对一道期中考试题的深入探究

李强 韩晓飞

【摘要】近年来各地中考试题中出现了很多高质量的求解反比例函数“k”值的考题，这些考题既形式多样、灵活多变，又有较大的难度.通过对2022年淄博市张店区九年级期中考试中一道反比例函数试题的深入探究，获得了几个新结论新方法，探索的过程为学生积累了宝贵的数学活动经验，培养了学生的探究精神.

【关键词】反比例函数；基本结论；中考试题

反比例函数是初中数学的重要知识，求解反比例函数“k”值的问题更是教学的重点和难点，也是各地中考数学的热点.笔者通过对2022年张店区九年级上学期期中一道反比例函数试题的深入探究，总结了3个基本结论，利用这几个结论能够高效地解决求解反比例函数“k”值的问题，现撰写成文以飨读者．

1原题呈现

题目：（2022年张店区九年级期中考试）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴上，反比例函数y=kx（x>0）的图像与AB，BC分别交于点D，E，且顶点B的坐标为（6，3），BD=2．

（1）求反比函数y=kx的表达式及E点坐标；

（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量关系和位置关系，并说明理由．

（3）略．这一问与本文研究对象无关，故省略．

简析根据点B的坐标为（6，3），BD=2，易求反比函数的表达式为y=12x，E点坐标为（6，2），所以可求得BE=1，进而可证△BDE∽△BAC，从而可以确定DE∥AC、AC=3DE．

疑问如果去掉点B坐标这个已知条件，那么DE与AC的位置关系是否保持不变呢？

2深入探究

探究一

操作探究

作者带着上面的疑问，与学生一起进行了深入的探究．如图2，利用几何画板进行操作验证，变换点B的位置，观察发现直线DE与直线AC始终是平行的．

去掉已知条件中的x>0后，继续利用几何画板进行操作探究，如图3，我们会发现点B在平面内任意位置时，直线DE与直线AC仍然是平行的．

推理证明

方法1如图2，连接OD，OE，过点D，E作AC的垂线，垂足分别为P，Q，由于△OAD与△OCE面积都等于k2，所以可得OA·AD=OC·CE，前式可以转化为OAOC=CEAD，根据等量关系转化为BCAB=CEAD，进而可证DE∥AC．

方法2连接CD，AE，我们很容易得到S△CAD=S△OAD=k2，同理得到S△ACE=S△OCE=k2，所以S△CAD=S△ACE，则有DP·AC=EQ·AC，DP=EQ所以可得DE∥AC．

基本結论1过反比例函数图像上任意两点的直线为l1，过这两点分别向x轴、y轴作垂线，过两个垂足作直线l2，则有l1∥l2．

探究二

操作探究

如图4、图5，作者与学生利用几何画板继续探究，直线DE交x轴于点N，交y轴于点M，通过观察度量数据发现DM=EN，DN=EM．

推理证明

方法从结论1中我们已经得知DE∥AC，这样可以得到AMEC和ACND，所以ME=AC=DN，进而得到MD=EN．

基本结论2在反比例函数图像的一个分支上任意取两点D，E，直线DE与x轴相交于点N，与y轴相交于点M，则有DM=EN．

探究三

如图6，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴上，反比例函数y=kx（x>0）的图像与AB，BC分别交于点D，E，连接DE．延长DE交x轴于点N，延长ED交y轴于点M．连接EO并延长交反比例函数另一分支于点F，连接DF交x轴于点G，交y轴于点H，观察发现DG=DN，DM=DH（等价于∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM）．为了让图形更加清晰，便于探究相关结论，图6中隐藏了线段AB，BC．

操作探究

作者与学生继续进行探究．利用几何画板度量DG，DN，DM，DH的长度，∠DGN，∠DNG，∠DMH，∠DHM的角度来验证观察结果，通过反复变化点D和E坐标，观察度量数据发现DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

推理证明

方法如图6，取线段DE中点Q，连接OQ，因为反比例函数是中心对称图形，所以OE=OF，所以线段OQ是△EFD的中位线，所以OQ∥DF，可得同位角∠DGN=∠QON．根据结论1可知MD=EN，又因点Q是线段DE中点，所以MQ=QN=OQ，所以∠QON=∠QNO=∠DGN，所以DG=DN．同理可证DM=DH，∠DMH=∠DHM．

基本结论3[1]在反比例函数上任意两点D，E，点E关于原点对称的F，连接DF，直线DF与x轴相交于点G，与y轴相交于点H，直线DE与x轴相交于点N，与y轴相交于点M，则有DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

3结论应用

3.1应用基本结论1解决问题

例1（2017鄂州模拟）如图7，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若△DBE的面积为8，则k的值为.

简析我们根据结论1可知DE∥AC，又因为BE=2EC，所以BDAD=BECE=2，设EC=m，AD=n，所以BE=2m，BD=2n，所以S△BDE=2mn=8，所以mn=4，因为k=AD·AO=3mn，所以k=12．

另，很多类似的问题，当有本题中BE=2EC这样的条件，或者经过证明得到类似的结论，根据比值设两个参数，利用参数会降低运算量.

图8例2如图8，已知直线y1=k1x+b与x轴、y轴分别交于M，N两点，与反比例函数y2=k2x的图象交于A（m，1），B（n，-4），则点N的坐标为．

简析根据结论2可知AM=BN，所以AN=BM，因为点A，M，N，B共线，所以yA-yN=yM-yB，即1-yN=0-（-4），所以yN=-3，所以点N的坐标为（0，-3）．

3.2应用基本结论2解决问题

例3（2020年宁波模拟）如图9，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为△OAB的重心，连接BG并延长交OA于点C，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为.

简析连接GC并延长交y轴于点D，过点C作y轴的垂线，垂足为F．根据结论2得知CD=GB，根据点G为△OAB的重心可知CD=BG=2CG．所以DFDO=DCDB=25，因为S△OAB=6，所以S△OBC=3，所以S△OCD=2，S△OCF=35S△OCD=65，所以k=125．

另外，本题也可以如图9，构造矩形OEHF，采用例1设参数的办法求解k的值．

3.3应用基本结论3解决问题

例4（2019长沙中考）如图10，函数y=kx（k为常数，k＞0）的图象与过原點的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．若MF=25MB，则MD与MA的关系是.

简析因为MF=25MB，设MF=2m，根据结论2可知EM=3m，根据结论3可知MC=EM=3m，DM=MF=2m，根据结论2可知AC=DM=2m，所以MA=m，所以MD=2MA．

每年全国各地的各种性质的考试题中，都会产生很多经典考题，命题者精心命制的这些试题是他们深度研究教材及相关知识的的成果，所以这些试题源于教材又高于教材，这些试题更是一线教师非常好的教学资源.如果教师能够利用好这个丰富的资源，与学生一起开展探究，通过探究能够获取很多未知的结论，并总结出新的解题方法，能够在探究的过程中培养学生的科学探究精神和提升学生的核心素养，更能够提高一线教师突破性使用教材的能力．反比例函数中还有很多未知的结论，作者期望通过本文抛砖引玉，期待更多的数学教师能够引领学生继续探究，并分享探究成果，促进共同的进步．参考文献[1]陆祥雪.考题回溯寻找关联：与一道中考题相关的反比例函数性质的发现[J] .中学数学杂志，2019（06）： 40-43.

作者简介李强（1981—），男，山东淄博人，中学一级教师，淄博教学能手.

韩晓飞（1982—），男，山东淄博人，中学二级教师.