学习从阅读开始 思维经实践深化

梁全声 于芳民

【摘要】

中考试题命制是在数学阅读基础上，将获取的方法应用新情境，并整合经验与方法，再创新应用于新的问题情境，在问题探究中充分展示学生的思维发展过程和高阶思维水平，凸显学生数学核心素养.试题情境创设突破了“综合与实践”领域多涉及生活情境的命题常规，规避了城乡学生对现实生活情境的认知差异，确保了情境创设的公平性、真实性、典型性和适切性，紧贴学生的学习和生活实际状况.

【关键词】数学阅读；综合实践；核心素养.

《義务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在评价建议中指出，评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学[1]3.评价中应让学生经历数学的学习运用和实践探索活动过程.数学阅读是一个不断假设、想象、证明和推理的过程[2].中考试题命制在数学阅读基础上，将方法应用于类似问题情境，整合经验与方法，再创新应用于新的问题情境，这一过程能够充分展示学生的思维发展历程，体现学生的数学核心素养发展水平.在中考命题中探索“综合与实践”新的评价设计形式有着重要的实践意义和借鉴价值.

本文以山东省潍坊市2023年中考数学第22题为例，谈谈基于“新课标”的试题研究与评价.

1试题呈现

【材料阅读】

用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+…+qn+…的值，其中0

例求12+122+123+…+12n+…的值.

方法1：借助面积为1的正方形，观察图1可知12+122+123+…+12n…的结果等于该正方形的面积，即

12+122+123+…+12n+…=1.

方法2：借助函数y=12x+12和y=x的图象，观察图2可知12+122+123+…+12n+…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离.

因为两个函数图象的交点（1，1）到x轴的距离为1，所以12+122+123+…+12n+…=1.

【实践应用】

任务一完善23+232+233+…+23n+…的求值过程.

方法1：借助面积为2的正方形，观察图3可知23+232+233+…+23n+…=.

方法2：借助函数y=23x+23和y=x的图象，观察图4可知因为两个函数图象的交点的坐标为，所以23+232+233+…+23n+…=.

任务二参照上面的过程，选择合适的方法，求34+342+343+…+34n+…的值.

任务三用方法2，求q+q2+q3+…+qn+…的值（结果用q表示）.

【迁移拓展】

长宽之比为5+12∶1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形.

观察图5，直接写出5-122+5-124+5-126+…+5-122n-2+5-122n+…的值.

2试题解法研究

本题分为“材料阅读—实践应用—迁移拓展”三个部分，问题的设问在实践应用和迁移拓展两个栏目中呈现，在实践应用栏目中设置了三项任务.题目叙述篇幅较长，要求学生有较强的阅读理解能力和分析探究能力.其中，任务一是3个填空题，学生理解题意后比较容易求出答案；任务二和任务三需要类比方法、构建模型求解；迁移拓展栏目则需要综合运用数学知识和思想方法，具有较强的综合性.

任务一中，如果用阅读材料中的方法1，需要仔细观察正方形，发现各个小长方形的面积之和等于待求式的值.相对于图1中的正方形，图3的正方形边长和分割方式已经发生变化，计算23+232+233+…+23n+…的值，需要借助边长为2的正方形求解；若用阅读材料中的方法2，只需求出两个一次函数图象的交点坐标（2，2），便可以得到结果.任务一的难度较小，学生能够比较容易地进入题目场景.

任务二中，让学生选择合适的方法，求算式34+342+343+…+34n+…的值，是一个半开放的问题.其主要解法有以下四种.

方法1借助面积为3的正方形，先将正方形面积四等分，取其一份；然后将剩下的长方形面积四等分，取其一份；依次截取，得到如图6所示的图形图6，观察图形，可得34+342+343+…+34n+…=3.

方法2构造函数y=34x+34，由函数y=34x+34和函数y=x，联立得y=34x+34，y=x，解得x=3，y=3，即所求算式的结果为3.

方法3记S=34+342+343+…+34n+…①

两边同乘34，得34S=342+343+344…+34n+1+…②

①-②即得S=3.

方法4可以借助高等数学的无穷收敛级数公式计算，读者可自行求解.

任务三中，构造函数y=qx+q，由函数y=qx+q和函数y=x，联立得y=qx+q，y=x，解得y=x=q1-q，即所求算式的结果为q1-q.

迁移拓展栏目中，学生不论是采用面积分割的方法，还是构造函数的方法，都需要具有较高的迁移应用能力.

方法1借助图形5，注意到5-122表示的是图形中右上角小正方形的面积，往右下角的各小正方形的面积依次为5-124，5-126，…

因此，所有小正方形的面积之和（阴影区域面积）等于大长方形面积与左侧最大正方形面积的差，如图7所示.

所以5-122+5-124+5-126+…+5-12n+…=5+12-1=5-12.

方法2可以联立函数y=5-122x+5-122和函数y=x，求交点坐标.计算过程中需要用到分母有理化，运算量较大，笔者不再赘述.

3试题评价

本题以无穷级数为背景，以初中数学的几何图形等面积法和构造一次函数法为切入点，考查学生综合解决问题的能力.试题立意密切结合“从知识立意到素养立意”的转型思想，指向数学本质，关注学生的应用意识和创新意识水平的考查，关注学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的关键能力考查.

3.1充分体现《课标（2022年版）》的课程基本理念

《课标（2022年版）》在“课程理念”中提出，“……使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养”[1]2.但是，教师在实际教学中往往实施“一刀切”的模式，在例题设置、习题选择和问题设计上多是面向“中间生”和“优秀生”，导致“学困生”无法参与学习活动，逐渐丧失数学学习的兴趣和动力.

本题对于改变一线教师的这一现状具有积极的导向作用.其素材的选取来源于《义务教育初中教科书数学（青岛版七年级上册）》“综合与实践”和《义务教育初中教科书数学（青岛版九年级上册）》“综合与实践”.这不仅规避了城乡学生对现实生活情境的认知差异，而且规避了学生之间的起点差异；确保了情境创设的公平性、真实性、典型性和适切性，紧贴学生的学习、生活实际状况；题目“入手”容易，逐级而上，遵循了不同层级的学生“跳一跳”能够摘到桃子的原则，最后的设问则对学生的迁移应用和创新应用提出了较高的要求.这种梯度设计有利于保护学生学习数学的兴趣，激发学生探究數学的热情.

3.2严格落实《课标（2022年版）》学业质量评价要求

《课标（2022年版）》在“学业质量”中提出：评估学生核心素养情况要在经历“用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题”的过程中所形成的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等[1]81.在日常教学中，虽然我们一直提倡培养学生的应用意识和创新意识，但是具体如何实施，以及如何检测学生的创新能力，仍旧是教学实施和教学评价中的“老大难”问题.

本试题首先以阅读材料的形式呈现解题步骤，模拟课堂研究性学习的全过程，详细示范解题的两种方法；然后依次从具体简单数字的数列求和，到探究含字母的数列求和，最后在黄金矩形中得以创新应用，完整呈现了数学问题和数学规律从发现到应用的过程，对数学的教学实施过程富有很强的指导意义，为数学综合实践类题目的命制也提供了较好的借鉴价值.教师必须逐步改变基于“题海战术”的应试策略，转向重视过程性教学，关注学生学习方法的指导，重视数学的应用价值.

3.3符合学生的认知规律

一是符合学生对概念方法的学习过程，即“感知→理解→掌握→应用”.学生在对阅读材料提供的思路方法有初步感知的基础上进行模仿应用；学生掌握其两种解法的过程和要领后，在新的数学情境中迁移应用，充分感悟数学思想方法的强大魅力.在这一过程中，学生经历对新知的“再发现”与“再创造”，体验到数学思考与发现的快乐，达到对知识实实在在、沁入内心的理解和掌握.

二是符合学生对事物认识的主要方式，即“特殊→一般→特殊”.为了得到q+q2+q3+…+qn+…的一般通解，首先取q=12，q=23，q=34，从这些特例开始，引导学生逐步深入探究，逐步“放手”，直至学生能够用自己的方法探究得到一般性结论：q+q2+q3+…+qn+…=q1-q.最后，在迁移应用栏目中又回归到q=5-122的特例求解，让学生的思维再次升华.

3.4符合数学思想方法的教学特点

《课标（2022年版）》在义务教育数学课程学业质量标准量表中提出，“能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的实际意义作出解释.能够知道解决问题方法的多样性”[1]83.在实际教学中，大多学生在学习数学内容时，过度依赖教师的指导，难以形成自己的思想方法体系；在应试教育背景下，很多老师为了所谓“短平快”的教学效益，一味选择刷题讲题，并且在讲题中往往选择自己的经验解法，缺乏思想方法的总结；也有的教师对“一题多解”关注较多，而对解决问题的方法的优劣比较关注较少.这些做法不利于培养学生思维的缜密性，也不利于养成学生的思辩能力.

试题中呈现的任务，学生既可以使用几何领域中的面积分割法，又可以使用代数领域中的函数构造法，体现了数学问题解决的方法多样性.“任务二”中，第1种方法借助图形解决问题，不论是从思维过程还是从求解过程来看，都要比第2种方法复杂，体现了在不同问题中方法选择的重要性；“任务三”中，学生需要自己选择建构图形或构建函数，脱离“模仿”的低层级学习，试题对解题方法没有限制，学生既可以从阅读材料零起点入手现学现用，也可以用高中阶段的等比数列知识或大学的无穷级数知识从高视角降维求解.

4教学启示

4.1重视“综合与实践”教学，提升学生的应用意识和创新意识

在数学教学中，应重视“综合与实践”领域的学习，采取项目式或主题式的学习方法，整合数学基础知识、基本技能和基本思想方法，在活动中让学生积累基本活动经验.综合与实践的教学应注意把握以下三个原则：

一是渐进式原则.要从学生的实际情况出发，设计与学生认知贴近、与学生生活贴近的问题，以学科内综合为起点逐渐走向学科间的综合，从解决单一主题的问题到复杂情境的问题，引导学生克服对综合与实践的畏难情绪.

二是真实情境原则.真实情境包括生活情境、数学情境、科学情境、社会情境，在教学中灵活创设情境，以使学生充分感受数学与现实生活、数学内部、数学与科学、数学与社会之间的联系，培养学生的应用意识和创新意识.

三是探究性原则.基于数学学科的思维特点，设计问题时要具有科学探究的价值，要用问题链和任务串体现设问的进阶，引导学生在探究中发现，在质疑中理解，在反思中感悟，在应用中创新，提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

4.2重视开展数学阅读，增强学生的阅读理解能力

数学阅读已成为数学核心素养视角下的关键能力.它包括对给出材料的文字语言、符号语言、图表语言的认知与理解，即会用数学的眼光观察现实世界；还包括对材料中的信息进行分析、加工和处理，以寻找出其数量或图形的内在数学逻辑，即会用数学的思维思考现实世界；同时，问题解决的过程中需要学生用类似于材料中的语言和已积累内化的语言进行表述，即会用数学的语言表达现实世界.因此，在数学教学中教师应有意识地加强学生数学阅读理解能力的培养.

一是要积极营造数学阅读的氛围.在日常教学中教师要力行主导作用，引导学生养成自主学习新知的习惯，逐步形成学生独立阅读教材和独立解读教材的能力；在例题讲解过程中，引导学生自主阅读题目，独立思考题目的已知条件和待求问题.

二是要重视数学语言的轉化教学.现行各版本的初中数学教材中，多数数学公式、定理、推论是给出一种语言的表述，教师教学时应有意识地引导学生进行多种语言的描述或转化，在问题解决过程中积极尝试用图形语言、表格语言来刻画数量关系和变化关系.

三是要加强数学阅读方法的指导.在教学中应引导学生从问题的关键信息入手，借助必要的图形和表格帮助理解；引导学生从隐含的条件入手，不断挖掘条件背后的实质；引导学生从解决问题的角度思考还缺少什么条件，以及如何获取条件.

4.3重视数学思想方法的教学，培养学生的高阶思维能力

数学思想方法的教学是形成学生数学核心素养的有效途径，也是学生从“高位”认知数学的重要支撑.无论是从特殊到一般的数学概念和定理的归纳方法，还是从未知到已会的问题转化思想，都需要在教学中贯彻落实，使数学思想方法固化为学生的关键能力.对数学思想方法的教学绝非一蹴而就，需要经历层次化、阶段性的过程，需要让学习者在长期的学习过程中尽可能多地领悟到其中的真谛[3].因此，作为一线教师需要做到：在备课、上课、作业的教学全链条中融入数学思想方法；在真实情境问题的解决过程中，体现、应用和升华数学思想方法；在数学兴趣培养的过程中，体验、感悟数学思想方法的独特魅力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社，2022.4

[2]施建兵.在数学教学中怎样培养学生的阅读能力[J].语数外学习：初中版下旬，2013 （10）：66.

[3]李树臣.借鉴试题导学价值提高数学教学质量[J].中国数学教育，2015 （21）：60-64.

作者简介

梁全声（1977—），男，山东潍坊人，潍坊市高新区初中数学教研员、中学高级教师；山东省教学能手、齐鲁名师；全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者.

于芳民（1979—），男，山东滕州人，中学高级教师;潍坊市教育科学研究院初中数学教研员;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者.

指向初高衔接的初中函数解题教学实践与思考基金项目江苏省教育学会“十四五”教育科研规划一般课题“指向核心素养的数学建模教学研究”（22A00QTJS35）;无锡市教育学会“十四五”教育科研课题“指向核心素养的初中数学‘后建构课堂教学策略研究”（XH2022311）;无锡经开区“十四五”规划课题“基于‘三会核心素养的初中数学‘后建构课堂教学策略研究”（2022JKGH1-09）.