含时紧束缚模型中的波包动力学

王羽婷，张禧征

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津 300387）

近年来，离散量子系统引起了人们的广泛关注，通过对离散量子系统的分析，人们可以更容易地理解一些实验中观察到的反常量子现象，如量子相变和布洛赫振荡等，并从中加深对量子力学理论的认识.离散量子系统可以通过多种实验手段进行模拟，光学晶格中的超冷原子气体是量子模拟的理想模型系统[1].为研究复杂的量子过程，通常需要引入人工电场和磁场.在电场作用下，布洛赫粒子运动问题在固体量子理论提出之初就被涉及，最重要的例子之一是布洛赫振荡[2-5]，随着实验技术的发展，已经可以分别在简并玻色/费米气体[6-7]、强关联量子系统[8-9]和玻色-爱因斯坦凝聚[10-13]中观察到布洛赫振荡现象.通过对外场的调制，波包可以展现出相干定向传输和扩展[14-15]以及隧穿相干破坏[16].此外，外场的作用可以使波包在实空间中呈现出振幅较大的传输，即超级布洛赫振荡，其动力学行为已在冷原子系统中被观察到[17]，并有相关研究进行了理论分析[18-20].在外加磁场系统中，相关研究表明在含时磁通的作用下存在类似布洛赫振荡现象[21]以及量子态的控制[22-23]，并根据量子态传输的特点提出量子态控制的方案[24]，但离散系统中可否利用磁场模拟电场作用效果的相关机制还不清楚.

因此，本研究基于含时磁通作用的一维紧束缚环体系，针对波包的动力学行为，讨论了采用半经典近似理论描述波包运动的前提条件，分析了磁场作用的紧束缚环与线性势作用的紧束缚链2 个不同体系的等价性，进而将离散体系的特点与经典物理中的法拉第电磁感应定律建立联系，以期扩展经典理论在量子物理中的应用.

1 理论模型

在具有N 个格点的一维紧束缚环模型中，系统的哈密顿量为

式（2）中：派尔斯相位因子φ（t）表示在每个格点上由于矢势A（t）作用引起的相位变化，体系的哈密顿量可写为

用相位φ（t）表示A（t）的影响称为派尔斯替代，是研究电子在缓慢变化的矢势作用下的紧束缚模型中运动的一种近似方法.当离散系统取连续极限时，体系的哈密顿量可以过渡到连续体系的形式（详细计算步骤参考附录A）.

设穿过紧束缚环的总磁通为Ф（t），示意图如图1所示，即含时变化的磁场作用于闭合的紧束缚环内，系统满足周期性边界条件，以磁通量子Ф0=h¯/e 为单位，平均分布在每个跳跃项上的相位变化可写为

图1 含时变化的磁通Ф（t）穿过紧束缚环的示意图Fig.1 Schematic illustrations of time-varying magnetic flux Ф（t）passing through tight-binding ring

因此，系统的哈密顿量可以改写为

引入傅里叶变换

式（6）中：k=2πn/N，n∈[1，N].将哈密顿量（式（3））对角化为

系统的色散关系为

2 波包的运动

离散模型中的空间波函数类似于连续模型中局域分布的波包，电子的状态由k0附近Δk 范围内的布洛赫本征态叠加构成，可以近似认为波包的动量k 围绕中心动量k0分布，表现为波包在动量空间的分布非常窄，根据量子力学中的不确定关系可知，波包在实际空间中的位置不确定度较大，实空间中波包较宽，在仅限于宽波包的情况下，可根据Ehrenfest 定理计算宽波包质心的动力学演化.

在不含外场的离散体系中，波包宽度随时间变化的结果为（详细计算步骤参考附录B）

式（10）中：α 为初始时刻的波包宽度.此结果表明，演化过程中波包宽度的变化取决于波包初始动量和系统的色散关系，且随时间变化而变化.某些特殊情况下，如波包的中心动量k0=±π/2 时，波包宽度不会随时间变化而发生改变，可以实现波包的理想传输，波包的运动可以近似视为一个经典粒子.

考虑质量为m 的粒子在势场中运动，假设含时变化的外场在空间中的变化非常缓慢，使用线性势作用在系统上即满足此条件.在一维紧束缚模型中，线性势的效应通常用外力F（t）来描述，波包中心的位移D（t）随时间的变化使用Ehrenfest 定理进行描述

这与经典牛顿方程相似.外力F（t）导致波包的动量k（t）随时间的变化线性增加，其随时间的变化可用经典的冲量定理

进行描述，式（12）与牛顿力学中动量的表述相似.波包的群速度由系统的色散关系决定

对式（13）进行微分并应用式（12）得到波包运动的加速度

与经典的牛顿定律相比，定义有效质量

与牛顿定律不同，此时有效质量由粒子的状态和色散关系决定，而不是粒子的真实质量.对于线性势作用下的波包，动量随时间的变化会导致有效质量随时间变化，这说明波包运动的加速度由外力F（t）和动量k（t）共同决定，进而展现出不同于自由粒子的运动特点.

3 数值解和解析解

在含时磁通作用的一维紧束缚环中，波包动力学行为的数值解可由能谱计算得到，波包的群速来自能谱的色散关系（式（9））.中心动量为k0的波包的群速

将群速对时间进行微分得到波包的加速度，对时间进行积分得到波包中心的位移.

由解析结果可以得到波包随时间演化的动力学规律，在动量空间中，t 时刻到t′时刻系统的传播子矩阵元为[24]

并有

式（21）中：κeff为有效跳跃常数.

在离散体系中，初态使用局域分布的高斯波包来描述粒子的空间分布

式（22）中：Λ=（2πα2）-1/4为归一化系数；α 为波包宽度，N0和k0分别为波包的中心位置和中心动量.高斯波包在动量空间中可以表示为

式（23）中：Ω=（α2/2π3）1/4为归一化常数.在宽波包近似条件下，利用传播子式（17）计算波包由0 时刻经历时间t 的演化

式（24）中：γ（t）= 2tκeff（t）{cos [k0+ φ（t）] + k0sin[k0+φ（t）]}表示波包在演化过程中的相位变化；波包中心的位移D（t）=2tκeff（t）sin[k0+φ（t）]，对位移D（t）求微分得到波包的群速度vg（t）=2κ sin[k0+φ（t）]，此结果与数值结果（式（16））一致.进一步计算出波包的加速度

根据式（14）可以初步将此时波包的运动看作一个有效质量为meff={2κ cos[k0+ φ（t）]}-1的粒子在大小为∂φ（t）/∂t 的外力作用下展现的动力学行为.

考虑一个含时线性势作用在一维紧束缚链上，图2 为含时变化的线性外场F（t）作用在紧束缚链上的情况，其中j 用来标记格点位置.由于紧束缚链首尾格点间存在较大势差，波包在首尾2 个格点间不能发生隧穿，系统满足开链边界条件，在波包没有运动到紧束缚链边界的情况下，2 个不同体系的边界条件对计算波包的动力学行为没有影响.当波包受到一个电场力F（t）的作用时，系统的哈密顿量可写为

图2 含时变化的线性外场F（t）作用在紧束缚链上的情况Fig.2 Time-varying linear external field F（t）acting on tight-binding chains

假设波包经历时间t 后，通过式（12）得到t 时刻波包的动量

式（27）中：I（t）为波包动量的平移，波包的群速度由没有外力作用时的色散关系决定，在仅考虑最近邻跳跃时，系统的色散关系为E（k）=-2κ cos（k），波包运动过程中的群速度vg（t）=2κsin[k0- I（t）]，波包的加速度

即波包在含时线性势作用下的演化可以描述为有效质量meff={2κcos[k0-I（t）]}-1的粒子在[-F（t）]作用下的运动.对比式（25）和式（28），当

时，式（25）和式（28）具有相同的结果，表明波包的动力学行为在2 个不同的体系中具有一定的等价性.对于等效的结果可以从经典电磁学角度进行理解，当穿过系统的磁通量发生变化时，就会产生一个电场，这个电场给波包的作用力大小可用式（29）描述，波包在实空间中的运动可以看作是一个有效质量为meff的粒子在外力F（t）作用下产生的运动.

以上结果与经典物理中的法拉第定律一致，说明含时磁通作用的离散体系可以模拟电场在离散体系中对波包的作用，即波包在含时磁通作用下展现的动力学行为是法拉第电磁感应定律的结果.

本节理论推导对外场随时间变化的形式和局域的波包形式没有任何限制，但要求波包在含时演化过程中扩散不厉害，使得波包能够近似作为一个粒子在体系中运动.

4 宽波包的含时演化

考虑含时磁通随时间的正比变化

式（30）中：φA为磁通强度，初态取高斯波包（式（22）），在宽波包近似下，波包群速为

波包中心的位移和加速度为

由式（32）可得波包中心的位置随时间的变化N（t）=N0+D（t），由此结果可知，波包呈现出周期性运动，其运动的周期τBO=2π/φA，运动的振幅LBO=2κ/φA.波包的含时演化及波包中心位置如图3 所示.图3 中格点数N=200，高斯波包的波包宽度α=12，波包中心位置N0=100，中心动量k0=π/2，外场参数φA=0.05，跳跃常数κ=1，时间t 以波包中心位移的周期τBO为单位.波包的运动可以等效为波包在电场中的运动，此时电场力

图3 高斯波包在含时磁通（式（30））作用下的演化结果Fig.3 Evolution result of a Gaussian wave packet under the actionoftime-dependentmagneticflux（equation（30））

波包的有效质量为

即波包在含时磁通（式（30））作用的体系下的动力学行为可以等效为有效质量为meff的粒子在均匀外场F作用下的运动.波包的群速（式（31））表明在含时磁通的作用下波包呈现周期性加速或减速，波包经过一个运动周期后回到初态，这与波包在均匀电场中的动力学行为一致，这一现象称为布洛赫振荡.通过计算可知，在含时磁通作用的外场中，布洛赫振荡的运动周期和振幅取决于φA的大小，表现为φA越大，运动的周期和振幅越小，这与外加电场作用下的计算结果一致[5].

当驱动频率与布洛赫频率间存在恒定失谐时，波包的传输展现为较大振幅的缓慢振荡行为，称为超级布洛赫振荡[17].考虑外部磁通随时间的变化

式（36）中：n 为任意整数；δ<<1 表示一个失谐因子；ω为磁通随时间变化的频率.波包的群速为

波包群速的周期τ=2π/ω 为波包运动的准周期，不再是波包运动的严格周期，假设波包的演化经历很短的时间τ，波包中心的位移

式（38）中：Jn（φA/ω）为n 阶第一类贝塞尔函数.

由波包位移的表达式可知，波包经历时间τ=2π/ω后，波包中心的位移D（τ）≠0，通过计算式（38）可知，波包在经过每个准周期τ 后，波包中心的位移并不总是增加一个固定值，有可能在演化一段时间后由增加变为减少，展现为在波包传输过程中出现褶皱，波包中心位移的变化周期近似等于τ′=2π/δω，波包含时演化结果及波包中心随时间的变化情况如图4 所示.由图4 可看出，波包呈现超级布洛赫振荡，其振荡周期取决于δ 的大小.

图4 高斯波包在含时磁通（式（36））作用下的演化结果Fig.4 Evolution result of a Gaussian wave packet under theaction of time-dependent magnetic flux（equation（36））

图4 中高斯波包的参数与图3 相同，含时磁通（式（36））的参数n=1、δ=0.05、φA=0.5 和ω=0.5，时间t 以波包中心位移的周期τ′为单位.波包的加速度a（t）=2κ[（n+δ）ω-φAcos（ωt）]cos[k0+（n+δ）ωt-（φA/ω）sin（ωt）]，波包的运动可以等效为1 个有效质量为meff={2κcos[k0+（n+δ）ωt-（φA/ω）sin（ωt）]}-1的粒子在等效电场力F（t）=-（n+δ）ω+φAcos（ωt）作用下的运动.

为说明不同含时磁通对波包动力学的影响，选取简单的方波型磁通进行研究.方波型磁通在符号函数的作用下，磁通大小在突变处存在导数无穷大，即磁通变化瞬间波包受到的电场力为无穷大，这在实验中很难实现.在实验中通常可以通过调制误差函数的参数得到类似方波型磁通的结果，考虑含时磁通随时间的变化为误差函数的形式，

误差函数的图像如图5 所示，其中φA=π/2.

图5 误差函数的图像Fig.5 Image of the error function

波包的群速

积分式（40）得到波包中心的位移D（t），高斯波包式（22）在φ（t）作用下的演化及波包中心随时间的变化如图6 所示，图6 中高斯波包的参数与图3 一致.

图6 高斯波包在含时磁通（式（39））作用下的演化结果Fig.6 Evolution result of a Gaussian wave packet under the actionoftime-dependentmagneticflux（equation（39））

当φA=π/2、k0=π/2 时，在磁通不随时间变化的阶段，即误差函数的两端，存在dφ/dt=0，波包的群速等于0；当磁通随时间变化时，即误差函数在t=0附近dφ/dt 是线性的，波包在短时间内进行加速或减速，在实空间中表现出微小的位移.此速度的含时变化可认为来自磁通的变化，磁通量的变化产生随时间变化的电场，波包受到电场力的作用，导致波包获得加速度从而进行加速或减速运动.波包的加速度a（t）=4κφAπ-1/2exp（-t2）cos[k0+φ（t）]，波包的运动可以等效为有效质量为meff={2κ cos[k0+φ（t）]}-1的粒子在电场力F（t）=-2φAπ-1/2exp（-t2）作用下的运动.

考虑含时磁通随时间的变化为

式（41）中：Jn（t）为n 阶第一类贝塞尔函数.波包的群速vg（t）=2κ sin[k0+φAJn（t）]，波包随磁通的变化做加速和减速运动.波包中心的位移D（t）可由群速的积分得到，高斯波包式（22）在φ（t）作用下的含时演化及波包中心N（t）随时间的变化结果如图7 所示.

图7 高斯波包在含时磁通（式（41））作用下的演化结果Fig.7 Evolution result of a Gaussian wave packet under the action of time-dependent magnetic flux（equation（41））

图7 中高斯波包的参数与图3 一致，外场参数分别为n=1，φA= 1，波包运动的加速度可以写为a（t）=2κφAJn′（t）cos[k0+φAJn（t）]，其中Jn′（t）=[Jn-1（t）-Jn+1（t）]/2.当n=1、φA=1 时，波包的运动可以等效为有效质量为meff={2κcos[k0+φAJn（t）]}-1的粒子在等效电场力F（t）=-φA[J0（t）-J2（t）]/2 作用下的运动.

5 窄波包的含时演化

为了更加直观地表示波包的宽窄对动力学行为的影响，取波包初态为狄拉克脉冲波δn，此时可以认为波包局域在一个格点上，表现为波包较窄.在前面讨论过的外场作用下，波包的含时演化如图8 所示.

图8 狄拉克脉冲波在不同含时磁通作用下的演化结果Fig.8 Evolution results of Dirac pulse waves under the action of different time-dependent magnetic flux

将初态波包固定在格点n0=100 上，在含时磁通（式（30））的作用下，波包的含时演化结果如图8（a）所示，外场的参数与图3 一致.波包表现为周期性的变宽和收缩，波包在一个布洛赫振荡周期后回到初态，这样的现象称为呼吸模式[5].由波包的动力学特点可知，窄波包在含时磁通体系中的运动与在均匀电场（式（29））作用下的运动相同，均呈现出呼吸模式，这表明离散体系中的外场可以做经典近似，波包在实空间中的动力学行为是法拉第定律的结果.但此时由于波包的扩散使得波包不能视为一个粒子，波包的动力学行为不能使用Ehrenfest 定理进行描述.

当磁通随时间的变化形式为式（36）时，波包的含时演化结果如图8（b），外场参数与图4 一致，波包在含有失谐的外场中同样会迅速扩散，经历一个超级布洛赫振荡周期后回到初态，波包的动力学行为与呼吸模式相似.当磁通随时间的变化形式为式（39）时，波包的含时演化结果如图8（c），外场参数与图6 一致，波包在磁通不随时间变化的阶段不会固定在初态，波包会发生扩散，且波包不会回到初始状态.当磁通随时间的变化形式为式（41）时，波包的含时演化结果如图8（d），外场的参数与图7 一致，此时波包的扩散程度随时间不断变大.

以上数值模拟的结果表明，当波包很窄时，波包会在运动中发生扩散，使波包整体不能当作一个粒子，波包会展现出不同于宽波包的动力学行为，波包的运动无法使用经典理论进行描述.

6 结论

本文主要研究了波包在含时离散系统中的动力学行为，得到以下结论：

（1）在一维紧束缚环的体系中加入含时变化的磁通，使用派尔斯替代可以将磁通的影响等效为在跳跃项上增加一个派尔斯相位，进而将哈密顿量对角化.

（2）在波包不散传播的条件下，使用Ehrenfest 定理描述波包的运动.通过分析波包的加速度表达式，说明在磁通作用的紧束缚环中产生的波包动力学行为是法拉第定律的结果.

（3）利用数值模拟的方法得到波包在不同外场中的演化结果，结果表明：在波包较宽时，波包的中心位移、群速和加速度可以完全使用经典物理中的牛顿定律进行描述；当波包很窄时，波包在体系中表现出扩散行为，Ehrenfest 定理不再适用.

综上所述，通过研究含时磁通对一维紧束缚环上波包动力学的影响可知，含时变化的磁通可以模拟电场对波包的影响，拓展了法拉第电磁感应定律的应用.同时，波包的演化结果不仅取决于外场形式，还取决于波包自身的状态参数.根据动力学特征可以选择合适的系统对波包进行控制，这为今后应用于量子信息处理提供了一定的理论参考.

附录A 派尔斯替代

派尔斯替代（Peierls substitution）是描述含有矢势Ax作用的一维紧束缚模型中电子运动的一种近似方法.矢势的作用可以等效为在跳跃项上增加一个相位因子φ，用于表示平均分布在每个跳跃项上的相位变化，这个相位因子φ 称为派尔斯相位.考虑具有N 个格点的一维紧束缚环模型，系统的哈密顿量

在离散体系中，定义平移算符

电子在相邻格点上的平移算符

式（A-4）中：px=h¯k 为电子的动量.

现对离散体系取连续极限，令a→0，对exp（-ipxa/h¯）做泰勒展开并保留到二阶小量，得到

式（A-5）中：o（a3）为三阶及高阶的小量.同理可得

假设矢势Ax在格点间隔范围内没有明显改变，则相位因子φ 中的积分式（A-2）可以近似等于Axa，则φ 可以改写为

同理，对eiφ和e-iφ做泰勒展开并保留到二阶小量

哈密顿量的两部分可以改写为

合并整理后，总的哈密顿量在取连续近似时可写为

有效哈密顿量为

由式（A-13）可知，离散体系在取连续极限后可以得到磁通作用在连续系统中的哈密顿量，此时系统的有效质量定义为meff=h¯2/（2κa2），这表明矢势以指数因子的方式改变离散系统中的跳跃项，这与连续体系中动量算符px用（px-eAx）代替具有相同的作用.

附录B 离散体系中波包含时演化的位置不确定度

在讨论一维紧束缚模型中波包的演化时，初态取为高斯波包形式

式（B-1）中：Λ=（2πa2）-1/4为归一化系数，α 为波包宽度，N0为波包的中心位置，k0为波包的中心动量.根据量子力学态叠加原理，任意波函数都可以用一组力学量的完全集所展开，波包按哈密顿量的本征函数展开为

利用周期性边界条件，将离散傅里叶变换连续化，通过高斯积分公式

求得展开系数为

式（B-4）中：Ω=（α2/2π3）1/4为归一化常数.波函数在能量表象下的表示为

波函数随时间的演化可写为

在一维紧束缚模型中，一个有限的波矢空间中包含了电子结构的所有信息，即要求在第一布里渊区进行积分，有-π/a

对式（B-7）进行以下两点近似：首先，要求波包足够宽，在动量空间中，波包中心动量为k0的质心距离第一布里渊区的边界足够远，使得在积分的极限处被积函数可以忽略不计，积分范围可以扩展为-∞< k <∞；其次，在仅考虑电子的最近邻跳跃时，系统的色散关系满足E（k）= -2κcos（k），其中κ 为跳跃常数.将Ek在k=k0处做泰勒展开，并保留至二阶小量

利用式（B-8），式（B-7）的积分写成高斯积分的形式

式（B-9）中：ξ=k-k0.利用高斯积分公式（B-5）计算得到

式（B-10）中：Ω1=（α2/2π）1/4.波包中心的不确定度

式（B-11）中：﹤…﹥表示演化态的平均值，计算得到

式（B-12）和式（B-13）中：E′（k0）=2κ sin（k0），E″（k0）=2κ cos（k0）.代入波包位置的不确定度，得到

即

结果表示波包位置的不确定性是时间的函数，但当k0=±π/2 时，波包位置的不确定度不随时间的变化而变化，此时可以实现波包的理想传输.