高中数学数列试题的解题方法与技巧解析

摘 要：基于新课程改革要求重视学生思维能力培养的大背景，高中数学教师应重视数列试题的教学。文章从讲述数列章节的重要性出发，针对学生的学习特征，详尽分析了高中阶段数学各类数列试题的具体解题方法与技巧，以提高学生的数学思维能力。

关键词：高中数学；数列试题；解题方法；解题技巧

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2097-1737（2024）06-0071-03

数列指依据一定顺序进行排列的一列数。数列中的数被称为这个数列的项，排首位的为首项，排第二位的为第二项……以此类推，排在第n位的数，就被称为第n项，一般会用“an”表示。在高中数学教学中，

数列是学生习得知识、锻炼思维能力的重点内容。又因为数列与函数和不等式间的紧密关联，数列这一章节的试题题型相对复杂。学生在解此类试题时也会产生无法解答或是不能轻易解答的困扰。结合新课程改革背景下高中数学课堂需转变学生解题思维、增强学生学习意识、推进学生核心素养发展的要求，高中数学教师不仅要重视数列这一章节内容的教学，还要格外关注数列试题解题方法与技巧的教学。只有这样，学生才能在解题的过程中掌握与数列相关的解题方法与技巧，精确且迅速地解答数列问题。

一、数列章节的基础内容及重视试题方法与技巧研讨的重要性

（一）数列章节的基础知识与内容

通过对新高考题型的分析与解答，可以明确数列这一数学内容在其中的重要地位。又因为数列内容的复杂性，高考时的数列试题难度都会比较大。所以，数列是高中数学教师公认的重点和难点[1]。

以苏教版数学必修5第12章“数列”为例。本章主要讲述了“数列的概念”“等差数列”和“等比数列”

以及两者的整合运用。虽然本章的教学内容并不繁杂，但数列内容中有着极为丰富的数学思想和方法。特别是数列求通项与和，解题方法不仅多，且需要解题者拥有灵活的思維。对于教师来说，不仅要通过对数列各类解题方法的细致归类，拓展学生的解题思路，还要依靠对典型例题的选取，使学生逐步形成数列试题解题意识。

（二）掌握高中数学数列试题解题技巧与方法的必要性

基于新课程改革的教学要求，数列层面的教学不应只停留在概念讲述和理论阐释方面，还应让学生依赖一定的方法和技巧，对数列试题进行深层次的探讨和研究，以使学生在理解能力逐步提升的基础上，强化自身综合应用能力与解题能力[2]。

新课程改革对高中数学试题解题技巧与方法教学也提出了相应的要求，新高考制度下的试题也展现出了符合课程改革要求的内容，如数列与函数的融合、数列与方程的融合、数列与圆的融合等一系列问题。这些问题的变换不是为了增添难度，而是为了促进学生数学思想上的融合。当学生学会了针对这类问题的解题方法，其整体知识框架也会得到完善。

（三）在高中数学教学过程中重视数列试题解题技巧与方法教学的价值彰显

1.有助于学生数学学科素养的提升

无论是概念上的数列试题考查，还是数列通项公式的试题考查，学生在解题时，都会用到各式各样的解题方法，如累乘法、累加法、倒序相加法等。这些解题方法都在某种程度上展现了有魅力的数学思想。而包裹在这些方法中的思想核心，除连接了与函数相关的数学内容，还与导数存在着密切的关联[3]。由此，

教师在结合数列试题讲解解题技巧时，就会借助数列与其他数学知识间的连接，发散学生的数学思维。学生也会在思维的发散之下，提高自身数学学科核心素养。

2.有助于拓宽学生的知识面，便于学生构建完善的思维体系

在解数列试题的过程中，高中生一般只会单一地应用数列公式或是概念性质，进行针对数列问题的求解。而分析近几年的高考试题可知，数列试题的呈现并不单一。为此，学生若能够通过知识的连接进行解答，部分数列题目也会变得相对简单。而这个过程要求学生拥有联系各方数学知识的能力。

由此可见，教师重视数列试题解题技巧与方法的教学，明显有助于拓宽学生的知识面，帮助学生形成综合化的数学思维体系[4]。

3.有助于学生解题思维及意识的形成

高中的数学教育离不开思想、方法及应用实践的教育。高中数学教师不能再沿用以往传统的教学方式进行知识讲解及解题教学。数列作为高三的教学内容，本身就具备一定的复杂性，加之与其他知识的关联，更让一些数列问题难度加大。假设学生连基础的知识内容都没有牢固掌握，他们在学习或是解题的过程中，就会出现不想学、不想解的想法。为让学生形成熟练性的解题思维和意识，高中数学教师要重视数列试题解题方法与技巧的教学，继而通过问题中的知识引导和探究，促进学生数学学科核心素养的发展。

二、数列试题的解题方法及技巧研讨

（一）结合数列的基础概念，解答简易化数列问题

基础概念虽然核心在基础，但也是学生解答相关问题的关键，会对学生的解答思维产生一定的影响。初中阶段的数学学习通常不会关联至数列内容，因此，学生都是在进入高中阶段以后，才开始对数列问题有一定的认知的。这时，为发展学生思维能力、提高学生解题能力，教师就要重视夯实学生知识基础，丰富学生知识储备[5]。

例题1：当前有一等差数列{bn}，已知b4＝4，S10＝55，试求出S4为多少。

分析：依据题意可知，此题考查的是学生对等差数列概念的掌握。所以，在解答此题的过程中，教师可引导学生融合等差数列的概念进行解题，使学生通过对通项公式的灵活应用求出答案。

解：已知等差数列的通项公式为：an＝a1＋（n－1）d，

Sn＝na1＋d，将b4＝4，S10＝55，代入bn＝b1＋（n－1）d、Sn＝nb1＋d的通项公式中，可得b1＝1，d=1，S4＝10.

（二）基于绘图方法的应用，解答填空式数列问题

在解答数列问题的过程中，绘图方法也是学生需要掌握的一种解题技巧，而绘制的前提在于，解题者要懂得融合题干中的已知数量及关系，展开图形绘制，然后再依照直观性的图像来探究题干问题中所含的数量关系和核心规律。这样，复杂的数列问题才会变得相对简单。

例题2：已知公差不为零的等差数列{bn}中bm＝n，bn＝m，且m与n不等，试着求出bm＋n为多少。

分析：因为bn是等差数列，且公差不为零，那就可判断为bn是关于n的一次函数，由于bm＝n，bn＝m，那说明对应的坐标三个点应该位于一条直线上，根据斜率定律就可算出bm＋n的值。

解：已知bm＝n，bn＝m，那（m＋n，bm＋n）（m，n）（n，m）就处在同一直线，因为同一直线斜率相等，所以bm＋n的值就为0.

（三）立足数列试题的性质，解答非常规数列问题

数学性质作为数列部分知识学习进程中的重要内容，能够有效协助学生提高数列解题效率。为此，高中数学教师在结合例题讲述解答方法时，就要重视数列性质层面的知识传授，且要教授学生怎样结合数列性质来解答一些非常规的数列问题。这样，学生的数学思维和解答数列问题的能力才可以得到提升。

例题3：已知{bn}为等比数列，其中n是正整数，

且b1b7=36，试求出b3b5＋b6b2为多少。

分析：在解答这一等比数列问题时，假设解题者应用比较符合常用规则的解题策略，即依照等比数列的通项公式进行问题解答，在解答b3b5＋b6b2为多少时，就容易出现不正确的答案。但如果借由等比数列的性质进行问题解答，就能够快速得到此题的答案。

解：假设e＋f＝o＋p保持成立，那么bebf＝bobp，

由此可得b3b5＝b6b2＝b1b7＝36，那b3b5＋b6b2就等于72.

（四）重视数列公式的实践，解答针对性数列问题

公式贯穿学生学习数学知识的始终，是学生需要精准掌握的知识内容，是在解答“通项公式”“前n项和”等问题时的主要解题方法。一旦学生掌握了公式的有效应用，其解题能力就会得到极大的提升。

例题4：（1）在等差数列{an}中，已知d＝2，n＝15，an＝-10，求a1及Sn.

（2）在等比数列{an}中，已知a2＋a3＝6，a2＋a4＝12，求q及S10.

分析：这两道题分别从等差数列和等比数列的角度，向学生提出问题。学生在解答此类通项公式及前n项和时，就要重视对公式的掌握，比如对等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握，都可让学生在解答通项公式、前n项和时，迅速通过公式给出相应的答案。

（五）关联函数层面的思想，解答复杂化数列问题

在数学思想中，函数思想有其独特的思想价值，不仅能够将繁杂的问题简易化，还能够有效完善学生的解题思维。教师在讲述关于数列问题的解题方法时，就可关联函数层面的思想，解答一些复杂化的数列问题，并以此为核心，促进学生数学学科核心素养的

提升。

例题5：已知函数y＝f （x）为R上单调递增的奇函数，数列{an}为等差数列，a3>0，则f （a1）＋f （a3）＋f （a5）的值为（ ）。

A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒为0 D.可正可负

分析：函数y＝f （x）为R上单调递增的奇函数，由a3>0，可知f （a3）>0且a1＋a5＝2a3>0，所以a1>-a5，f （a1）>

f （-a5）＝-f （a5），f （a1）＋f （a5）>0，所以f （a1）＋f （a3）＋

f （a5）＞0，所以選择A，即恒为正数。

（六）重视方程思想的结合，解答目的性数列问题

在高中时期数学学习的过程中，方程思想和函数思想十分相似，都是学生应该掌握且应用在解题时的核心数学思想。在解答部分数列问题时，假设能够相对灵活地对方程思想进行运用，那繁复的数列问题也会被简化。关于方程思想在数列问题中的定义，实则就是在求解的过程中，依据系列化数列公式来搭建对应的方程组，之后借助方程组的解答形式，获取正确答案。

例题6：{an}为等比数列，已知a1＝3，a9＝768，求a6。

解：设公比为q，那768=a1q8，q8=256，所以q=

±2，所以a6=±96。

（七）融合数列问题举一反三，解答联合性数列问题

为提高学生对一类数列问题的解答熟练度，教师可融合数列问题，列出举一反三的问题，以此提高学生解答联合性数列问题的能力。

例题7：已知一列数2，8，26，80，…，按此规

律，则第n个数是多少？（用含n的代数式表示）

解：已知一列数2，8，26，80，…，按此规律，则第n个数是3n－1。

举一反三：如图1，∠AOB＝60°，O1，O2，

O3，…是∠AOB平分线上的点，其中OO1＝2，若分别以O1，O2，O3…为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3，…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是多少？（结果保留π）

三、结束语

综上所述，在高中数学教学过程中，数列是十分重要的一类题型。由于数列试题对应解答方法所呈现出的内涵较为丰富，学生不仅可以在解题的过程中掌握一定的函数思想和方程思想，还能够通过解题巩固自身对数列公式、概念及性质的应用。但在实际了解、观察或是阅读解答数列问题时，学生一定要认真解读数列问题上的题干内容，这样才能够基于题干内容选取适当的求解方法，进而提升求解数列问题的能力。

参考文献

许美金.高中数学数列试题的解题方法与技巧研

究[J].当代家庭教育，2021（2）：119-120.

赵向杰.高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].数理天地（高中版），2022（10）：18-20.

刘克江.浅析高中数学数列试题的解题方法与技

巧[J].课程教育研究，2020（19）：142.

崔丽雯.针对高中数学数列试题解题方法技巧的分析[J].试题与研究，2019（18）：154.

杨荣智.探讨高中数学数列试题的解题方法与技

巧[J].高考，2019（8）：231.

作者简介：金原瑾（1986.5-），女，江苏如东人，

任教于江苏省白蒲高级中学，一级教师，本科学历，荣获市解题基本功大赛一等奖。