基于初中数学探究式思维构建的教学探索

管雅萍

初中数学探究式思维是一种学习递进式思维，聚焦于学生对核心知识与关键能力的复合性高阶建构。通过对探究式思维相关要素的剖析，从探究情境的设计、思维空间的架设、探究过程的安排、探究序列的设计四个关键量，借助实操案例展开剖析，从而初步构建学生探究式思维主体形成的教学模式。

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养模块中指出：数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力，教师要积极引导学生去探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“发现”的过程。探究式思维构建是素养立意的要求，是课堂中必不可少的隐性目标。当前初中数学课堂中对探究式思维构建存在的问题比较明显：一方面，课堂形式大于教学本质，为探究而“探究”的现象大量存在；另一方面，对探究的内容把握不到位、定性不准确，难易匹配程度不一致的情况时有发生。基于此，笔者在课堂教学中进行了实践探索，以期优化教学样态，提升课堂质量。

二、课堂教学探索

（一）把体验融入情境，为探究设下“趣笔”

在探究活动中，情境的创设往往具有一定的指向性，即为思维的提升做铺垫。展现在学生面前的情境，不应当是游离于他们生活体验、认知体验的，而是需要引导他们去思考、去探索、去实践，甚至去模拟的具象实际。所以教学中我们不能提供不经处理和杂乱无章的原生态的现实情境，应提供经过初步整理的“准现实问题”。关于探究活动中的情境创设，依据学生学习兴趣的“触发点”，从抽象思考与生活体验两个角度来剖析

1.触发于抽象思考的情境设计

学习情境往往是促进学生思考的切入点，引起思维的触发点是一种条件式“外因”，而学生的学习驱动力是内因，外因要通过内因才能起作用。初中阶段是学生具象思维向抽象思维转型的关键期，学生的抽象思维能力需要在一定的数学经验积累上获得提升。

案例1：一次由“锐角三角函数”的关系思考，促发的探究。

在已经发现锐角三角函数之间的一些关系（tanα=，sin2α+cos2α=1）后，探索下列关系式是否成立（0°<α<90°）。

（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα。

问题重构及实施：在有探究的教学中，教师的设问以及引导策略要能触及学生思维的兴奋点和“发生点”，把问题巧妙地设在抽象数学知识结构的内部，从而构成探究体验活动，驱动学生思维的形成和发展；学生在感受数学“模型架构”的美感中，其数学素养也能得到有效錘炼。我们作如下引导：如铺垫设问：（1）比较sin60°、sin45°、sin30°的大小。（2）判断sin60°与2sin30°的大小关系。（3）利用课本中的图，探究sin15°的值。（4）探究：sin2α与2sinα（0°<α<90°）的大小关系。

教师能很好地把握九年级学生的思维特点，发力于学生对数学问题的抽象思考，拓展于数学知识结构本身的思索，让探究真正成为一项融入美感的活动。学生在这一过程中，建模、化归、极限思维得到了锻炼；探究过程中，教师在问题的“简单重组”“铺垫设问”中为学生搭建合适的“起跳距离”，把问题设在学生跳一跳够得着的高度，使不同层次学生开展探究成为可能。小组合作研讨中，教师的引导与学生的主动探究契合度不断提升。

学生在探究中互动评价、分享各自的思路，他们对问题的探究兴趣并非来自数学知识的外部世界（客观现实世界中的非数学因素），更是在体悟数学建模的理性魅力过程中尽享探究之乐。

2.触发于生活体验的情境设计

数学知识的抽象性与学生认识过程的形象性之间存在矛盾，因此，在数学探究活动中设置生活化的情境能较好地激发学生的学习兴趣，进一步调动学生思维的积极参与，促使学生真正进入有效的探究体验活动中，从而达到对知识、能力、情感的意义构建。

案例2：八年级上册“图形的轴对称”引导课时：

板块一：从图形的测量开始

出示实物及实物抽象后的图形——长方形、平行四边形、三角形、圆。引导学生说说这些图形的特征。提问：这些特征是从图形的哪个方面观察测量的？（从边引出周长，从边和角引出面积。）

板块二：走出图形的测量

图1中两个三角形都是直角三角形，面积也相等，除周长外，它们还有什么不同（引出新的概念——对称、轴对称、对称轴）。

板块三：探索图形的变换——折叠问题

判断图2中的图形是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，动手探索对称轴的条数等。（对称轴的几何特性）

案例中，从学生的生活情境出发，强化了对数学知识的抽象，从图形的单个特征量——周长、面积等，引申到图形的整体特征性——对称性，在强化概念的同时，隐含了引导学生对图形特征的探究模式，引导学生思维的提升。

（二）开放的思维空间，为生成埋下“伏笔”

隐藏在探究活动中的数学知识和方法需要学生发现和领悟，设置探究活动要突出数学的思维价值，所探究的问题要能引起学生的认知冲突，促使他们积极思考，然而，在探究活动中一系列固化的数学问题的堆砌，并不能代表数学教学中学生的思维量就大；思维只有在学生积极、主动的探究体验活动中，只有在充满意义的生成的学习氛围中，才能被拓展、延伸。所以说，有思维量的课堂，必定是有生成性的课堂。

案例3：一次探究，引发的“课堂容量”与“思维容量”的思索。

九年级学了尺规作图问题后，用直尺和圆规对圆进行2等分、3等分、4等分、6等分操作，每个问题都要求学生经历“操作尝试—数学验证—反思、概括”三个阶段，问题设置具有鲜明的层次性，很适合学生探究。

探究活动从课内延伸到课外，使学生在经历探索时不断引起兴趣增长点，在不断地绘图操作中，体验成功的快乐。问题设置的“合适坡度”，又使学生在不断建构的过程中兴趣不减，享受着生成的快乐。课堂教学中，有必要去关注学生思维的积极性，关注学生主动的生成表现。另外，挑战性的问题设计，使教师有机会引导学生的思维向广度、深度发展。

（三）有径的探究过程，为思维架设“阶梯”

浅易、平淡的问题，不容易引起学生的注意和探究兴趣。同样，若问题设置的难度过大也极易使学生望而生畏，从而影响学生探究问题的积极性。在教学活动中，教师可以在保证总体教学目标达成的前提下，按照学生的认知规律，通过梯度、分层的铺垫性问题，经由变式导向分散难点，有效引发学生对问题本质的感知、探究，使探索过程具有渐进性、连续性和积累性。

案例4：一个来自数学知识内部的“探究问题”。

课本原型：如图3，在等边△ABC中，P、Q分别在边AC、BC上，且AP=CQ，线段BP、AQ相交于点O，求∠BOQ的度数。引起思考：正三角形属于正多边形的一种，类比对于其他多边形是否也有类似的结论呢？

探究1：由正三角形拓展至正方形，正五边形如图4、图5，点E、D分别是正方形和正五边形某个顶点相鄰两边上的点，且BE=CD，BD、AE交于点P，求∠APD的度数。

探究2：再拓展至正n边形。如图6，点D、E分别是正n边形相邻两边上的点，且BE=CD，AE、BD交于点P，求∠APD的度数。

提升追问：

探究3：若D、E点移动到相应边的延长线上时，上述结论是否依然成立？还能否求得∠APD的度数？

反思形成，思维提升：根据前面探索，能否将本题推广到一般的正n边形的情况？点在线段上与线段外，所求同一位置的角度有何异同？

边数的变化和点在线段上和线段延长线上的变化——两个铺垫性探究采用变式的手法，为学生在探究中制造了合理的“坡度”，问题的设计环环相扣、步步深入，使学生能自主在自己合适的“高度”感受到利用类比的方法获取思路、处理相关信息的解题经验，让学生在思维的动态发展中不断完善认知结构，从而使学生有机会通过自主探究体悟到问题解决方式：信息获取→提取关键→处理关键→建立类比→运用类比→验证反思，在整个问题处理的过程中感受数学类比思想的魅力。

（四）有序的整体设计，构建有效探究“序列”

“序”，即序列。教学中的有序体现了循序渐进的基本思想。学习内容的序列应当按照学生的认知结构和认知规律进行，按照学生的认知发展或智慧生长的序列，把最典型的、最浅易的探究问题安排在前面，逐渐提高水平，即把知识的结构与认知心理程序统一起来。

在探究活动中，探究问题要层层推进，教师要按照思维的递进性、螺旋上升的特征来整体设计探究活动，即安排好相关问题的推进序列、思考序列，组成循序渐进的探究问题链。如：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P为BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分别为E，F，G，求证：PE+PF=BG。

问题“序列”布局结构图示（图7）：

在后续的探索问题中，从三角形出发，继而引出对矩形、正方形、圆形的类比探究，构建学生问题解决的知识链、思维链。

数学学科的知识链、能力序能在一定程度上进行切分，切分及解决的思考过程中便显示出了问题链的逻辑顺序，在微观的数学教学领域，其有“序”可循，这个“序”就是学生心理发展的序，学生认知规律的序。如一系列案例问题就组成了一组有序的问题链，然而对每个问题的内部探究活动，则分别又是一个微观的有序活动，这种“序”充分体现在问题设计或活动本身的层次感，比较适合学生探究、体验，学生也能在探究中得到熏陶。

三、总结

教学中，我们需要基于新课程标准要义培育学生的核心素养，学生在课堂上不应只是听数学、看数学、练数学，而是更多地做数学、玩数学。在教学中要构建初中数学探究式思维，围绕递进式问题的解决驱动，展开深入而持续的问题思考模式。在有效的探究教学氛围中，学生的知识、能力可以从争论中获取，从协作中获得，从相互启发中汲取，从相互激励中争取，这不仅是学习知识的一种方式，而且是学习的宝贵资源。学生在更多的数学思维活动中经历、体验、探索数学，从而获得广泛的数学价值和意义，也是我们对数学教学永恒的追求。

（作者单位：浙江省杭州市萧山区信息港初级中学）

编辑：曾彦慧