龄期相关的混凝土尺寸效应断裂模型

高小峰，杨 程，李庆斌，胡 昱，谭尧升，周欣竹

(1.浙江工业大学土木工程学院，杭州 310023；2.清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084；3.中国三峡建工(集团)有限公司，成都 610041；4.中国长江三峡集团有限公司，北京 100038)

混凝土结构在施工期和运行期均可能面临开裂问题[1-3]。只有同时掌握混凝土断裂参数的时变特性和尺寸效应，才能正确评价任意时刻混凝土结构的开裂风险或裂缝稳定性。现有研究[4-9]多关注特定龄期混凝土断裂参数存在的尺寸效应。然而，任意龄期混凝土构件的断裂破坏分析对结构全生命周期的安全评定亦极为重要，因此有必要对龄期变化时混凝土断裂参数的尺寸效应进行深入研究。

尺寸效应模型[10-19]和边界效应模型[20-22]是学者们为了描述准脆性材料断裂过程中存在的尺寸效应现象而提出的两类主要理论模型。前者强调试件尺寸对断裂破坏的影响，而后者则可同时考虑试件尺寸和裂缝长度对材料开裂过程的影响效应。上述两类模型的参数中均包含试件尺寸和缝高比相关的几何信息，以及混凝土自身的强度参数、韧度参数和尺度参数。显然，模型中的几何信息参数不随龄期变化而发生改变，但强度、韧度和尺度参数则可能随龄期增长而变化。对于特定龄期混凝土断裂参数存在的尺寸效应，相关学者[10-14]设计并开展了不同试件尺寸和初始缝高比的断裂试验，并采用尺寸效应模型对试验结果进行分析，发现BAŽANT 等[15-19]提出的1 型、2 型或通用尺寸效应模型可实现试件尺寸和缝高比变化时混凝土断裂破坏的准确预测。HU 等[20-22]提出并逐步发展了边界效应模型，并采用试验结果对模型在混凝土材料参数和临界破坏状态的预测等方面的合理性与适用性进行了验证。现有边界效应模型可考虑混凝土材料的非均质性[23-25]，通过特定龄期几何相似与非几何相似试件断裂试验结果确定混凝土无尺寸效应的开裂强度、起裂韧度、拉伸强度和断裂韧度等材料参数，并以此为基础建立相应的设计理论和方法[26-29]。综上所述，现有尺寸和边界效应模型对于特定龄期混凝土断裂破坏预测的适用性已得到广泛验证，但若要将其推广至任意龄期，还需进一步明确各自模型中强度、韧度和尺度参数的时变规律。

现有研究表明[30-31]：混凝土的强度、韧度或尺度参数一般随龄期的增长而单调变化，直至在水泥水化完成后达到其最终稳定值。MI 等[30-31]和GAO 等[32]先后开展了单一尺寸、不同龄期、不同养护条件的中热和低热水泥混凝土断裂试验，进而采用成熟度方法建立了混凝土强度、断裂韧度、断裂能和特征长度等参数与等效龄期之间的关系。结果表明：混凝土的强度、韧度和断裂能均随龄期的增长而单调增长并趋于稳定，而混凝土的特征长度[30]则随龄期的增长而逐渐减小。BEYGI 等[33]和FALLAHNEJAD 等[34]分别开展了混凝土龄期为3 d～90 d 的尺寸效应试验，发现强度和韧度均随龄期的增长而增大，而特征长度则随龄期的增长而逐渐减小。GETTU 等[35]进行了不同龄期、不同试件尺寸的高强混凝土三点弯曲梁断裂试验，并采用尺寸效应模型计算了不同龄期混凝土无尺寸效应的断裂韧度和断裂能，发现高强混凝土的失稳韧度和断裂能随龄期的增大而逐渐减小。WAN-WENDNER 等[36]设计并开展了特定龄期、不同尺寸和单一尺寸、不同龄期的超高性能混凝土(UHPC)三点弯曲梁断裂试验，并基于试验结果对UHPC 的尺寸效应和断裂特性开展了数值模拟和理论分析研究。结果表明：UHPC 的断裂能随龄期的增长呈现先增大后减小的规律，而特征长度则随龄期的增长而近线性减小。由此可见，关于龄期变化时混凝土断裂参数的尺寸效应规律目前学界尚无统一结论，且缺乏可应用于任意龄期混凝土构件开裂风险或裂缝稳定性分析的实用断裂理论模型。

本文首先基于现有模型建立可用于确定试件尺寸和缝高比变化时混凝土断裂破坏的尺寸效应模型演化形式，进而结合模型中材料参数的时变规律，提出一种龄期相关的尺寸效应断裂模型。最后采用文献中不同龄期、尺寸和缝高比的混凝土断裂试验结果对模型的适用性进行验证。研究成果可为混凝土结构全生命周期的开裂风险分析和安全评定提供依据。

1 龄期相关的尺寸效应模型

1.1 考虑尺寸和缝高比变化的尺寸效应模型

对于不同初始缝高比试件，BAŽANT 等[15-19]分别提出了1 型、2 型和通用尺寸效应模型。其中2 型尺寸效应模型为两参数模型，可用于预测初始缝高比不小于0.1 的几何相似试件的名义强度，具体表达式见式(1)：

式中：σN/MPa 为不考虑初始裂缝的名义强度；Bft/MPa 为尺寸效应模型中混凝土强度相关的材料参数；D/mm 和D0/mm 分别为试件的有效高度和几何相似试件的转换试件高度。对于如图1 所示的三点弯曲梁试件，σN可由式(2)计算得到。

图1 最大荷载作用下的三点弯曲梁试件Fig.1 TPB specimen subject to the maximum load

式中：Pmax/N 为最大荷载；S/mm 和W/mm 分别为试件的跨度和宽度。

式(1)中Bft和D0即为2 型尺寸效应模型中可由试验结果拟合确定的两个经验参数，可进一步表示为式(3)和式(4)的形式[18-19]。

式中：KIC/(MPa·m1/2)为尺寸效应模型中定义的无尺寸效应断裂韧度；cf/m 为断裂过程区的有效长度；α0=a0/h为初始缝高比；g(α0)与g'(α0)为无量纲几何参数，可分别由式(5)和式(6)[19,37]计算得到。其中KIC与cf或Bft与D0为仅与混凝土材料特性相关的强度、韧度或尺度参数。此类参数不随试件的几何尺寸变化而变化，为混凝土的材料常数。在龄期变化时，由于水泥水化导致混凝土材料特性发生改变，故而材料常数亦可能发生改变。

由式(4)可知，由于cf为材料常数，当试件跨高比S/D和初始缝高比α0确定时，2 型尺寸效应模型的转换试件高度D0亦为定值。图2 给出了α0为0.1、0.4 和0.7 时不同尺寸试件由尺寸效应模型确定的破坏曲线。以α0=0.1 为例，当式(1)中D/D0的比值小于0.1 时， σN≈Bft，即材料破坏主要受控于强度准则。BAŽANT 等[16]将β=D/D0的比值定义为脆性指数。当β＞10 时，不同尺寸试件的名义强度可以采用线弹性断裂力学准则，即韧度准则来进行预测，此时；而当β=0.1～10 时，材料的破坏同时受控于强度和韧度准则，即需采用尺寸效应模型确定其破坏曲线。

图2 不同尺寸和缝高比的混凝土破坏曲线Fig.2 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ratios of crack to height

图2 中同时给出了当α0增大时，Bft和D0的变化规律。由式(3)和式(4)可知，在材料常数KIC与cf以及试件的跨高比S/D确定后，Bft和D0的变化规律仅取决于初始缝高比α0。图2 中点划线所对应的名义强度为Bft。显然，随着α0的增大，Bft单调递减。转换试件高度D0值为强度准则和韧度准则名义强度预测线的交点。图2 中的虚线为不同初始缝高比条件下D0与α0的变化关系。随着α0的增大，D0呈虚线所示的先减小后增大的规律。为确定不同尺寸和特定初始缝高比的混凝土试件的Bft和D0，现有研究多采用几何相似试件开展断裂试验，进而对试验结果展开线性拟合分析，得到尺寸效应模型的两个基本参数。1/(σN)2和D之间的线性关系可由式(1)简单变换得到，如式(8)所示。

需要注意的是，式(8)仅适用于单一缝高比条件下不同尺寸试件的试验结果分析。对于特定尺寸、不同缝高比试件的试验结果，或多尺寸、多缝高比条件下的试验结果分析，可将式(3)和式(4)代入式(8)，并经化简得到如式(9)所示的线性关系。

式中：σNe/MPa 为不考虑初始裂缝的等效名义强度，σNe=σNH(α)π1/2；ae/mm 为尺寸效应模型中的等效裂缝长度，ae=Y2(α)/H2(α)×a0；材料常数KIC与cf可由斜率A2和截距C2计算得到，即KIC=(1/A2)1/2，cf=C2/A2。

在由线性分析得到材料常数KIC与cf之后，便可基于式(9)预测不同尺寸和缝高比试件的等效名义强度σNe。由于σNe为最大荷载和无量纲几何参数H(α)相关的间接变量，因此在应用于实际构件的极限状态判定时稍显不便。为此，管俊峰等[39 - 41]和高小峰等[42]分别基于边界和尺寸效应模型，通过引入等效几何参数，建立了峰值荷载与强度或韧度的线性关系式。类似地，式(9)也可改写为如式(10)所示的最大荷载Pmax与断裂韧度KIC的线性关系。

式中，Se/(mm·m1/2)为等效几何参数。Se是一个考虑了尺寸和缝高比的综合变量。因此，对于实际三点弯曲梁构件，在材料常数KIC与cf确定后，便可采用式(10)快速确定其所能承受的最大荷载。需要说明的是，材料常数的取值可采用具有一定保证率的数值，但当试验数据不足以确定材料常数的统计分布规律时，一般可取试验或分析所得平均值作为材料常数，以±10%至±20%作为材料特性的离散性[29,42]，用以确定破坏曲线或最大荷载的上下限。

1.2 龄期相关的尺寸效应模型

如1.1 节所述，式(1)中Bft和D0为2 型尺寸效应模型中的两个经验参数，可由不同尺寸和缝高比的断裂试验结果确定。现有研究多采用尺寸效应模型确定特定龄期混凝土的模型参数Bft和D0。然而，混凝土的材料参数会随着水泥水化的进行而不断变化，直至达到其最终的稳定值。显然，Bft作为强度相关的材料参数必然和混凝土龄期相关，而D0则由式(3)和式(4)可知其与强度Bft、韧度KIC和初始缝高比α0相关，因此D0亦为龄期相关的参数。图3 给出了由式(1)确定的不同尺寸和龄期的混凝土破坏曲线。可见，特定缝高比混凝土试件的名义强度随着龄期的增大而增长，转换试件高度D0随龄期的增长逐步趋于稳定值。

图3 不同尺寸和龄期的混凝土破坏曲线Fig.3 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ages

相较于传统的2 型尺寸效应模型，式(10)的模型演化形式可用于特定龄期、不同试件尺寸和缝高比混凝土试件最大荷载的确定，可直接应用于实际构件的极限状态判定。若要将其推广至任意龄期，则需进一步明确模型中KIC与cf的时变规律。需要说明的是，KIC、cf和Bft、D0是相互关联的两对尺寸效应模型参数，关系式见式(3)和式(4)。

现有研究表明：混凝土的强度或韧度与龄期的关系一般可取对数函数、幂函数或指数函数[43]等形式。而对于cf的时变规律，现有研究相对较少。BAŽANT 等[15]认为断裂过程区的有效长度cf约为其总长度的一半，且与IRWIN[44]的特征长度lch成正比[16]，可表示为：

式中，γ 为材料相关的系数。对于混凝土材料，γ一般为0.28 或0.29[45-46]，且不随龄期发生改变。因此，由式(11)可知，cf的时变规律主要取决于材料强度和韧度随龄期的变化。考虑以对数或幂函数形式建立的KIC或ft与龄期的关系方程存在材料参数随龄期增长而单调递增的问题，这与混凝土实际力学性能发展规律不符，因此本研究采用自然常数e 为底的指数函数作为力学参数随龄期的发展方程，即：

式中：KICu/(MPa·m1/2)为混凝土最终的无尺寸效应断裂韧度；ftu/MPa 为最终的抗压强度；t/d 为龄期；τ1和τ2为特征龄期，当t=τ1和τ2时，KIC和ftu分别为KICu/e 和ftu/e；j1和j2为形状参数。将式(12)和式(13)代入式(11)并整理可得cf=cfu·e2(τ2/t)j2-2(τ1/t)j1，其中，为cf的最终稳定值。可见，cf与龄期亦为以指数函数关系，且随着龄期t的增长，cf逐步递减或递增至其稳定值cfu，其函数增减性取决于特征龄期和形状参数的具体数值。由于不同龄期混凝土的材料常数KIC与cf可由基于式(9)的多尺寸、多缝高比试验结果分析同时获得，因此为简化实际分析过程中KIC与cf时变规律方程中参数的确定，可取cf的指数函数形式与KIC或ft相同，即：

式中，τ3和j3分别为特征龄期和形状参数。

进一步地，可基于式(12)和式(14)建立任意龄期和特定龄期之间混凝土材料参数的换算关系。如式(15)给出了任意龄期的断裂韧度KIC与28 d龄期断裂韧度KIC28之间的换算关系。式(16)则为任意龄期cf与28 d 龄期断裂过程区有效长度cf28之间关系。

将式(15)和式(16)代入式(10)便可得到如式(17)、式(18)所示的考虑龄期、试件尺寸、缝高比的混凝土三点弯曲梁最大荷载预测公式，即龄期相关的尺寸效应模型。

式中，Set/(mm·m1/2)为考虑混凝土龄期的等效几何参数。需要说明的是，式(18)虽形式上较为复杂，但在KIC与cf的时变规律后，Set的数值仅与试件的跨高比、缝高比等几何信息相关，因此计算较为简便。最终，任意龄期的最大荷载预测方程为以28 d 龄期断裂韧度KIC28为斜率，以Set为自变量的线性函数。

1.3 模型预测精度的评价指标

式(17)、式(18)所示的龄期相关尺寸效应模型可用于预测混凝土龄期、试件尺寸和缝高比变化时三点弯曲梁的最大荷载。本文采用如式(19)所示的相关系数(R)、式(20)所示的平均绝对百分比误差(MAPE)和式(21)所示的可靠性指数(a15)来评价模型预测的精度。

式中：n为数据点的数量；i为数据点编号；Pmaxyi为第i个数据点的预测值；Pmaxi为第i个数据点的试验测量值；a15为可靠性指数，表示与实验值相比，偏差为±15%以内的样本比例；M为数据集样本数；m15为预测误差为±15%以内的样本数。

2 模型的验证与讨论

2.1 试件龄期相同而尺寸和缝高比不同

2.1.1D=40 mm～500 mm，α0=0.15、0.3，t=400 d[10]

为了研究试件高度D和初始缝高比α0对混凝土断裂性能的影响，文献[10]开展了混凝土龄期t约为400 d，D为40 mm、93 mm、215 mm 和500 mm，a0为0、0.025、0.075、0.15 和0.3 的断裂试验。试件型式为跨高比S/D为2.176 的三点弯曲梁。试验结果见表1。其它试验相关信息见文献[10]。由于本文模型主要研究龄期相关的2 型尺寸效应，故选取α0=0.15 和0.3 的8 组试验结果用于模型的验证与讨论。

表1 文献[10]不同尺寸和缝高比试件断裂试验结果Table 1 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [10]

采用式(9)分别对α0=0.15 的4 组试件、α0=0.3 的4 组试件和α0=0.15 及0.3 的8 组试件试验结果开展线性回归分析，得到如图4 所示的1/(σNe)2和ae的线性回归分析结果。由拟合得到的线性方程斜率和截距计算可得混凝土的材料常数KIC与cf，将其代入式(3)和式(4)可得式(1)中定义的尺寸效应模型参数D0和Bft。经计算，当α0=0.15的4 组试件试验结果单独分析时可得cf=19.52 mm、KIC=1.39 MPa·m1/2、D0=127.36 mm、Bft=6.07 MPa。α0=0.3 的4 组试件给出的材料参数cf=19.61 mm、KIC=1.33 MPa·m1/2，对应的模型参数D0=100.85 mm、Bft=4.32 MPa。当α0=0.15 及0.3 的8 组试件试验结果共同分析时可得cf=18.36 mm、KIC=1.34 MPa·m1/2。由上述计算结果可知，当α0由0.15 增大至0.3，尺寸效应的模型参数Bft和D0均减小，与图2 中所示的变化规律相符。与Bft和D0不同，KIC与cf为混凝土的材料常数，不随α0的变化而改变。由拟合结果可见，基于不同试验结果分析得到的KIC与cf均较为接近，偏差在10%以内。

图4 1/(σNe)2 与ae 的线性关系Fig.4 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

在尺寸效应模型参数Bft和D0确定后，便可将其代入式(1)计算试件尺寸和缝高比变化时混凝土的破坏曲线。图5 采用α0=0.15 的4 组试件和α0=0.3 的4 组试件单独分析时得到的Bft和D0，分别建立两种缝高比试件混凝土断裂破坏设计曲线。由图5 可见，试验结果与尺寸效应模型确定的名义强度σN预测值偏差基本在±15%以内，平均偏差为5.49%，相应的可靠性指数a15=98.28%，且试验结果均处于β=0.1～10 的范围内，表明试件处于准脆性断裂阶段。需要说明的是，图5 所示任意试件高度的断裂破坏曲线仅由一定试件尺寸范围内的断裂试验结果确定。如需验证其准确性，则应进一步开展小尺寸(β＜0.1)和大尺寸(β＞10)试件断裂试验。考虑到该项验证工作已有相关文献[18 - 19, 37]报道，故本文不做展开论证。

图5 初始缝高比α0 为0.15 和0.3 时混凝土断裂破坏曲线Fig.5 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 equal to 0.15 and 0.3

相较于名义强度σN，最大荷载Pmax是评估含裂缝构件在受荷状态下裂缝稳定性的更为直接的物理量。图6 给出了基于式(10)计算得到的不同尺寸混凝土试件最大荷载Pmax和断裂韧度KIC的线性关系。其中斜率KIC=1.34 MPa·m1/2和断裂过程区有效长度cf=18.36 mm 由所有试件试验结果共同分析后得到。由图6 可见，58 个数据点中仅有4个与预测值的偏差大于15%，最大偏差为17.95%，相应的最大荷载可靠性指数a15=93.10%，平均绝对百分比误差MAPE=5.77%，相关系数R=0.994。上述指标均表明本文模型可实现混凝土试件尺寸和缝高比变化时最大荷载的准确预测。

图6 基于式(10)的最大荷载预测Fig.6 Prediction of the maximum load based on Equation (10)

本文模型对于断裂破坏预测的精度主要取决于由试验结果确定的材料常数KIC与cf的准确程度。由图4 所示的线性拟合分析结果可知，由α0=0.15 和α0=0.3 的4 组试件试验结果单独分析时得到的KIC与cf与8 组试件共同分析时得到的材料常数偏差均在10%以内，因此不难验证将4 组试件单独分析所得的材料常数代入式(10)计算亦可实现最大荷载的较准确预测。进一步地，若能在保证材料常数准确性的前提下减少试件组数或减小试件最大尺寸，则可为简化模型的实际应用提供依据。显然，进行如图4 所示的线性拟合至少需要2 组不同等效裂缝长度ae的试验结果。不妨对8 组试件进行两两组合形成28 种组合，依次计算由每种组合确定的材料常数，并将之与8 组试件共同确定的材料常数进行对比。若以8 组试件共同确定的KIC作为材料的真实韧度，则可将由2 组试件确定的KIC与真实韧度进行对比，从而确定由2 组试件确定材料常数的可行性。图7 给出了由2 组试件和8 组试件所确定的KIC的偏差的绝对值和ae比值之间的关系。由图7 可知，当2 组试件的等效裂缝长度相差约4 倍以上时，11 种组合给出的KIC与真实韧度的偏差均小于10%，且存在倍数增大，偏差减小的趋势。对于本节选用的试验结果，2 组试件便可较准确地确定混凝土的材料常数。考虑到混凝土断裂试验结果的离散性，实际试验中建议至少成型3 组不同尺寸或缝高比试件，且最大与最小等效裂缝长度之比不小于4，以便获得更为可靠的材料常数，从而实现最大荷载的准确预测。

图7 偏差与ae 倍数的关系Fig.7 The relationship between deviation and ae multiple

2.1.2D=57 mm～456 mm，α0=0.1～0.6，t=28 d[47]

文献[47]系统研究了骨料最大粒径、水灰比和水泥含量对磁铁矿混凝土断裂性能的影响。本文仅选取骨料最大粒径为19 mm、水灰比为0.45、水泥含量为350 kg/m3的不同尺寸和缝高比混凝土断裂试验结果用于模型的验证。断裂试验试件尺寸及试验结果见表2。试件型式为三点弯曲梁。混凝土的龄期为28 d。其它试验相关信息见文献[47]。

表2 文献[47]不同尺寸和缝高比试件断裂试验结果Table 2 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [47]

采用式(9)分别对α0=0.3、D=57 mm～ 456 mm的4 组不同尺寸试件，D=142.5 mm、α0=0.1～0.6的4 组不同缝高比试件和上述8 组试件试验结果开展线性回归分析，得到如图8 所示的1/(σNe)2和ae的线性关系方程和决定系数。经计算，8 组试件试验结果共同分析时可得cf=33.31 mm、KIC=1.54 MPa·m1/2。4 组不同尺寸试件试验结果单独分析可得材料常数cf=29.21 mm、KIC=1.44 MPa·m1/2。4 组不同缝高比试件给出的材料常数为cf=25.38 mm、KIC=1.49 MPa·m1/2。由拟合结果可见，基于不同试验结果分析得到的KIC与cf均较为接近。

图8 1/(σNe)2 与ae 的线性关系Fig.8 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

图9 采用8 组试件试验结果共同分析得到KIC与cf，根据式(3)和式(4)分别计算5 种缝高比试件得到Bft和D0，进而建立不同缝高比试件混凝土断裂破坏设计曲线。由图9 可见，基于相同KIC与cf给出的名义强度预测值与试验值较为接近。两者之间的平均偏差为5.04%，最大偏差为12.6%。此外，试验结果均处于β=0.1～10 的范围内，表明试件处于准脆性断裂阶段。由β=D/D0=0.1 或10时对应的D值可知，随着α0的增大，转换试件高度D0呈先减小后增大的规律。

图9 初始缝高比α0 为0.1～0.6 时混凝土断裂破坏曲线Fig.9 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 from 0.1 to 0.6

图10 给 出 了 基 于KIC=1.54 MPa·m1/2和cf=33.31 mm 计算得到的不同尺寸混凝土试件最大荷载Pmax和断裂韧度KIC的线性关系。由图10 可见，Pmax预测结果的可靠性指数a15=100%，平均绝对百分比误差MAPE=5.04%，相关系数R=0.997。这表明本文模型可实现混凝土试件尺寸和缝高比变化时最大荷载的准确预测。

图10 基于式(10)的最大荷载预测Fig.10 Maximum load prediction based on Equation (10)

2.2 试件缝高比相同而尺寸和龄期不同

2.2.1D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[33]

针对水灰比为0.45 和0.65 的自密实混凝土，文献[33]分别开展了试件缝高比相同而尺寸和龄期不同的三点弯曲梁断裂试验。试验共考虑3 d、7 d、28 d 和90 d 4 种不同的龄期，每种龄期各成型D=38.1 mm、76.2 mm、152.4 mm、304.8 mm的4 种不同尺寸的几何相似试件。所有试件初始缝高比α0为0.2，厚度W为38.1 mm，跨高比S/D为2.5。试验工况及结果汇总于表3。其它试验相关信息见文献[33]。经计算分析，水灰比为0.45和0.65 的混凝土断裂试验的模型验证结果基本相同，故本文仅展示前者的分析结果。该水灰比混凝土的抗压强度fc采用边长为100 mm的立方体试件测定。3 d、7 d、28 d 和90 d 龄期时fc分别为27.3 MPa、39.0 MPa、60.0 MPa 和75.5 MPa[33]。

表3 文献[33]不同尺寸和龄期试件断裂试验结果Table 3 Fracture test results of concrete specimens of different size and ages reported in reference [33]

同样的，可采用式(9)依次对特定龄期、不同试件尺寸的混凝土断裂试验结果开展如图11 所示的线性回归分析。由图11 所示拟合结果可知，不同龄期混凝土的等效名义强度1/(σNe)2与等效裂缝长度ae均符合线性规律，但各线性方程的斜率与截距明显不同，因而由其计算得到的不同龄期混凝土的材料常数KIC与cf亦不相同。

图11 文献[33]不同龄期混凝土1/(σNe)2 与ae 的线性关系Fig.11 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae of concrete at different ages reported in reference [33]

表4 给出了由图11 所列的不同龄期线性方程的斜率与截距计算得到的混凝土材料常数cf和KIC，进而采用式(3)和式(4)可计算得到α0=0.2时尺寸效应模型的两个经验参数Bft和D0。由表4所列的计算结果可知，随着龄期的增长，材料的尺度参数cf和D0均逐渐减小，而强度和韧度参数则逐渐增大并趋于稳定。

表4 不同龄期混凝土材料常数和模型参数计算结果Table 4 Calculation results of material constants and model parameters of concrete at different ages

采用式(12)和式(14)分别拟合混凝土KIC和cf与龄期的关系，获得混凝土材料常数的时变特性，拟合结果如图12 所示。由图12 可见，各拟合结果的决定系数均大于0.93，表明指数函数形式可较好地描述不同龄期混凝土KIC和cf的增长规律。由指数函数方程可知，水灰比为0.45 的自密实混凝土的最终无尺寸效应断裂韧度KICu=1.6 MPa·m1/2，大于90 d 龄期混凝土的KIC90=1.52 MPa·m1/2和28 d 龄期时的KIC28=1.41 MPa·m1/2。断裂过程区有效长度的最终稳定值cfu=12.56 mm，为90 d 龄期混凝土cf90=13.58 mm 的92.5%和28 d龄期cf28=16.50 mm 的76.1%。

图12 文献[33]不同龄期混凝土材料常数和龄期的关系Fig.12 The relationship between concrete material constants and age in reference [33]

采用如表4 所列的Bft和D0，可建立如图13所示的水灰比为0.45 的自密实混凝土不同龄期断裂破坏设计曲线。由图13 可见，所有试件均处于准脆性断裂阶段，且相同尺寸试件的名义强度随着龄期的发展而增大。不同龄期混凝土名义强度预测值与试验值均较为接近，平均偏差为6.39%，最大偏差为18.00%，相应的可靠性指数a15=91.67%。

图13 文献[33]不同龄期混凝土断裂破坏曲线Fig.13 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [33]

采用如式(17)、式(18)所示的龄期相关的尺寸效应模型，可预测龄期、试件尺寸和缝高比变化时混凝土三点弯曲梁的最大荷载。图14 给出了水灰比为0.45 的自密实混凝土最大荷载的预测值和±15%的允许误差范围。由图14 可见，试验测得的Pmax与式(18)中定义的等效几何、龄期参数Set基本呈线性关系。水灰比为0.45 混凝土的Pmax预测结果的可靠性指数a15=89.58%，平均绝对百分比误差MAPE=6.34%，相关系数R=0.994。

图14 文献[33]不同龄期混凝土最大荷载预测Fig.14 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [33]

2.2.2D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[34]

文献[34]开展了不同龄期天然和再生骨料对混凝土断裂性能影响的试验研究。试件型式为跨高比S/D为2.5，α0为0.2，W为38.1 mm 的几何相似三点弯曲梁试件。试验龄期和结果见表5。与本文2.2.1 节类似，由于天然骨料和再生骨料混凝土断裂试验的模型验证结果基本相同，故本文仅展示前者的模型验证结果。天然骨料混凝土的抗压强度fc由边长为100 mm 的立方体试件测定。3 d、7 d、28 d 和90 d 龄期时fc分别为22.9 MPa、31.3 MPa、47.3 MPa 和58.7 MPa[34]。

表5 文献[34]不同尺寸和龄期试件断裂试验结果Table 5 Fracture test results of concrete specimens with different sizes and ages reported in reference [34]

图15 为特定龄期、不同试件尺寸天然骨料混凝土断裂试验的线性回归分析结果。拟合结果表明，各线性方程的决定系数R2≥0.95，其斜率与截距随着龄期的增长而减小并逐步趋于稳定。

图15 1/(σNe)2 与ae 的线性关系Fig.15 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

图16 给出了由图15 所示线性方程的斜率与截距计算得到的天然骨料混凝土材料常数KIC和cf及其与龄期的指数函数关系方程。由图16 的指数函数拟合结果可见，天然骨料混凝土的最终无尺寸 效 应 断 裂 韧 度KICu=1.54 MPa·m1/2，28 d 龄 期KIC28=1.31 MPa·m1/2，90 d 龄期KIC90=1.42 MPa·m1/2，分别为KICu的85.1%和92.2%。断裂过程区有效长度28 d 龄期cf28为20.06 mm，90 d 龄期减小至17.78 mm，最终稳定值cfu为16.75 mm。

图16 文献[34]不同龄期混凝土材料常数和龄期的关系Fig.16 The relationship between concrete material constants and age in reference [34]

基于不同龄期的KIC和cf可计算得到各龄期尺寸效应模型参数Bft和D0，进而可绘制如图17的不同龄期天然骨料混凝土的断裂破坏设计曲线。由图17 可见，所有试件均处于β=0.1～10 的准脆性断裂阶段。不同龄期混凝土名义强度预测值与试验值均较为接近，平均偏差为3.60%，最大偏差为8.43%。

图17 文献[34]不同龄期混凝土断裂破坏曲线Fig.17 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [34]

图18 给出了最大荷载的预测值Pmax和±15%的允许误差范围。经计算，Pmax预测结果的a15=100%，MAPE=3.82%，R=0.998，均表明本文提出的龄期相关的尺寸效应断裂模型可较为准确地预测不同条件下天然骨料混凝土试件断裂破坏时的最大荷载。

图18 文献[34]不同龄期混凝土最大荷载预测Fig.18 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [34]

3 结论

任意龄期混凝土构件的断裂破坏分析对结构全生命周期的安全评定极为重要。基于此，本文提出并验证了一种龄期相关的尺寸效应断裂模型，可用于预测龄期、尺寸和缝高比变化时混凝土构件的断裂破坏，得到以下结论：

(1) 基于不同尺寸和缝高比三点弯曲梁断裂试验结果，尺寸效应模型及其演化形式可准确确定特定龄期混凝土的材料常数、名义强度和最大荷载。

(2) 本文模型对于断裂破坏预测的精度主要取决于材料常数的准确程度。建议模型所用材料常数至少由3 组，且最大与最小等效裂缝长度之比不小于4 的混凝土试件断裂试验结果确定。

(3) 混凝土无尺寸效应断裂韧度KIC随龄期增大而增长并逐步趋于稳定，而断裂过程区有效长度cf则随龄期增大而逐渐减小并趋于稳定。指数函数形式可较好地描述混凝土材料常数的时变规律。

(4) 经验证，龄期相关的尺寸效应模型可准确预测试件龄期、尺寸和缝高比变化时混凝土构件的断裂破坏。这可为混凝土结构全生命周期的开裂风险分析和安全评定提供依据。

应该指出，本文选取指数函数形式描述混凝土材料参数的时变规律，且基于三点弯曲梁提出模型公式。当混凝土材料或断裂试验试件型式发生改变时，应重新确定最佳的时变规律函数式或根据实际试件型式推导相应的断裂模型公式。此外，为了更好地掌握特定混凝土结构全生命周期的断裂破坏规律，有必要依托工程项目开展长龄期断裂试验，以便获得更为全面的混凝土断裂参数时变特性和尺寸效应。