直观上,一个模糊集(X,μ)表示X的一个不能准确指定元素的“子类”,数μ(x)表示x属于该子类的程度,文献中也把模糊集(X,μ)或映射μ:X→[0,1]称为X的一个模糊子集.从数学上说,研究模糊集就是研究集合到闭区间[0,1]的映射.与其他数学分支不同的是,在模糊集理论里,闭区间[0,1]取代二值布尔代数{0,1}承担了逻辑值域的角色,因此,模糊集理论强调闭区间[0,1]的“逻辑结构”,这些“逻辑结构”表现为[0,1]的序性质以及它上面的一些代数运算,如连续三角模、左连续三角模等[2].

1967年,Goguen[3]把模糊集的概念推广到了逻辑值域为完备格的情形,想法很简单,就是用一个完备格L代替闭区间[0,1].在模糊集理论中,完备格L承担逻辑值域的角色,因此,还需要具有更多的结构,不只是一个完备格,这些结构使得L成为完备剩余格,也就是有单位元的quantale.本文只考虑逻辑值域为有单位元的交换quantale的情形,非交换的情形要复杂一点.

设Q=(Q,&,k)是一个有单位元的交换quantale.一个Q-值模糊集(简称模糊集)[3]指一个序对(X,α),其中X是一个集合,α:X→Q是一个映射,称为隶属函数(membership function).模糊集理论的一个基本问题是怎样把模糊集组织成一个范畴,相应的范畴具有什么样的性质?问题的核心在于怎么定义2个模糊集之间的态射,从而建立模糊集之间的联系.这一问题对模糊集的理论和应用研究都十分重要,因此,自Zadeh引入模糊集之后,一直受到人们的关注.到目前为止,有代表性的解决方案有2个:其一是Goguen态射和相应的Goguen范畴;其二是受topos理论[4-5]影响发展起来的Q-集理论.本文简要介绍这2个方面的研究,侧重基本想法、基本概念,不十分强调结果.需要指出的是,模糊集的集论和范畴论基础的研究还包括很多方面,文献中也有不少很好的论述,参见文献[6-11]等.

本文选择介绍Goguen范畴和Q-集理论的主要原因是它们的代表性.粗略地说,Goguen范畴的出发点是把隶属函数α:X→Q看作集X到单点集的(Q-值)模糊关系,2个模糊集之间的态射就是2个集合之间满足一定条件的模糊关系;而在Q-集理论中,隶属函数α:X→Q则被看作类型函数,2个模糊集之间的态射就是2个类型函数之间满足一定条件的模糊关系.

1 预备知识

一个有单位元的交换quantale[12]指一个三元组

Q=(Q,&,k),

其中,Q是一个完备格,&是Q上一个以k为单位元的交换的半群运算,并且对任意的a∈Q和{bi}i⊆Q都有a&(∨ibi)=∨i(a&bi).半群运算&确定的二元运算

→:Q×Q→Q,a→c=∨{b∈Q|a&b≤c}

称为Q的蕴涵算子.半群运算&和蕴涵算子→满足伴随关系:任给a,b,c∈Q,有

a&b≤c⟺b≤a→c.

这一伴随关系很重要,它是有单位元的交换的quantale承担模糊集理论的逻辑值域的根本原因,粗略解释如下.单位元解释为“真”,半群运算&解释为逻辑连词“合取”,蕴涵算子→解释为逻辑连词“蕴涵”,该伴随关系说的就是合取和蕴涵可以相互确定:命题p和q能推出命题r当且仅当命题p能推出命题“q蕴涵r”.

从范畴论的角度看,一个有单位元的交换quantale就是一个对称的幺半闭的小范畴,因此,模糊集理论和强化范畴理论有天然的联系,这契合了Lawvere[13]倡导的从逻辑角度审视强化范畴的观点.

例 1.1有单位元的交换quantale是大量存在的,下面列举几个例子:

(i) 若L是一个完备Heyting代数,则(L,∧,1)是quantale,其中1表示L的最大元.

(ii) Lawvere quantale([0,∞],+,0),注意[0,∞]上的序是通常实数大小序的反序.

(iii) ([0,1],&,1),其中&是[0,1]上的连续三角模或左连续三角模(定义参见文献[2]).

从现在起,除非特别声明,总是假设Q=(Q,&,k)是一个有单位元的交换的quantale.

下面介绍一些本文需要的基本概念和记号等.设X、Y是集合.

1) 任给x∈X,kx表示模糊集

kx:X→Q,k

r:X×Y→Q,

值r(x,y)解释为x和y有关系的程度.

id

subX:QXQX,

模糊关系的复合具有以下2个性质:

1)t∘(s∘r)=(t∘s)∘r;

2)r∘idX=idY∘r.

(ii) 若r(x,y)=r(y,x),则称r对称.

(iii) 若r∘r≤r,则称r传递.

(i) 若r自反并且传递,则称r为X的一个模糊序,序对(X,r)称为一个模糊序集.

(ii) 若r自反、对称并且传递,则称r为X的一个模糊等价关系.

在范畴论的术语中,一个模糊序集就是一个Q上的强化范畴,简称Q-范畴.

例 1.4任给集合X,集QX上的模糊含于关系subX是一个模糊序.

例 1.5设Q为Lawvere quantale([0,∞],+,0),则集X上一个模糊序就是X上一个距离可取无穷的伪拟度量,一个模糊等价关系就是一个距离可取无穷的伪度量.这个例子也从侧面说明,模糊序是一个自然的数学概念,是度量空间的自然推广.

2 Goguen范畴

Goguen范畴的研究始于Goguen的系列工作[3,14-16].Goguen范畴的出发点是把模糊集(X,α)的隶属函数看作集X到单点集＊的模糊关系

在这一视角下,2个模糊集之间的态射定义为2个集合之间满足一定条件的模糊关系.

模糊集Goguen范畴Set(Q)是Rel(Q)的一个子范畴,为了给出明确的定义,还需要一个记号.任给集合之间的映射f:X→Y,定义模糊关系f*:XY如下:

模糊关系f*也称为f的图像.

定义 2.2范畴Set(Q)由以下构件组成:

对象:模糊集(X,α),(Y,β),…

态射:(X,α)到(Y,β)的一个态射是一个映射f:X→Y,满足Goguen条件α≤β∘f*.

复合:映射的复合.

Goguen条件α≤β∘f*等价于任给x∈X,α(x)≤β(f(x)),这也是Goguen条件最常见的形式.满足Goguen条件的映射也称为Goguen映射.Goguen范畴由Goguen于20世纪60年代末提出,Goguen[3,14-16]给出了该范畴的公理刻画,并阐述了在“软科学”中的应用前景,这些论述是模糊集理论的重要文献.

Goguen范畴Set(Q)的结构和性质的研究吸引了不少学者,如Pultr[17-18],Stout[19]等.特别地,2014年,Harding等[20]利用分明关系(即通常意义下的二元关系)代替映射的图像,引入并研究了Rel(Q)的另一个子范畴,该子范畴包含Goguen范畴Set(Q)作为子范畴,其构造如下:

对象:模糊集(X,α),(Y,β),…

态射:(X,α)到(Y,β)的一个态射是一个分明关系R⊆X×Y,满足(x,y)∈R⟹α(x)≤β(y).

复合:关系的复合.

Goguen范畴Set(Q)具有诸多良好性质,但是,当Q不是单点集时,Set(Q)不再是一个topos,该范畴中幂对象(power object)的结构和性质很复杂,因此,必然成为模糊集理论的重要课题,参见文献[17-19,21]等.这里主要介绍Goguen范畴的协变幂集monad和双反变幂集monad的构造,这也是关于Goguen范畴相对较新的结果.集合范畴的协变幂集monad、双反变幂集monad、滤子monad等在代数、拓扑、序等数学分支以及理论计算机科学中都有重要的作用,参见文献[10,22-24].可以预期,Goguen范畴的协变幂集monad和双反变幂集monad在模糊集的代数、拓扑和序的结构的研究中也将起到重要的作用.

1974年,Goguen[16]已涉及范畴Set(Q)中幂集monad的研究,但是结果不甚理想.2012年,Eklund等[21]给出Goguen范畴的协变幂集monad,而双反变幂集monad直到2023年才由文献[25]给出.下面给出这2个monad的具体构造.

首先给出协变幂集monad(U,m,e)的构造.任给模糊集(X,α),令

U(X,α)=(QX,α↓),

其中

α↓(γ)=subX(γ,α).

任给Goguen映射f:(X,α)→(Y,β),容易验证映射

Uf:(QX,α↓)→(QY,β↓),γf(γ)

满足Goguen条件,于是得到一个函子

U:Set(Q)→Set(Q),

称为Set(Q)的协变幂集函子.

定义自然变换m:U2→U和e:id→U如下:任给模糊集(X,α),有

m(X,α):(QQX,α↓↓)→(QX,α↓),

m

e(X,α):(X,α)→(QX,α↓),e(X,α)(x)=kx.

Eklund等[21]证明了(U,m,e)是Set(Q)的monad,是集合范畴的协变幂集monad在Set(Q)中的推广,说明(U,m,e)的Kleisli范畴恰好是模糊集和Goguen关系构成的范畴Rel(Q).文献[25]则说明了它的一个Eilenberg-Moore代数恰好是一个Q-值完备格的一个对上确界封闭的模糊子集.

接下来给出Goguen范畴的双反变幂集monad(P,μ,η)的构造.任给模糊集(X,α),令

P(X,α)=(QX,α↑),

其中

α↑(γ)=subX(α,γ).

任给Goguen映射f:(X,α)→(Y,β),不难验证

Pf:(QY,β↑)→(QX,α↑),γγ∘f

满足Goguen条件,于是得到一个反变函子

P:Set(Q)→Set(Q).

可以证明,反变函子P是它的对偶函子

P:Set(Q)→Set(Q)

的右伴.

伴随P┤P诱导的monad(P,μ,η)就是Set(Q)的双反变幂集monad,其具体结构如下:

1) 函子P:任给模糊集(X,α),P(X,α)=(QQX,α↑↑),其中

Λ∈QQX;

2) 单位η:任给模糊集(X,α),Goguen映射η(X,α):(X,α)→(QQX,α↑↑)定义如下:

η(X,α)(x)(γ)=γ(x),x∈X,γ∈QX;

3) 乘法μ:任给模糊集(X,α),Goguen映射μ(X,α):P2(X,α)→P(X,α)定义如下:

μ

H:QQQX→Q,γ∈QX,

其中

下面的定理表明Set(Q)的双反变幂集monad的Eilenberg-Moore代数范畴对偶等价于Set(Q),因此,虽然不再是topos,Goguen范畴也是它自身上的对偶monadic范畴,这是Goguen范畴Set(Q)的一个重要性质.

定理 2.3[25]函子P:Set(Q)→Set(Q)是monadic函子.

借助Set(Q)的双反变幂集monad,可以构造Set(Q)的滤子monad等其他一些monad[25].这些monad不仅有助于理解Goguen范畴中幂对象的结构和性质,它们在模糊集的代数、拓扑等数学结构的研究中也有重要的作用[21,26].

问题 2.4Goguen范畴Set(Q)的双反变幂集monad的Eilenberg-Moore代数范畴对偶等价于Set(Q),一个自然的问题是,它的滤子monad的Eilenberg-Moore代数是什么?

问题 2.5文献[25]说明了Goguen范畴Set(Q)的协变幂集monad的一个Eilenberg-Moore代数恰好是一个Q-值完备格的一个对上确界封闭的模糊子集.如果把这些代数看作范畴Set(Q)中的“完备格”,那么该范畴中的“偏序集”是什么?

3 Q-集范畴

和Goguen范畴中把隶属函数看作一个集合到单点集的模糊关系不同,Q-集理论的出发点是把隶属函数看作一个类型函数α:X→Q,值α(x)解释为x的类型,在此基础上探讨模糊集的范畴性质.一个简单的办法是把模糊集范畴定义为切片范畴Set↓Q:

对象:模糊集(X,α),(Y,β),…

态射:(X,α)到(Y,β)的一个态射是一个映射f:X→Y,满足α=β∘f.

复合:映射的复合.

怎样把Q的逻辑结构利用起来呢?这是模糊集理论研究中的一个基本问题,也是模糊集理论区别于其他数学分支的地方.Q-集范畴就是借助Quantaloid-强化范畴理论,充分利用Q的逻辑结构得到的一个范畴,引入这一范畴的动机和方法都根植于Ω-集理论[4,27].为了理解这一办法,回顾一个简单的事实:集合之间的映射可以描述为满足一定条件的关系.具体说来,若R⊆X×Y是X到Y的一个关系,则下列两条等价:

1) 存在映射f:X→Y使得R是f的图像,即R={(x,f(x))|x∈X}.

2) 存在Y到X的关系S⊆Y×X满足idX⊆S∘R,R∘S⊆idY.

定义 3.1模糊集(X,α)到(Y,β)的模糊关系φ:(X,α)→∘(Y,β)指映射φ:X×Y→Q,满足

φ(x,y)≤α(x)∧β(y), ∀(x,y)∈X×Y.

模糊集(X,α)上的恒等模糊关系指映射

id

至此,问题转化为怎样复合模糊集之间的模糊关系,使得模糊集上的恒等模糊关系成为单位元,并在此基础上探讨可视为“映射”的模糊关系.1981年,Eytan[28]就逻辑值域为完备Heyting代数的情形率先做了尝试.

设Ω=(Ω,∧,1)是一个完备Heyting代数.Eytan把φ:(X,α)→∘(Y,β)和ψ:(Y,β)→∘(Z,γ)的复合定义为

ψ∘φ:(X,α)→∘(Z,γ),

(x,z)

(2)

由于(Ω,∧,1)是完备Heyting代数,容易验证模糊集上的恒等模糊关系是该运算的单位元.

定义 3.2[28]设Ω=(Ω,∧,1)为完备Heyting代数.模糊集(X,α)到模糊集(Y,β)的一个Eytan型态射定义为一个序对(φ,ψ),满足以下条件:

(i)φ:(X,α)→∘(Y,β)是一个模糊关系;

(ii)ψ:(Y,β)→∘(X,α)是一个模糊关系;

Eytan[28]断言范畴Fuzz(Ω)是一个topos.遗憾的是,Pitts[29]说明了这不对,该范畴其实是文献[4,27]中由Ω-集构成的topos的一个子范畴.

定义 3.3设Ω=(Ω,∧,1)为完备Heyting代数.一个Ω-集是一个序对(X,E),其中,X是一个集合,E:X×X→Ω是一个映射,满足:

(i)E(x,y)=E(y,x)(对称性);

(ii)E(y,z)∧E(x,y)≤E(x,z)(传递性).

给定一个Ω-集(X,E),令e(x)=E(x,x),由于E(x,y)≤E(x,x)∧E(y,y),于是E:X×X→Ω是模糊集(X,e)到它自身的一个对称、传递、自反(e(x)≤E(x,x))的模糊关系.从模糊集理论的角度看,一个Ω-集就是带有一个模糊等价关系的模糊集.

定义 3.4设(X,EX)、(Y,EY)是Ω-集.(X,EX)到(Y,EY)的一个态射是一个序对(φ,ψ),满足条件:

(i)φ:(X,eX)→∘(Y,eY)是一个模糊关系;

(ii)ψ:(Y,eY)→∘(X,eX)是一个模糊关系;

(iii)EY∘φ∘EX≤φ,EX∘ψ∘EY≤ψ;

(iv)EX≤ψ∘φ,φ∘ψ≤EY.

Ω-集和它们之间的态射构成一个范畴Ω-Set,称为Ω-集范畴.

范畴Ω-Set等价于完备Heyting代数Ω上的层构成的范畴[4],因此,范畴等价于一个topos,具有很好的范畴论性质.由于层论和topos理论的巨大成功,自20世纪80年代起,不断有学者尝试把Ω-集理论推广到逻辑值域更为一般的情形.这一过程遇到了很多困难,其中之一是由(2)式定义的模糊集之间模糊关系的复合仅当逻辑值域是完备Heyting代数时有效,如果尝试把其中的取小运算∧替换为quantale的半群运算&,模糊集上的恒等模糊关系不再是复合运算的单位元.人们尝试通过限制quantale或重新定义模糊集之间模糊关系的复合运算来解决问题,参见文献[30-31]以及Höhle的系列工作[8,32-34],一个重要进展出现在文献[35-36]中,这2篇文献都从强化范畴的角度探讨模糊集的范畴论性质,这一视角导致了Q-集范畴的概念.

为了方便,同文献[36]一样,仅讨论逻辑值域Q是可除的、交换的、有单位元的quantale的情形.

定义 3.5[37]设Q=(Q,&,k)是一个交换的有单位元的quantale.称Q可除,若任给a,b∈Q,只要a≤b,则存在c∈Q满足a=b&c.

若Q=(Q,&,k)可除,则单位元k一定是Q的最大元1.事实上,因为Q可除,存在w∈Q,k=1&w,于是1=k&1=w&1&1≤w&1=k.

引理 3.6[36-37]设Q=(Q,&,k)是一个交换的有单位元的quantale.下列等价:

1)Q可除;

2) ∀x,y∈Q,x≤y⟹x=y&(y→x);

3) ∀x,y,z∈Q,x,z≤y⟹z&(y→x)=x&(y→z);

4) ∀x,y∈Q,x∧y=x&(x→y).

例 3.7(i) 每个完备Heyting代数可除;

(ii) Lawvere quantale([0,∞],+,0)可除;

(iii) 若&是[0,1]上的左连续三角模,则([0,1],&,1)可除当且仅当&是连续三角模.

本节余下部分始终假设Q=(Q,&,k)是一个可除的、交换的、有单位元的quantale.

设φ:(X,α)→∘(Y,β)和ψ:(Y,β)→∘(Z,γ)是模糊集之间的模糊关系,按以下方式定义复合ψ∘φ:(X,α)→∘(Z,γ):

∀(x,z)∈X×Z,

不难验证,若Q是完备Heyting代数,则由(3)式定义的复合与由(2)式定义的复合是一样的,但是,若Q不是完备Heyting代数,它们则不一样.

设φ:(X,α)→∘(X,α)为模糊集(X,α)上的一个模糊关系.若id(X,α)≤φ,则称φ自反;若φ(x,y)=φ(y,x),则称φ对称;若φ∘φ≤φ,则称φ传递.

定义 3.8Q-集是一个序对((X,α),E),其中(X,α)是一个模糊集,E:(X,α)→∘(X,α)是一个模糊等价关系,即一个自反、对称、传递的模糊关系.

Q-集是Ω-集的推广,一个Q-集是一个带有模糊等价关系的模糊集.由自反性得α(x)=E(x,x),于是一个Q-集可描述为一个序对(X,E),其中X是一个集合,E:X×X→Q是一个映射,满足条件:

(i)E(x,y)≤E(x,x)∧E(y,y);

(ii)E(x,y)=E(y,x);

例 3.91994年,Matthews[38]引入的偏度量空间是Q-集的一个重要例子.令Q表示Lawvere quantale([0,∞],+,0),则一个Q-集就是一个偏度量空间.具体说来,一个偏度量空间是一个序对(X,p),其中X是一个集合,p:X×X→[0,∞]是一个映射,满足

(ii)p(x,y)=p(y,x);

(iii)p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z)-p(y,y).

文献[38]还要求偏度量满足分离性条件:

p(x,y)=p(x,x)=p(y,y)⟹x=y.

定义 3.10设((X,α),E)和((Y,β),D)是Q-集.从((X,α),E)到((Y,β),D)的一个态射定义为一个序对(φ,ψ),满足下列要求:

(i)φ:(X,α)→∘(Y,β)是一个模糊关系;

(ii)ψ:(Y,β)→∘(X,α)是一个模糊关系;

(iii)D∘φ∘E≤φ,E∘ψ∘D≤ψ;

(iv)E≤ψ∘φ,φ∘ψ≤D.

Q-集和它们之间的态射构成的范畴称为Q-集范畴.

下面说明Q-集是一种强化范畴,这也从侧面反映了Q-集是一个自然的数学概念.与此相关的数学理论是Quantaloid-强化范畴理论,关于这一理论可参考文献[39-42],这里仅列出几个基本概念.

quantaloidQ是一个满足以下2个条件的范畴:

1) 任给2个对象X、Y,态射集Q(X,Y)是一个完备格;

2) 态射复合关于每个变元保并,即

只有一个对象的quantaloid就是一个(未必交换的)quantale.定义2.1中的由模糊集和Goguen关系构成的范畴Rel(Q)是一个quantaloid,而它的子范畴Set(Q)则不是.

定义 3.11设Q是一个quantaloid,其对象类记为Q0.一个(小的)Q-范畴A由以下构件组成:

1) 一个集合A0,它的元素是Q-范畴A的对象;

2) 一个类型函数t:A0→Q0,t为每个对象指定一个类型,而一个类型就是Q的一个对象;

3) 为每个序对(x,y)∈A0×A0指定一个元素A(x,y)∈Q(tx,ty),解释为x到y的“态射集”.

这些构件满足:对任意的x,y,z∈A0都有

1tx≤A(x,x),A(y,z)∘A(x,y)≤A(x,z).

设A、B是Q-范畴.一个Q-分配子(Q-distributor)φ:A→∘B为每个序对(x,y)∈A0×B0指定一个元素φ(x,y)∈Q(tx,ty),满足

B(y,y′)∘φ(x,y)∘A(x′,x)≤φ(x′,y′).

若φ:A→∘B和ψ:B→∘C都是Q-分配子,则

ψ∘φ:A→∘C,

也是Q-分配子,称为φ和ψ的复合.

当Q的对象类Q0是一个集合时,一个Q-范畴就是切片范畴Set↓Q0的一个对象,赋予适当的结构.下面说明Q-集是一种特殊quantaloid-强化范畴.

设Q=(Q,&,k)是可除的、交换的、有单位元的quantale.利用Q构造quantaloidD(Q)如下[35-36]:

对象:Q的元素x,y,z,…

态射集:D(Q)(x,y)={a∈Q|a≤x∧y};

复合:任给a∈D(Q)(x,y)和b∈D(Q)(y,z),b∘a=b&(y→a)=a&(y→b);

单位元:D(Q)(x,x)的单位元是x;

序:态射集D(Q)(x,y)继承Q的序.

Stubbe[40]阐释了D(Q)的范畴论意义,D(Q)是Q的对角线范畴.当Q是完备Heyting代数时,该构造最早出现于文献[43].

利用一个可除的quantaleQ构造的quantaloidD(Q)具有一些特别的结构.提醒读者注意,任给x,y∈Q,虽然态射集D(Q)(x,y)和D(Q)(y,x)作为Q的子集是同一个集合,但是,它们的意义是不一样的,D(Q)(x,y)中的一个元素表示x到y的一个态射,而D(Q)(y,x)中的一个元素则表示y到x的一个态射.任给x,y∈Q,考虑映射

(-)°:D(Q)(x,y)→D(Q)(y,x),a°=a,

则(D(Q),(-)°)是文献[39]定义2.5.1意义下的对合quantaloid,(-)°称为它的对合运算.

借助D(Q)的对合运算(-)°,可以描述D(Q)-范畴的“对称性”:称D(Q)-范畴A对称,若任给2个对象x、y,始终有A(x,y)=A(y,x)°.

于是,一个Q-集就是一个对称的D(Q)-范畴.Q-集范畴为模糊集的研究提供了一个良好的框架,但是关于这一范畴我们知之甚少,它的很多性质都有待探索.

问题 3.12设Q=(Q,&,k)是一个可除的、交换的、有单位元的quantale.

1) 若Q-集范畴等价于一个topos,Q是否一定是完备Heyting代数?

2)Q-集范畴是否是它自身的对偶monadic范畴?

致谢王学平教授在写作过程中给予的建议和帮助,谨致谢意.