知识图谱应用于研究生公共数学课教学探索

高文良，许逸阳，戴祖旭，李圆媛

（武汉工程大学 a.数理学院；b.光学信息与模式识别湖北省重点实验室，武汉 430205）

1 研究生公共数学课程新工科教学改革背景

在德国提出工业4.0和我国提出中国制造2025的新工业革命时代背景下，在国家实施“互联网+”等重大战略的新形势下，教育部于2017 年2 月公布《关于开展新工科研究与实践的通知》，积极探索如何进行工科教育改革，以应对新国家战略对工程人才提出的挑战。[1]各高校先后形成了“复旦共识”“天大行动”和“北京指南”，逐步确立了新工科研究的内涵和形式。[2]首先，新工科是指设立针对新兴产业的专业，如数据科学与大数据技术、机器人工程、网络空间安全、人工智能、智能制造、机器人、云计算等。其次，新工科也包括传统工科专业的升级改造，例如传统工程设计与互联网、大数据、智能制造的融合。新工科是相对于传统工科而言，以新经济、新产业为背景的一个动态概念。与传统工科相比，新工科更强调学科的实用性、交叉性与综合性，尤其注重信息通讯、电子控制、软件设计等新技术与传统工业技术的紧密结合。

研究生教育是高等教育的最高阶段，担负着为国家培养创新型人才的重任。因此，研究生教育更需要顺应国家新时代战略任务，进行个性化人才培养模式的专项改革与创新，开展以工程技术为主线的集群课程组建，努力提高学生的工程实践能力和创新能力。[3]随着信息技术与计算机技术的高速发展，数学本身也在发生深刻的变化，新的数学思想、数学分支层出不穷，各种理论和方法相互交叉、相互渗透，使数学在实际应用中显示出超强的活力，数学教育在研究生创新教育中具有越来越重要的地位。[4]因此，对研究生数学课程的设计和教学进行一定的升级改造，对于配合国家新工科教改的要求，适应新时代网络、信息、大数据等方面发展的要求，都是必要的。

2 现阶段公共数学教学的教学现状与矛盾

武汉工程大学（以下简称武工大）是一所拥有40多年教育经验的以化工为主的多学科大学，构建了以大型化工为主线，以化工新材料、机电控制与现代制造、人文社会科学、磷资源开发与综合利用等四大学科群为支柱的新格局，近年在新工科教学研究方面做了不少有益的尝试。在开办新工科专业方面，计算机科学与工程学院里面设立了人工智能学院，开办软件工程、物联网工程、数字媒体技术、智能科学与技术、网络空间安全、人工智能等新型本科专业，软件工程一级学科硕士点，其它一些学院也围绕新工科建设开设了新的专业。在探索原有工科专业升级改造方面，许多老师给出了建设性意见并付诸实践。例如，黎红[5]探讨了以新工科建设为契机，转变学科建设思路，积极探索地方工科大学学科转型发展的新模式；李自成、文小玲等[6]针对传统实践教学中存在的不足，提出产教、学教、教学研究相互融合的新型协同教育模式，对新工程背景下电气与自动化行业、学术研究与教育协同教育的实施方法进行了初步研究和尝试；熊芸、喻发全等[7]总结了新工科建设过程中的措施和成果，探讨构建面向未来的优秀工程人才培养目标体系、多维教学体系、多元化工程教育师资队伍、推进创新创业教育。

武工大的研究生公共数学课程必修课包括计算方法、最优化方法、矩阵论、高等概率统计等课程，学生可任选两门课程修完数学学分。此外研究生公共数学课程还包括现代计算方法、高等矩阵分析、随机过程等选修课程。这些课程基本满足工科后续专业课程所需数学知识。但是，相对于新工科研究与实践的要求，这些数学公共课程的内容和教学方式，还存在许多不足之处。

2.1 研究生公共数学课教学面临着传统学科对数学基础知识需求专门化与新型交叉学科对数学基础知识需求泛化的矛盾。国家新工科战略提出了针对网络、大数据、智能制造等新技术设立新专业和升级改造传统专业的要求。新工科研究实践需要培养具有较强实际动手能力、创新能力的高素质工程人才，以适应未来新兴产业的需要，同时需要积极利用人工智能、机器人等现代技术，对传统工程专业进行升级改造。然而，武工大研究生公共数学课程中的计算类课程难以满足智能制造、机器人控制所需的大规模计算，也没有涵盖机器人控制所需的代数几何和控制论知识。

2.2 教学模式和教学目标的矛盾。新工科建设实践需要调整培养目标以满足新工科人才的需求，调整毕业要求以支持培养目标，重建课程体系以支持毕业要求，因而实施课程建设是新工科专业建设和升级的必要路径。武工大数学公共课教学形式存在的问题包括：一是教学模式僵化，教学时间和空间停留在课堂和线下，没有利用现代教育技术进行必要的数字化、网络化、虚拟化扩展；其次，教学方法改革滞后于教学目标的多样化和高阶化，课堂仍以教师单向“讲授”为主，缺乏对学生高阶思维和多元潜能的激发；实验实践缺乏足够的综合性、设计性和探索性，学生分析研究、设计创新能力培养薄弱；课外学习局限于低层次思维的准备和作业，缺乏与培养学生高层次能力和个性化发展相关的学习活动。二是模式肤浅。尽管采用了多种手段和方法，但形式大于内容，与教学目标的实现缺乏深层次的相关性。对于教学的痛点和难点，缺乏针对性和实质性的解决方案。

2.3 学生水平和教学内容的矛盾。学生本科阶段学习了线性代数，却对矩阵论课程的线性空间、对偶空间、线性变换等概念难以接受。计算方法和最优化方法中的计算类程序设计、迭代思想一般学生也感觉困难。为解决以上种种矛盾，经研究发现可以利用知识图谱这种辅助教学的工具，方便教学管理部门合理开设课程，方便学生自学，教师教学。

3 知识图谱应用于研究生公共数学课程教学

3.1 知识图谱在教学中的优点

知识图谱是指由多组“实体-关系-实体”构成的信息组织与管理方式。[8]该概念一经提出即受到广泛关注，谷歌、百度等公司迅速利用知识图谱构建庞大的知识库，如今它已成为互联网不可缺少的技术。将知识图谱应用于研究生数学公共课程教学，主要因为知识图谱具有以下优点：

3.1.1 逻辑性强。知识图谱能精确、清晰地表达不同知识点、课本与章节间的关系。如果将高等数学、线性代数等本科内容与矩阵论、计算方法等研究生内容相关联，知识图谱可以帮助学生更加全面的了解知识之间的联系和本质，帮助学生检查知识漏洞、构建完整的知识体系。[9]如图1 所示，该图谱显示了研究生阶段数值微分、数值积分、插值和与它们相关的细分知识点间的部分关系。

图1 数值计算课程部分章节与知识点知识图谱

3.1.2 多形式知识表达。知识图谱中实体和关系可以通过多种方式表达，不仅可以存储知识点的文字表达，也可以存储图片、音频与视频，大大拓宽了学生的学习方式。

3.1.3 开放和共享。部分国外的图书馆允许学生在书上写笔记，以方便提醒后面的阅读者。知识图谱也有相同的理念，它是一个人人可编辑的知识库，老师与学生均可以在一定限制下，对图谱中不同知识点做标记或提醒，这增强了老师与同学、同学与同学间的互动，帮助学生学习的同时也增加了学习的积极性。

3.2 研究生数学公共课程知识图谱构建

知识图谱的形成，可以分为搭建模式层和数据层。模式层定义了知识图谱的结构和属性，描述了实体类型、关系类型和属性类型等概念。数据层包含了知识图谱中的实际数据，包括实体、关系和属性等。总的来说，模式层定义了知识图谱的结构和语义，而数据层包含了实际的知识和数据实例。

本文利用Natalya F.Noy基于Protégé总结出的本体构建的七步法[10]，构建所需知识图谱模式层。根据研究生公共课程实际情况，整个过程可简述如下：（1）确定研究生公共课程框架内的重要项为专业、课程、知识点等。（2）确定专业名称、数学课程、参考用书、内容纲要、重难点等若干个类。（3）定义各个类的属性，创建各个类的实例。

知识图谱的数据层构建是指将原始数据转化为可供知识图谱使用的数据形式。研究生公共数学课程知识图谱数据层构建过程简述如下：（1）数据收集：收集各门课程的教学大纲，课本文本，网络信息等。（2）数据清洗：对收集到的数据进行清洗和预处理。这包括去除文本信息中的重复语句、纠正语法字词错误等。（3）数据抽取：从原始数据中提取出有用的信息，包括专业，课程，知识点之间的关系。这可以通过使用自然语言处理技术、数据挖掘技术等实现。（4）数据存储：将整合后的数据存储到Neo4j数据库中。（5）数据验证和补充：对存储在Neo4j数据库中的数据进行验证和补充，例如验证数据章节知识点完整性、对应关系是否正确，补充课本的作者、出版日期等属性值等，确保数据的质量和准确性。

图2 为采用Neo4j图数据库存储的知识图谱，显示了部分专业研究生所需数学知识，各专业学生由此可以清楚地获悉自己需要学习哪些数学课程。这些结果是建立在对教学大纲的文字识别，实体和关系提取，对各专业的任课老师和同学的问卷调查的基础上的。对于知识图谱的构建方式，目前有人工智能自动构建与人工构建两种方式，笔者认为由老师人工构建较为妥当，其一是因为内容量并非人工难以完成；其二是研究生数学知识过于专业，必须由专家深度介入，否则很容易出现错误。

图2 部分专业所需数学课程知识图谱

图3显示了完整的知识图谱的一部分。完整图谱包括《矩阵论》《计算方法》等五本数学专业书籍；《软件工程》《计算机科学与技术》等17本非数学专业书籍；共包含639个大类，7859个各学科知识点。由于节点和连线所表示的关系较为庞杂，个人面对整个图谱难以寻找所需信息。因此需要结合简洁的网页，方便师生直接通过前端网页更直观的寻找答案，而不需要直接访问整个知识图谱。

图3 完整的知识图谱

实现网页的逻辑是，学生发送搜索请求给后端，后端在知识图谱中搜索相关知识，并将有用的信息返回给前台展示。这一过程过滤了图谱中其它无关内容。比如想要了解《矩阵论》的目录，如果没有相应的网页支持，只能从图3中人工寻找。图4为网页搜索效果，局部放大了矩阵论课程相关内容，进一步放大可得知各章节内容以及本章节相关知识。此外，对知识图谱的修改请求也是同理，学生只需利用前端搜索知识点并做修改即可，具体寻找知识点的复杂工作交给后端。

图4 知识图谱搜索功能示例图

对于实现知识图谱的共享功能，要注意不能影响知识图谱主体，可以给予学生“读”权限，但要注意“增”“删”“改”权限的使用，否则知识图谱的本体可能被修改。前端网页仅仅美化知识图谱，核心仍在于知识图谱本体。

3.3 借助知识图谱教学的实践思考

3.3.1 利用知识图谱优化研究生数学公共课程教学内容。通过对各专业研究生的调查访问和教学总结，得知研究生公共数学课教学面临着传统学科对数学基础知识需求的专门化与新型交叉学科对数学基础知识需求泛化的矛盾。

网络化智能化的大环境，对传统的分析、代数、计算类课程要求有所弱化，不需要学得过于深入，而是需要尽量广泛的基础知识，强调应用能力。这就需要研究生掌握较多的智能计算、信息、数据处理方面的数学知识。数据挖掘，智能计算，神经网络，数学建模等课程，将概率统计、信息论、控制论、优化理论具体应用到实际场景，可以很好地适应新专业和传统专业优化升级对的需求。例如现代计算方法课程，里面的遗传算法就可以很方便地解决各种条件优化、路径优化问题，神经网络作为一种数学模型，可以方便地解决师生大量的实验数据的分析、预测、分类等问题。

在分析新工科标准下各专业研究生对数学基础知识需求泛化的需求时，在知识图谱中加入运筹学、控制论、偏微分方程等纯数学课程的基础知识，同时加入数据挖掘、现代计算方法、数学建模等课程，并且在图谱节点放入相关的教学PPT，程序实例，方便学生自学。将逻辑清晰的知识图谱与逐渐泛化的数学需求结合，可以方便学生即学即用，增强学生的工程能力、创新能力，也有助于解决教学学时限制与数学基础知识需求泛化的矛盾。

3.3.2 利用知识图谱优化课堂教学。由于学生普遍存在基础知识掌握薄弱、不愿与老师沟通等问题，课堂上学生往往难以跟上老师讲解的内容，老师也不了解学生对所讲授知识的掌握情况，严重影响了课堂教学效果。借助知识图谱网站，学生可以在图谱相应位置做出标记，向老师反馈不了解的知识点及教学建议。这增加了学生与老师间的沟通渠道，更精确地反映学生诉求。老师在收集到这些信息后，就可以了解不同班级学生对知识点的基本掌握情况以及对教学方式的适应情况，以此为依据对课堂讲解内容及讲解风格做出相应的调整。

3.3.3 利用知识图谱改善课外学习。传统的研究生教学方式是教师讲授，鼓励学生提问和课堂讨论。因为种种原因，目前这种方式存在的问题是学生大都不主动。利用知识图谱多形式知识表达的特点，借助知识图谱中的反馈信息，老师可以挑选难懂的问题，录制成讲解视频存放于知识图谱内，或者存放PPT、讲解资料等。这样一来学生可以在课余时间对自己薄弱的知识点有针对性地复习，借助视频或讲解资料也可以使学习更高效。相对于将讲解资料放入群内供学生查找复习，将讲解视频存放于知识图谱内可以让学生更直观、方便地找到相应的讲解资料，更清晰地厘清知识间的联系。这样可以减少学生对课本的依赖，多利用知识图谱从不同角度学习知识点，检查自己的知识体系是否完善，是否有遗漏的知识点，也可以方便地学习一些急需的数学知识。

4 结语

将知识图谱应用于研究生数学公共课程的知识体系构建及教学，有助于完善教学体系和转变教学方式，解决新工科研究实践较高的要求和目前数学公共课程较单调贫乏的教学内容和方式、师生能力和意识不足等等矛盾，有助于改变数学教师“只讲授不讨论”的局面，让知识传授和能力培养交相辉映，破解研究生数学公共课教育中的多重困境，让教师学生都受益于互联网提供的广阔前景。