初中数学教学中“设而不求”解题技巧的应用研究

摘 要：为了帮助学生对初中数学复杂问题进行简化探究和有效解答，文章研究了“设而不求”解题技巧在初中数学教学中的具体应用。首先概述“设而不求”内涵与价值，其次以人教版初中数学教材为参考，结合大量例题说明“设而不求”具体的应用方向和解题过程，最后简要总结全文内容，以期为初中数学教师提供有益参考。

关键词：初中数学；解题技巧；“设而不求”

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2097-1737（2024）06-0068-04

在初中数学教学中，一部分复杂题目不能直接通过设未知数求解，而是要应用“设而不求”解题技巧，这要求教师指导学生掌握“设而不求”解题技巧，培养学生解决问题的多元思维。初中数学教师应主动理解“设而不求”解题技巧内涵与价值，找准典型例题，引导学生探究应用情境与方法。

一、“设而不求”的内涵与价值

“设而不求”是初中数学问题解决方法之一，指的是在解决某些复杂问题时设定一些未知数，然后将未知数视为已知数，根据题目本身各已知条件，通过整体消元简化问题解决过程，在降低解题难度的基础上提高解题的准确性。对于初中数学解题教学来说，

“设而不求”是极为重要的一种方法，使学生掌握初中数学“设而不求”解题技巧，不仅可全面提高他们在代数方程、函数、几何图形等方面的学习质量，还能使他们在中考时游刃有余地处理复杂题、压轴题。初中数学教学离不开“设而不求”的解题技巧。教师应对此加以重视，结合典型例题指导学生。

二、“设而不求”在初中数学教学中的应用

（一）化简运算问题

化简运算属于初中数学基础知识，如有理数化简运算、整式化简运算等。虽然相较于方程、函数、空间几何等知识点，化简运算问题较为简单，但也有一部分初中数学化简计算问题具有一定复杂性，学生不能通过常规方式找到解题思路和答案，此时就需要运用“设而不求”解题技巧[1]。

例如，在人教版数学八年级（下册）“二次根式的加减”教学中，有如下问题：

先化简，再求值：＋

问题包含两个根式，无形中增加了化简与运算难度，但若细心观察不难发现，被开方数有理数部分相同，无理数部分互为相反数。根据这一发现，可推测解题过程或许与以下两公式有关：

平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

完全平方公式：（a±b）2＝a2＋2ab＋b2

之后，以两大公式为切入点，可设为a，为b，则原问题转化为求解a+b的值。a2＝（）2＝6＋，b2＝（）2＝6－，则a2+b2＝12。ab＝·＝＝5。a+b＝，代入a2+b2＝12、ab＝5，则a+b＝＝，可得＋＝。

应用“设而不求”解题技巧，借助新的未知数表示算式中复杂的根式，学生可巧妙地将复杂根式化简求值问题转化为“开平方”问题，进而通过平方差公式与完全平方公式的创新运用实现准确解题。

（二）代数方程问题

1.三元一次方程组“设而不求”解題技巧

三元一次方程组为人教版数学七年级（下册）“二元一次方程组”拓展延伸内容，也是初中“方程组”问题的重要内容。常规解题思路为通过“代入”或“加减”进行消元，将“解三元一次方程组”转化为“解二元一次方程组”，再转化为“解一元一次方程”，计算较为烦琐。教师可以向学生讲解相关“设而不求”解题技巧，巧解三元一次方程组问题[2]。

例如：有麻料、棉料、毛料三种布料，若购3匹麻料，7匹棉料，1匹毛料，共需315元；若购4匹麻料，

10 匹棉料，1匹毛料，共需420元。现在购麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？

结合题意，可设麻料、棉料、毛料的价格分别为x、y、z元，列出下面方程组：

解方程，联立（1）（2）：（1）×3－（2）×2，可得

x＋y＋z＝150，求出原问题正确解。

对比传统解法“一一求出未知数取值，然后将它们相加，求得问题最终解”，此解法先设未知数，然后将“x＋y＋z”视为一个整体，有效地简化了计算过程。教师还可基于此问题变式，鼓励学生进行变式练习，巩固对应“设而不求”解题技巧。

2.分式方程“设而不求”解题技巧

分式方程为人教版数学八年级（上册）的重要内容，主要目标是使学生正确地理解分式方程概念，通过求解分式方程解决实际问题。但是，基于“分式”复杂性，分式方程实际求解过程通常较为烦琐，易使学生出现计算失误。这就要求教师在分式方程问题中，同样向学生传授“设而不求”的解题技巧。

例如：解方程 ＋＝＋

观察该分式方程可以发现，方程等号两边与互为倒数，与同样互为倒数。这在增加方程求解难度的同时，也为学生提供了新的解题思路——“设而不求”。具体来说，基于“倒数”特征，可将方程等号左边设为m、设为n，则方程等号右边、可分别表示为、，原方程转化为

m＋n＝＋。转化后，方程两边同时乘以mn，去分母可得mn（m＋n）＝n＋m，则mn＝1或m＋n＝0。mn＝1时，m＝，则 ＝1÷，＝，解得x＝0或x＝8；m＋n＝0时，＋＝0，解得x＝。所以，原方程解为x＝0或x＝8或x＝。

采取“设而不求”解题技巧，根据等式两侧分式对应关系，将等式左侧两个分式分别设为m、n，右侧分式对应转化为、，有效降低了第一步“去分母”难度。之后，基于“去分母”结果求出m、n对应关系，在m＋n＝0或mn＝1与＋或·间建立联系，可轻松求出未知数x的值。教师应注意引导学生挖掘分式方程此类对应关系，使学生准确把握“设而不求”切入点。另外，在求出分式方程“可能的解”后，

教师还应指导学生关注左右两侧分母是否为0，去除不合题意的解。此例题中，x＝0、x＝8或x＝时，方程左右两侧分母均不为0，所以均为方程解。

（三）函数问题

人教版初中数学函数问题包括一次函数、二次函数、反比例函数、锐角三角函数，贯穿八九年级。其中，二次函数图像面积问题、反比例函数面积问题等，

均可应用“设而不求”解题技巧求解[3]。

例如，在人教版教学在人教版数学九年级（下册）“反比例函数”教学中，有下面这一道关于面积

的题：

如图1，已知在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x>0）图像交于A、B两点，与x轴交于点C，且点B为AC中点。分别过A、B两点作x轴的平行线，使其与反比例函数y＝（x>0）图像交于D、E两点，连接DE，则四边形ABED的面积是多少？

图1

根据题意，AD与BE两条线相互平行，四边形ABED满足梯形判定条件，其中，AD为梯形上底，BE为梯形下底，AD与BE之间的距离则为梯形高。想要求出四边形ABED的面积，必须先确认AD、BE的长及AD与BE之间距离的长，而求以上长度，需要明确A、B、D、E四点坐标。由此可应用“设而不求”解题技巧。首先，基于反比例函数y＝（x>0）图像与直线交点，可设点B坐标为（，m）。由于点B为AC中点，且点C在坐标系x轴上，则点A横纵坐标均为点B的2倍，

即（，2m）。又因为AD、BE与x轴平行，且点D、E与反比例函数y＝（x>0）图像相交，则点E纵坐标为m，横坐标为，整体可表示为E（，m），相对应的，点D坐标为（，2m）。AD长可通过点A、D横坐标相减求得，即－。同理，BE长度为－，梯形高为2m－m，则梯形面积为：SABDE＝（－＋－）（2m－m），化简过程如下：

SABDE＝（－＋－）（2m－m）＝×

×m＝××m＝

由反比例函数图像交点B切入“设而不求”，设点B坐标为（，m），然后结合题意与图像求出其他交点坐标，顺利表示出四边形ABED求面积所需长度，代入梯形面积计算公式（上底＋下底），最后约掉所设未知数m，得出四边形面积。运用“设而不求”解题技巧，可使解题思路一目了然，大大降低了“求面积”

难度。

（四）几何问题

初中数学几何求值问题包括“求角度”“求长度”等，但由于很多时候题干没有给出足够的角度与长度信息，解题思路并不清晰，需要引入未知数。学生可以通过未知数逐步表示出解题所需角度或长度，

然后根据未知数在整个几何图形中的等量关系，顺利求出待求角度或长度[4]。

例如，在人教版数学八年级（上册）“三角形”教学中，有以下问题：

已知RtΔABD中（如图2），∠ABD＝90°，C、E分别为线段AD上的两点，满足∠BAC＝∠BCA，BE将∠CBD平分为∠CBE与∠DBE，求∠AEB的度数。

图2

这是典型的几何图形“求角度”问题。基于问题逆推，若想求出∠AEB的度数，需要用到∠CBE、∠CBD、∠ABD、∠ACB等多个角度，但是对于这些角，

题干都没有给出明确的度数。因此，可结合已知角与图形信息，将它分别设为不同未知数，解题过程如下：

设∠BAC＝∠BCA＝x，则∠ABC＝180°－∠BAC

－∠ABC＝180°－2x

∵BE平分∠CBD

∴∠CBE＝＝

＝＝x－45°

∴∠BAC＋∠ABE

＝∠BAC＋∠ABC＋∠CBE

＝x＋（180°－2x）＋（x－45°）

＝135°

∴∠AEB＝180°－（∠BAC＋∠ABE）

＝180°－135°＝45°

通过“设而不求”解题技巧，设∠BAC与∠BCA为未知数x，从而在未知角与已知角间顺利建立联系，

最后基于三角形内角和等量关系抵消未知数，求出待求角度，整体解题过程更加简洁、高效。

（五）实际应用问题

“设而不求”解题技巧还可以应用在初中数学实际应用问题的解决中[5]。广义上，初中数学问题可分为“数学问题”与“实际问题”两部分，上述例题可统称为“数学问题”。“实际问题”通常与现实生活息息相关，意在使学生避免“书本化”“应试化”的学习，

将所学知识与技能运用在实际生活中。然而在一些实际问题中，学生同样会遇到不能借助已知条件解题的复杂情况，需要迁移运用“设而不求”解题技巧。

例如，在人教版数学八年级（下册）“一次函数”

教学中，有以下问题：

明珠社区组织了一次团购活动，联系了两家旅行社，由2名导游带队，旅行票原价相同。A旅行社购票优惠活动为“1名导游不优惠，其他导游与居民7折优惠”。B旅行社购票优惠活动为“全体导游与居民7.5折优惠”。假设当参与团购的居民人数是多少时，两家旅行社收费相同？

为了简化计算，可将两家旅行社旅行票原价设为a，参与团购居民人数设为x，则两家旅行社收费情况分别为：

A旅行社：yA＝a＋0.7a（x＋1）

B旅行社：yB＝0.75a（x＋2）

若收費相同，则yA＝yB，a＋0.7a（x＋1）＝0.75a（x＋2），解得x＝4。

若基于常规列方程思路求解，由于不确定旅行票原价，很难顺利解题。而融合一次函数与“设而不求”

解题技巧，通过设未知数在A、B旅行社收费之间建立函数关系，便可轻松解出题中所提问题。

三、结束语

言而总之，“设而不求”解题技巧是初中数学非常重要的解题思想与方法之一。教师应通过合理引导帮助学生掌握“设而不求”解题技巧，使他们能够在面对复杂问题时，最大限度地简化解题过程，提高效率与准确率。初中数学教学应大力完善“设而不求”解题技巧教学，以此提高学科整体教学质量。

参考文献

陈兴菊.“设而不求”思想在数学解题中的运用[J].初中数学教与学，2022（23）：21-23.

李斌.设而不求解题技巧在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2022（17）：69-71.

张琳.“设而不求”巧解初中数学竞赛题[J].初中数学教与学，2022（9）：45-46.

胡敬婷.例谈“设而不求”技巧在初中数学解题中的应用[J].新课程导学，2022（9）：60-62.

丁鹏儒.“设而不求”解题技巧在初中数学解题中的应用[J].数学大世界，2021（6）：79.

作者简介：郑丽华（1986.8-），女，福建莆田人，

任教于福建莆田青璜中学，一级教师，本科学历。