基于非线性MPC的电动赛车驱动防滑控制

吴勃夫, 徐 晓, 陈自强, 孙 亮, 吴姚烨

(合肥工业大学 汽车与交通工程学院,安徽 合肥 230009)

相较于传统汽车,电动车具有能量转换效率高、环境负面影响小、车身噪音低等优点[1]。本文电动方程式赛车由本研究团队自主设计、加工和调试,赛车需满足比赛规则和行驶安全性,同时在加速、刹车、操作性等方面性能优异且稳定[2]。

电动赛车电机布置形式为四电机分布式轮边驱动,轮边减速形式选用2Z-X(B)型行星齿轮传动结构以提高传动效率。轮边电机分布式驱动与中央驱动、电动驱动不同,轮边电机装配在电动赛车的每个轮边立柱上,充当动力输出,其布置形式可以提供更好的控制性,以改善车辆动态性能。

电动赛车更加注重加速性能、纵向稳定性和横向稳定性。为了发挥四电机优势,驱动防滑控制策略可以辅助赛车充分发挥轮胎附着性能,保持更好的抓地力和减少能量损耗。

车辆驱动防滑功能实现和稳定的关键在于滑移率控制[3]。驱动防滑控制方法主要包括比例积分微分(proportional integral derivative,PID)控制、滑模变结构控制、模糊控制、非线性反馈增益控制和模型预测控制(model predictive control,MPC)等[4]。只采用PID控制算法可以简单实现驱动防滑功能,但其控制参数不具备跟随工况改变的适应性,鲁棒性也得不到有效保证。文献[5]提出模糊PID驱动防滑控制算法,模糊PID控制器不仅具有PID控制器的稳定性和较高的控制精度优点,还具备非线性和时变性优点;文献[6]提出在模糊化时对滑移率进一步细化处理可以提升路面滑移率的识别精度。模糊控制系统具有较强的鲁棒性、适应性和抗干扰能力,常被用于非线性、时变及纯滞后系统的控制,如对非线性轮胎驱动防滑的分析上,但需要凭借实验经验建立控制系统的模糊规则。

文献[8]通过非线性MPC实现四轮电动汽车的驱动防滑,增加对松弛变量的惩罚,以确保驱动防滑功能的可行性;文献[9]提出基于四轮电动汽车的快速MPC分配方法,并改进延拓/广义最小残差(C/GMRES)算法解决MPC分配中计算量大的问题;文献[10]提出加入了具有标准滑模控制增益的积分项来优化模型控制,提高了电动汽车的动力性。

非线性模型预测是为了处理系统存在非线性而提出的,该方法常被用来解决模型非线性问题和复杂的约束问题。本文采用非线性MPC方法来实现轮边驱动电动赛车的加速滑移控制,结合赛车特性提升赛车在加速时的加速性能和稳定性。首先采用CarSim与Simulink软件联合仿真,验证该方法的可行性;其次在轮边台架试验台上进行试验验证。轮边试验台由电机、减速器、扭矩转速传感器、测功机和上位机等组成,主要功能是实现电机的稳定性测试和整车控制器(vehicle control unit,VCU)的算法模型调试与验证。

1 系统建模

本文分析的车辆模型为轮边电机分布式驱动电动赛车,电动赛车分布式驱动示意图如图1所示。相较于电动汽车,电动赛车的最大特点是装备了空气动力学套件,在加速、过弯时空气动力学套件可以将风阻转换成下压力,增加轮胎的抓地性能。

为了研究电动赛车的驱动防滑控制,模型构建上采用基于车辆动力学的非线性打滑控制系统模型,主要包括车辆动力学模型、轮胎模型和轮边电机模型。本文研究重点是滑移率控制对赛车纵向运动性能与动力输出响应的影响,因此未考虑车身的俯仰和侧倾动力学,而是结合赛车在直线加速时的运动特性。

1.1 滑移控制模型

1.1.1 车辆动力学模型

本文研究目标为构建控制模型对滑移进行控制,以提升赛车纵向性能,因此采用的车辆动力学模型主要包括车辆的纵向运动和4个车轮的旋转运动。车辆相关参数见表1所列。

表1 整车参数

表1中:m为整车质量;a、b分别为从重心到前、后轴的距离;hCG为重心高度;lf、lr分别为车辆前、后轮距;re为车轮半径;g为重力加速度;Jω为车轮转动惯量。

整车变量参数设置如下:v为车速;ax、ay分别为纵向、横向加速度;Fxi为四轮纵向力;Fzi为四轮垂直力;ωi为四轮转速;Tmi为四电机输出扭矩;κi为四轮纵向滑移率;Mair、fair、froll分别为下压力、空气阻力、滚动阻力。整车动力学模型如图2所示。

图2 整车动力学模型

车辆的纵向运动和轮胎滚动运动方程[11]描述如下。

车辆纵向受力为:

(1)

其中:Fxi为轮胎纵向所受到的力,i=1,2,3,4分别代表左前轮、右前轮、左后轮、右后轮;fair为空气阻力大小;froll为滚动阻力大小。本赛车的空气阻力主要来自于车身和空气动力学套件。

车轮滚动阻力为:

(2)

其中:Jω i为4个车轮的转动惯量,由于轮辋质量与胎压相差微小,4个车轮的转动惯量设为一样;Tbi为4个车轮的机械制动力矩大小,本文主要研究滑移率控制对赛车加速性能的影响,故机械制动力矩Tbi=0。

1.1.2 轮胎模型

轮胎是连接车辆和地面的唯一桥梁,本文采用的赛车轮胎为大陆公司的C19方程式热熔胎,热熔胎增加了赛车与路面的接触面积,因此增加了赛车的抓地力。轮胎模型是系统输入和赛车纵向运动的连接媒介,本文采用的轮胎模型是Pacejka开发的“魔术公式”[12],在该模型中,可利用三角函数组合精确地表示轮胎力。轮胎纵向力被描述为纵向滑移和轮胎垂直载荷的复杂非线性函数,即

Fxi=Dxsin(Cxarctan{Bxkxi-

Ex[Bxkxi-arctan(Bxkxi)]})+Sv

(3)

其中:Bx、Cx、Dx、Ex、Sv分别为刚度、形状、峰值、曲率因子和曲线的垂直方向漂移;kxi为纵向滑移率。基于轮胎模型的轮胎滚动阻力计算公式为:

Mroll=r0Fzi[qSy1+qSy2Fx/Fz0+

qSy3|Vx/Vref|+qSy4(Vx/Vref)4]

(4)

froll=Mroll/re

(5)

由轮胎文件可知:qSy1取-0.023;qSy2、qSy3、qSy4均取0。

1.1.3 电机模型

本文赛车采用AMK公司的竞赛电机(AMK.DD5-14-10-POW),该电机参数见表2所列。其中:Tmax为最大扭矩;Tn为额定扭矩;Pn为额定功率;Nn为额定转速;N0为无负载转速。

表2 电机参数

电机的扭矩输出受其输入电压和电机内部磁场变化影响。电机扭矩输出随输入电压的降低而降低,电机的最大扭矩值随磁场减弱而下降。为了保证电机扭矩输出的稳定性,该赛车电机控制器采用567 V输入电压,并保持良好的散热性能,以避免高温导致电机磁场衰弱现象。

电机输出轴连接着轮边减速器,实现增扭降速功能,由电机输入到轮胎的扭矩计算公式为:

Ti=riTmi

(6)

其中,ri为减速比,由圈速仿真结果计算得到赛车的四轮减速比为13.5。

1.2 求解模型

1.2.1 滑移率求解模型

赛车轮胎的附着系数与滑移率在低滑移率区间呈线性正相关关系,如图3所示。在滑移率增长的同时路面附着系数也在增加,当纵向附着系数达到峰值,即峰值路面附着系数μmax,此时所对应的滑移率即为最优滑移率κopt。当滑转率继续増加时,路面附着系数将减小,同时车辆的加速性能也在减小。

图3 赛车轮胎的附着系数与滑移率关系曲线

轮胎与地面间的侧向附着系数随着滑移率增加而迅速降低,为了使车辆具备优秀的加速性能和侧向性能,需要控制赛车加速时的滑移率保持在最佳滑移率,即

κ=κopt

(7)

车轮纵向滑移率求解公式[5]如下:

(8)

根据式(8),由纵向速度和车轮转速可以求得每个轮胎的纵向滑移率。为了防止赛车起步时纵向速度接近于0而导致滑移率计算值趋近于无穷大,在滑移率计算公式的基础上增加了防剧增因子ε=0.1 m/s。根据“轮胎魔术公式”[12]得出轮胎纵向力与滑移率的关系为:

Fxi=Kxiκxi

(9)

其中,Kxi为纵向滑移刚度,由4个轮胎相应的垂直载荷求解得出。Kxi计算公式如下:

Kxi=Fzi(pKx1+pKx2Δfzi)exp(pKx3Δfzi)λKx

(10)

(11)

由轮胎文件可知:pKx1、pKx2、pKx3为魔术公式给出的参考拟合系数,取值分别为81.25、-20.25、0.50;λKx、λFz0分别为滑移刚度和额定载荷的比例系数,2个比例系数值均为1;Fz0为标称额定负载,Fz0=800 N·m;Fzi为轮胎在赛车运动时的垂直载荷。Fzi(i=1,2,3,4)计算公式为:

(12)

(13)

(14)

(15)

其中:空套与车身的下压力和空气阻力作用点为风压中心点,Mair为车身和空气套件在加速时集中作用在风压中心的下压力,并将下压力分配到4个轮胎的垂直载荷上;c、d分别为风压中心到前轴和后轴的距离;hair为风压中心的高度,由图2可知风压中心比重心靠后,可增强抗侧风能力。

空气套件提供的下压力可以增强赛车的加速和转弯性能,因此在力学建模上结合了赛车空气动力学模型。由流场分析得到赛车在不同车速下车身和空套所产生的下压力和空气阻力,见表3所列。

表3 不同车速下阻力和升力的变化 单位:N

由表3数据计算得到升力系数和阻力系数分别为Cl=-3.896、Cd=-1.419,代入升力公式和阻力公式,计算得出随车速变化的空气阻力fair和下压力Mair。将计算出的空气阻力、升力与多组不同车速下的阻力、升力数据比较,结果两数值相差微小,因此在建模时可以用升力公式和阻力公式代替流场分析得到的数据。Mair、fair计算公式[13]如下:

(16)

(17)

其中:ρ为空气密度;v为赛车行驶速度;S为该赛车行驶方向的投影面积,取S=1.149 m2。

2 基于NMPC驱动防滑控制器设计

非线性模型预测控制(nonlinear model predictive control,NMPC)驱动防滑控制器的总体设计思路如图4所示。

图4 加速时驱动防滑总体结构

通过CarSim软件搭建轮边电机赛车模型,在Simulink上利用赛车模型提供的四轮转速、纵向加速度、横向加速度和车速计算4个轮子的滑移率和4个电机的最大扭矩值,驱动防滑控制器通过滑移率和扭矩信息计算得到4个轮边电机的参考扭矩输出,并提供给赛车模型以实现联合仿真。

2.1 模型预测

为了构建求解纵向滑移率和扭矩输出的状态关系模型,将式(8)滑移率对时间求导数得:

(18)

结合式(1)、式(2)、式(9)得到滑移率与扭矩的关系为:

(19)

由(19)式可得NMPC的状态空间模型公式[8]如下:

(20)

设x=[κ1κ2κ3κ4]T为状态空间模型的状态变量,u=[Tm1Tm2Tm3Tm4]T为系统输入变量,y=[κ1κ2κ3κ4]T为系统输出变量。

为了解决优化控制问题,采用欧拉方法[14]对系统状态空间模型进行离散,即

x(k+1|k)=Ax(k)+Bu(k),

y(k)=Cx(k)

(21)

定义Np为预测范围,Nc为控制范围,预测公式如下:

x(k+Np|k)=ANp-1BΔu(k)+…+

ANp-Nc-1BΔu(k+Nc)+BNcx(k)

(22)

2.2 成本函数设计

建立成本函数的目的是保证赛车在加速时的最佳滑移率跟踪性能和扭矩输出平稳性能[14]。成本函数包含2个优化目标,主要目标为保证滑移率跟踪性能,次要目标为优化扭矩变化率。2个目标函数分别描述如下:

1) 主要目标。为了确保赛车在加速过程中可以获得更好的加速性能,并避免纵向力过大导致车辆不稳定,设置目标滑移率跟踪函数为:

(23)

其中,yr(k+i)为四轮最佳纵向滑移率。

2) 次要目标。为避免扭矩的变化率过大导致赛车在驾驶中出现不稳定的加速现象和保证车辆驾驶过程中的平稳性,增加成本函数J2去控制扭矩输出变化率,即

(24)

以上设计目标相加组成最终的成本函数如下:

(25)

其中:n1、n2分别为2个目标的权重系数,根据优化分析得到权重系数分别为1 500、5。

3 测试结果

3.1 仿真测试结果

由于比赛路面为沥青路面,赛车直线加速时没有转向动作参与,基于路况信息在CarSim中进行参数配置。

设置路面附着系数为0.8,最佳滑移率为0.10时仿真结果如图5所示。在起步时轮胎纵向速度与车速相差不大,在0.2 s后纵向滑移率急剧增加,以获得较大的扭矩输出,如图5a所示;由于在加速时重心后移,为了得到更好的加速性能,采用前两轮最大扭矩限制,如图5b所示,在成本函数J1的控制下,四轮滑移率很快接近理想滑移率κ=0.10;比赛加速成绩的评定依据为赛车75 m路程的加速时间,如图5c所示,赛车完成75 m加速路面仿真时间为4.909 s,车速由0 km/h增加到111.30 km/h,在成本函数J2的约束下扭矩增加更加平稳,保证了加速性能的同时也保证了扭矩输出的平稳性。

图5 μ=0.8时加速驱动防滑仿真结果

当赛道出现积水路况,路面的附着系数处于0.3～0.5范围内。在CarSim参数配置中,设置附着系数为0.3,最佳滑移率为0.08时,积水路面加速仿真结果如图6所示。相较于干燥路面,积水路面防滑控制要在保证赛车加速性能的同时,注重加速时的驱动防滑性能。

图6 μ=0.3时加速驱动防滑仿真结果

从图6a、图6b可以看出,相较于干沥青路面,为避免扭矩过大导致车轮出现打滑,控制器在积水路况降低了四轮最大扭矩的限制数值,最佳滑移率跟随效果和加速性能得到了保证。

从图6c加速结果可以看出,75 m路程的加速完成时间为5.789 s,车速从0 km/h加速至96.88 km/h。

3.2 试验测试结果

半实物硬件在环试验如图7所示。模型在快速原型平台基础上进行搭建,满足实时计算性能需求,并通过自动代码生成,将建模与仿真阶段所形成的控制算法模型下载到快速原型控制器硬件(RapidECU-U2)中。

1.上位机 2.电机 3.电机控制器 4.电池箱

电脑通过Kvaser CAN与控制器通讯,硬件在环仿真时,电脑将车辆状态参数发送到U2,U2根据控制策略制定扭矩输出,同时将电机实时转矩信息输入到电脑,用于计算车辆状态,通过电脑、U2及台架完成半实物硬件在环。

由于该试验台电机数量限制,采用同一工况前、后双电机分开试验后,再做数据整合。路面附着系数μ=0.3的半实物硬件在环试验结果如图8所示。

图8 在μ=0.3下的加速驱动防滑试验结果

由图8a数据计算得到,台架试验上四轮输出扭矩比仿真结果减少了3.6%,这是由于试验测试环境不同,电机实际输出转速与理想扭矩模型输出的转速有偏差,再通过模型计算导致扭矩输出减少;从图8b可以看出滑移率的控制保持着良好的鲁棒性;从图8c可以看出,75 m路程的加速完成时间为5.990 s,这是由于输出扭矩减少了3.6%,加速时间慢了0.201 s,最终赛车尾速达到99.05 km/h。

由试验结果可知,本文采用的方法在最佳纵向滑移率跟随性能与纵向加速性能上都具备良好的鲁棒性。

4 结 论

为实现轮边驱动的电动赛车在直线加速赛道上有良好的动力性和稳定性,避免起步出现打滑不稳定现象,本文采用非线性MPC控制方法,实现约束条件下的驱动防滑,得到结论如下:

1) 通过采用非线性模型控制结合赛车特性,对轮胎非线性滑移率控制进行分析,并搭建滑移率控制扭矩输出模型。

2) 对赛场最容易出现变化的赛道附着系数进行设置,并联合CarSim和MATLAB/Simulink软件进行仿真分析。仿真结果表明,本文控制方法在路面附着系数为0.8、0.3的路况下,均能有效地将纵向滑移率控制在理想区间内,在提升赛车动力性能和驱动防滑性能的同时,保证加速扭矩输出的平稳性。

3) 通过半实物硬件试验平台进行路面附着系数为0.3的路况试验,结果得出,本文控制方法在最佳纵向滑移率跟随性能与纵向加速性能上均具备良好的鲁棒性,扭矩输出微小偏差主要源于实际转速输出与理想模型输出转速之间的偏差。