等距对应视角下正螺面上渐近线的研究

王新璇，包图雅，张 宇

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

渐近线在数学和物理学的研究与应用中充当重要角色。PCHELINTSEV［1］采用了一种数值方法，该方法利用高精度计算来构造混沌型动态系统吸引子的近似解，并求出爆炸型系统解的垂直渐近线。MAKKI［2］研究了如何利用渐近线在四维伽利略空间中构造超曲面。

研究渐近线在曲面论中有着重要的意义，曲面上每个具有负高斯曲率的点，有2个渐近方向，曲面上每个高斯曲率为零的点有一个渐近方向（2个渐近方向重合在一起）。研究高斯曲率为负（或零）的曲面上渐近线，可以确定曲面的走向与形状，进而分析曲面的特征。关于渐近线的研究方法方面，有利用渐近线与曲面上其他曲线的关系讨论渐近线的性质。如，黄瑞［3］对隐函数形式的曲面进行研究，给出曲面上渐近线和测地线的若干性质，包括存在性、方程、几何特征、曲率和挠率等。王韶丽等［4］对曲面上渐近线、测地线和平面曲线之间的关系进行分析，得到这几类特殊曲线的几何特征和内在关系。笔者基于吴钰莹等［5］利用等距对应研究测地线的方程，研究等距对应下的渐近线：1）研究正螺面上渐近线成为测地线的条件；2）利用正螺面和悬链面之间的等距对应关系，研究正螺面上渐近线等距对应到悬链面上的像曲线；3）计算悬链面上像曲线的测地曲率与法曲率之间的关系以及测地挠率与法曲率之间的关系。

1 基础知识

给出C2类空间曲线C和C上一点P，设曲线C的自然参数表示为r=r(s)，其中，s是自然参数，可知α(s) =ṙ(s) =，是一单位向量，α称为曲线C上P点的单位切向量。由于 |α|=1，即α2=1，可以得到α⊥α̇，即ṙ⊥r̈，在α̇上取单位向量为曲线C在P点的主法向量。再作单位向量γ=α×β，γ称为曲线C在P点的副法向量。若曲线C的一般参数表示为r=r(t)，其中，t是一般参数，有［6］

空间曲线C在P点的曲率为，其中，Δs为P点及其邻近点P1间的弧长，Δψ为曲线在点P和P1的切向量的夹角，再由微商的模的几何意义，可知。对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以，在研究空间曲线时还要有刻画曲线扭曲程度的量——挠率。空间曲线C在P点的挠率为，挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度，这是挠率定义式的几何意义。上述是曲线以弧长s为自然参数时的曲率与挠率的表达式，下面给出以t为一般参数的曲线曲率和挠率的表达式

其中满足曲线挠率τ=0 的曲线称为平面曲线［6］。

空间曲线C在一点的密切圆是过曲线C上一点Q(s) 的主法线的正侧取线段PO，使PO长为，以O为圆心，以为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线C在Q(s) 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心为曲率中心。由上述可知曲率中心的矢径（曲率中心轨迹），可以表示为

其中β是主法向量［6］。

给出曲面S：r=r(u,v)上曲线C：r=r[u(t),v(t)]。对于曲线C有dr=rudu+rvdv。若以s表示曲线上的弧长，则

令E=ru·ru，F=ru·rv，G=rv·rv则有ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2为曲面S的第一基本形式，用Ⅰ表示。它们的系数E、F、G称为曲面的第一基本量。设曲面S的单位法向量为n，则

令L=n·ruu，M=n·ruv，N=n·rvv，则有n·d2r=Ldu2+Mdudv+Ndv2为曲面S的第二基本形式，用Ⅱ表示，它们的系数L、M、N称为曲面的第二基本量［6］。

2个曲面之间的一个变换是等距对应的充要条件是选择适当参数后，它们具有相同的第一基本形式。如正螺面r={ucosv,usinv,v} 与悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 可建立等距对应u=sinht，v=θ［7］。

当曲面S上的坐标曲线网为正交网（F=0）时，曲线C在点P处的测地曲率kg，测地挠率τg，法曲率kn分别为

（φ是曲线的切向量与ru的夹角，0 ≤φ≤π）［8-9］。

引理1［10-12］悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上曲线的测地曲率kg，测地挠率τg，法曲率kn分别为

（φ是曲线的切向量与rt的夹角，0 ≤φ≤π）。

引理2［13］正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线方程为u=C1或v=C2（C1、C2是常数）。

引理3［5］抛物柱面上测地线方程

（其中k、b为常数）。当抛物柱面的测地线方程中u＞0，p=1，k=2，b=0 时，其挠率不为零。

证明当u＞0，p=1，k=2，b=0时，抛物柱面上测地线方程为

代入式（3）得

由引理3知，曲面上测地线的挠率有不为零的情况。

2 正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的研究

命题1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程为u=0 或v=C2的渐近线为测地线。

证明由引理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线的方程为u=C1或v=C2（C1、C2是常数）。

下面关于u分2种情况计算。

当u=C1=0 时，曲线为{0,0,v} ，即是直线（z轴），则这条曲线是正螺面上测地线。

当u=C1≠0 时，曲线为正螺面上v-曲线，且方程为{C1cosv,C1sinv,v} ，即不是直线。下面计算它的测地曲率。

正螺面r={ucosv,usinv,v} 中ru={cosv,sinv,0} ，rv={-usinv,ucosv,1} 且E=1，F=0，G=u2+1。v-曲线的切向量rv与ru的夹角φ=π 2，cosφ=0，sinφ=1。将上述第一基本量E、F、G和rv与ru的夹角φ代入测地曲率公式（5）得。由于u≠0，故kg≠0，即方程为u=C1≠0 的渐近线不是正螺面上测地线。

当v=C2时，曲线为{ucosC2,usinC2,C2} 是直线，则这条曲线是正螺面上测地线。

综上所述，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程为u=0 或v=C2的渐近线为测地线。

定理1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线如下：

1）当渐近线是测地线时，像曲线为挠率为零的测地线；

2）当渐近线不是测地线时，像曲线既是坐标曲线θ-曲线（t≠0）又是曲率为常数的平面曲线。

证明1）由命题1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的渐近线是测地线时方程为u=0 或v=C2（C2是常数），通过正螺面r={ucosv,usinv,v} 与悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之间的等距对应u=sinht，v=θ，则悬链面上像曲线的方程为t=0 或θ=C2（C2是常数）。

2 个曲面成等距对应时，与测地线相对应的曲线也是测地线［14］，所以像曲线t=0 或θ=C2（C2是常数）是悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的测地线。

首先，计算像曲线t=0 的挠率。

当t=0 时，曲线方程为r(θ)={cosθ,sinθ,0} ，则有

代入式（2）、式（3）得，

下面给出当t=0 即u=t=0 时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图见图1。

图1 t=0 时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图Fig. 1 When t=0，the image curve on the catenary surface of the asymptote of the positive spiral surface under the isometric correspondence

其次，计算像曲线θ=C2（C2是常数）的挠率。

当θ=C2（C2是常数）时，曲线方程为r(t)={coshtcosC2,coshtsinC2,t} ，则有

代入式（2）、式（3）得

即渐近线是测地线。

下面给出当C2=±1 即v=θ=C2=±1 时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图见图2。

图2 C2=±1时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图Fig. 2 When C2= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of the positive spiral surface under the isometric correspondence

2）由命题1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的渐近线不是测地线时方程为u=C1（C1是不为零的常数），通过正螺面r={ucosv,usinv,v} 与悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之间的等距对应u=sinht，v=θ，则悬链面上像曲线的方程为t=arsinhC1，即悬链面上坐标曲线θ-曲线（t≠0）。

悬链面上像曲线t=arsinhC1（t≠0）的方程为

代入式（2）、式（3）得

故悬链面上像曲线t=arsinhC1（t≠0）是曲率为常数的平面曲线。

下面给出当C1=±1 即u=C1=±1,t=arsinh(C1) =arsinh( ±1) 时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图见图3。

图3 C1=±1时，正螺面上渐近线等距对应到悬链面上像曲线的示意图Fig. 3 When C1= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of thepositive spiral surface under the isometric correspondence

定理2正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线有如下性质：

1）像曲线的测地曲率和法曲率的比值为常数；

2）像曲线的测地挠率与法曲率的比值为常数；

3）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线的主法线的方向向量与z轴的方向向量垂直；

4）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线的曲率中心轨迹是直线。

证明1）由定理1 知正螺面上渐近线是测地线时，等距对应到悬链面上的像曲线方程为t=0 或θ=C2（C2是常数）。

当t=0 时，代入式（6）、式（8）得

当θ=C2（C2是常数）时，曲线是悬链面上t-曲线，dθ=0 即φ=0°，代入式（6）、式（8）得

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线等距对应到悬链面上的像曲线是坐标曲线θ-曲线（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（6）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线的测地曲率和法曲率的比值为常数。

2）由定理1知正螺面上渐近线是测地线时，等距对应到悬链面上的像曲线方程为t=0 或θ=C2（C2是常数）。

当t=0 时，代入式（7）、式（8）得

当θ=C2（C2是常数）时，曲线是悬链面上t-曲线，dθ=0 即φ=0°，代入式（7）、式（8）得，

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线等距对应到悬链面上的像曲线是坐标曲线θ-曲线（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（7）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线的测地挠率与法曲率的比值为常数。

3）由定理1、式（1）、式（10）-（15）得，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线，等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上像的主法向量为

将式（9）和式（16）代入到主法线方程R-r=λβ，其中R={X,Y,Z}［6］，即

因为z轴的方程为

对任意的θ，有

即主法线的方向向量与z轴的方向向量垂直。

4）由定理1 知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线，等距对应到悬链面像的方程为式（9），由式（4）、式（16）得曲线的曲率中心轨迹方程为

该曲线为直线。

3 结论

1）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上渐近线是测地线时，等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的像曲线是挠率为零的测地线；像曲线的测地挠率、测地曲率分别与法曲率的比值为常数。

2）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非测地线的渐近线等距对应到悬链面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲线既是坐标曲线θ-曲线（t≠0）又是曲率为常数的平面曲线；像曲线的测地挠率、测地曲率分别与法曲率的比值为常数；像曲线的主法线的方向向量与z轴的方向向量垂直；像曲线的曲率中心轨迹是直线。