小学数学学习中逆向思维训练路径

闫丽

数学是一门以大量概念、规律和公式为主要教学内容的学科，在知识特点上偏向理科，在教学过程中强调对学生思维的调动。在小学阶段数学课程的教学中，对学生正向思维的训练强调构建完善的思维认知体系，而对学生逆向思维的训练则强调打破固有的思维认知的桎梏，整体而言是从发展和应试双视角出发，对学生思维、素养与能力展开的全面性培养。与语文等人文性学科不同，数学学科对学生能力的培养主要落实在数学思维综合能力层面。传统的应试教育更多地指向浅层思维和低阶思维，而逆向思维本身是一种高阶思维，传统模式下的死记硬背不仅不能为学生逆向思维的发展提供助力，还可能加速学生思维的固化，对学生逆向思维的发展起到反作用。在这一背景下，教师需要结合学生的实际情况，对如何在数学学习中训练学生的逆向思维展开细致探究与全面思考。

一、数学逆向思维的内涵

从定义上来看，逆向思维指的是一种与正向思维相对，强调从反向进行思考的高阶思维方式，即“反其道而思之”“从结论往回推”，也常被称作“求异思维”或“批判性思维”，在面对正向思考无法解决或解决起来十分麻烦的问题时，倒过来思考的逆向思维更能帮助学生突破瓶颈。就逆向思维在问题思考过程中的实际应用而言，反向思考往往会与事物的实际发展规律相逆，学生需要站在问题的结果或对立面，基于对问题核心的怀疑和批判来判断思考方向的正确性与合理性。数学是一门知识抽象、繁杂、逻辑性较强的学科，小学生本身认知基础与逻辑思维发展不完善，这种不完善原本就为他们的学习造成了诸多阻碍，再加上数学知识本身的抽象性与复杂性，小学生学习数学的效率就会更低。在小学数学课上培养学生的逆向思维，一方面是为了提升学生的解题能力，让学生能够在考试中取得更好的成绩，另一方面是为了突破学生的思维瓶颈，让学生的思维能力得到全方位锻炼。

二、培养小学生逆向思维的价值

在新课标与新课改的背景下，义务教育阶段各学科的教学目标都逐渐向培养学生的核心素养靠拢，而核心素养本身的意义泛指学生在学习中需要具备的能力或素质，对学生核心素养的培养最终指向的就是学生知识水平、思维能力与综合素质的全面发展，为了达成这一目标，教师需要通过课堂教学来帮助学生实现两大转变，即浅层学习向深度学习的转变和低阶思维活动向高阶思维活动的转变。而逆向思维本就是高阶思维的一种，借数学知识展开对学生逆向思维的培养能够有效调动学生的高阶思维，并引导学生学会从多角度展开对问题的思考。同时，针对逆向思维这种高阶思维的培养需要有侧重地引导教学，抽象的数学知识在某种程度上可以充当这种侧重引导教学的载体，为学生指向高阶思维活动的辨析与思考提供方向上的指引，并最终达到提升学生解题能力、拓宽学生视野和帮助学生建构逻辑思维的目的。

（一）帮助学生理解抽象知识

数学知识具备极强的抽象性特点，特别是对思维认知发展还不够健全的小学生来说，虽然小学阶段的数学教学在内容上更加简单，但是大部分小学生还是将数学看作学习过程中的难点科目。数学知识的抽象性对学生的学习和理解产生了极大的阻碍，学生在课堂上的学习容易让他们形成惯性思维方式，而这种惯性思维方式可能导致学生在学习和应用数学知识的过程中陷入思维误区。基于此，帮助学生打破惯性思维模式的桎梏就成了培养学生逆向思维的首要目标与核心价值，而这种对原有思维模式的突破也更有利于深化学生对抽象数学知识的理解。

（二）帮助学生提升解题能力

在我国的教育与人才选拔体系中，考试始终占据十分重要的地位，能够在考试中取得高分的学生往往更容易脱颖而出，因此解题能力向来都是课堂教学活动中的重要培养对象之一。虽然新课标与新课改下的课堂教学不以应试为唯一目的，但教师仍然需要在发展学生思维与素养的过程中关注学生的解题能力，尤其是在数学这类逻辑性更强的理科学科中。逆向思维与正向思维相对，是思考问题和解决问题的两条对向路径，在面对某些特殊问题时，从反向展开的思考可能会比正向思考更简单、效率也更高。站在这一层面，提升学生解题能力，帮助学生找到解决数学问题的快捷路径也就成了培养学生逆向思维的一种价值体现。

（三）帮助学生拓宽视野

小学是学生接受系统教育的初级阶段，也是整个系统教育体系中极为重要的奠基阶段，承担着培养学生习惯、拓宽学生视野和开发学生潜能的重要职责，尤其是数学这类依赖学生思维活动的学科。在数学学习中，学生对问题的正向思考达到一定的深度后，时常会因为逻辑断层而无法进行深入探究，這时教师引导学生反向思考问题就有助于拓宽学生的视野，从结果往回推，为结果和已知条件建立联系。在此过程中，学生对数学知识间本质联系的理解会变得更加深刻，在推导知识由来和应用知识解决实际问题时，视野同样会变得更加开阔，而这不仅能够深化学生现阶段的学习效果，而且能够为学生未来的学习奠定基础。

（四）帮助学生建构逻辑思维

逻辑思维指的是一种将思维内容联结、组织在一起的思维方式或思维形式，思维在脑海中形成的是一个相对完整的结构，其主要内容包括主体、定义、分类、关系和顺序。正向思维与逆向思维的最大区别就在于思维的方向和顺序，数学知识本身抽象性与逻辑性并存，数学问题中的已知条件推结果和已知结果证条件分别体现了正向与逆向的思维形式。在小学数学课堂上，如果将教师由小知识点向大知识点的教学看作为学生搭建基础知识框架的路径，那么对学生逆向的思维训练就可以被看作强化基础知识框架体系、填补细节知识内容的路径，在数学教学中培养学生逆向思维的价值同样体现在学生逻辑思维的建构上。

三、小学生数学学习中逆向思维的训练路径

逆向思维的关键词是“反向思考”，对学生逆向思维的训练实际上就是对学生反向思维习惯、意识和能力的训练。数学知识有着理论性、工具性和逻辑性的基本特征，从已知条件出发向未知结论的推导和从已知结论出发对特定条件的验证，在一定程度上都提炼出了一定的逻辑性，而这种逻辑性就可以被笼统地概括为数学知识的可逆性，同时不同的数学知识内容之间必然存在着一定的关联，这种关联也带出了数学课程教学中一个重要的理念，即“举一反三”。综合以上内容，在小学数学课堂上，教师对小学生数学逆向思维的训练就需要从数学知识本身的可逆性和关联性出发，在对向推导和对比分析的基础上设计教学活动，并结合逆向思维情境的创设开展有关学生逆向思维的训练，借学生在练习过程中的切身实践与经验积累来推动学生思维能力的发展，同时完善学生思维体系的建设。

（一）以概念和公式的可逆性为基础设计教学活动

概念和公式是小学数学教学内容的主要构成，也是小学生数学思维体系构建的基础单位，对数学概念和公式的深度理解将为小学数学的高质量教学提供保障。而在培养学生逆向思维的过程中，教师可以抓住数学概念和公式的可逆性特征，并以此为基础完成教学活动的设计，引导学生在理解知识本质的过程中实现逆向思考。

以部编版六年级数学下册“比例”相关知识点为例，教材中本课需要教学的知识内容涉及“比例的意义和基本性质”“正比例和反比例”“比例的应用”。作为数学领域主要用于描述两个量之间关系的重要概念，比例本身就是具有可逆性的，简单来说就是比例中的四个数可以按照任意顺序进行排列，而比例的关系始终保持不变，即a∶b=c∶d等价于b∶a=d∶c，而比例本身的这种可逆性就是简化比例求解过程的关键。对此，教师在教学时可以先带领学生分别从正向思维和逆向思维出发来感悟比例基本性质中的可逆规律，鼓励学生尝试借助已学知识来验证比例的这种可逆性，而在此过程中，学生的逆向思维能够得到锻炼和发展。

（二）以求同存异和举一反三为理念设计教学活动

小学数学中的求同存异主要指反向案例教学，举一反三则主要指延伸案例教学，而求同存异与举一反三就是学生逆向思维培养过程中的关键。具体来讲，教师需要在为学生讲解数学问题的过程中，合理地逆运用数学概念和公式，在习题中更多设置同类问题或逆向问题，以习题做载体，促使学生从新的角度出发思考数学问题，以提升学生思维的缜密性与逻辑性。

以部编版六年级数学上册“圆”相关知识点为例，在有关圆周长和面积的计算中，半径和π是计算公式中十分关键的数学概念，在已有的数学知识体系中，π在计算时通常只取3.14固定值，而圆的周长公式为C=πd或C=2πr，面积公式为S=πr2，其中d=2r。当题干中明确给出周长C、面积S 或半径r中的任意一个数据时，学生就能依据公式来计算出其他数据，那么，教师在设计练习题时就可以设置一系列可以互相推导的对照组，引导学生从多角度展开对数学问题中缺少的条件的自主探究，借助以公式为出发点的逆运用训练来培养学生的逆向思维。

（三）以逆向叙述和对比探究为方式设计教学活动

在小学阶段，教师在课堂上教学的数学知识通常以顺向表述的形式呈现，即给定条件推算结果，而在针对学生逆向思维展开的专项训练中，教师就可以反其道而行之，给定结果求条件，引导学生对教材中的重难点知识展开基于正向叙述的逆向叙述训练，以培养学生的逆向思维。同时，教师可以结合同类型习题的对比探究来巩固学生对数学知识的理解，为学生逆向思维的发展奠定坚实的基础。

以部编版六年级数学上册“百分数”相关知识为例，学生对“百分数与小数互化”中的“百分数化小数就是将小数点向左移动两位并去掉百分号，小数化百分数就是将小数点向右移动两位并添上百分号”这一基础性质的正向表述较为流畅，基于学生逆向思维的训练，教师可以引导学生进行逆向叙述，即“将小数点向左移动两位并去掉百分号后，（）就变成了（），将小数点向右移动两位并添上百分号后，（）就变成了（）”，同理，还有百分数和分数的互化。在以对比探究与逆向叙述结合的思维训练活动中，学生就能够对数学规律中的一些必要条件展开深度剖析，而这种深度剖析有利于发展学生的逆向思维与综合素养。

（四）从问题分析和讲解出发，开展逆向思维训练

受年龄与思维认知发展的限制，小学阶段学生的思维能力与综合技能并不足以支撑他们完全独立地学习数学知识，大部分学生对逆向思维的运用也依赖于教师的指导，对此，教师在培养学生逆向思维的过程中，需要同步展开方法教学和能力培养，从问题的分析和解答出发创设逆向思维情境，帮助学生掌握逆向思维方法，减少学生对教师的依赖。

以部编版六年级数学上册“位置”相关知识为例，教师可以创设问题情境：“动物园里的老虎园、熊貓园和河马馆分别位于三个不同的方向，其中老虎园在熊猫园向东50米，向北20米的位置，熊猫园在河马馆向西100米，向南40米的位置，请问河马馆与老虎园分别在对方的哪个位置？”教师教给学生分析问题的步骤，引导学生从“题目中提到了哪些信息？要求什么”的问题出发，展开正向与逆向并重的思考，借情境中对问题的思考实现对学生逆向思维的训练。

做题是小学数学培养学生思维意识与能力的有效路径，而基于对学生逆向思维的训练，除了创设问题情境以外，教师还可以着重抓住典型例题和错题来训练学生的逆向思维，如与“圆柱和圆锥”知识相关的“圆柱的底面周长为25.12cm，高为10m，求圆柱的表面积”这类例题，或者与“位置”相关的涉及“绘图、比例尺”的错题，在讲解题目的过程中，教师尤其要注重引导学生对题干展开细致分析，并要求学生将自己的解题步骤记录下来，以方便整理其中可能出现的错误思维内容，为纠正学生的思维逻辑，让学生在遇到相似题型时主动避开错误思维路径提供助力。

四、结语

综上所述，在小学数学课堂上，对学生逆向思维的针对性培养实际上就是转换学生思维、提升学生思维能力的重要途径，对达成新课标背景下培养学生核心素养、促进学生健康成长和全面发展的目标能够起到重要的推动作用。而就小学阶段数学课程本身具备的锻炼学生思维能力的功能来看，教师需要更多地对逆向思维的培育投入关注，有意识地结合不同的教学方法，引导学生在多元化的思维情境中展开发散性思考，借助对学生逆向思维的专项训练来帮助其完成对数学知识的深入探究。对数学问题的解答，不管是正向思考还是反向思考，能够解决问题就是正确的思维方式，教师要充分利用数学知识的关联性和可逆性锻炼学生多角度思考问题的能力。