B样条拟插值算子在Orlicz空间中的逼近

闫丽新，韩领兄

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

1 预备知识

首先介绍Orlicz空间［1］。

定义1［1］设定义在R=(-∞,+∞)上满足如下性质：

1）M(u)是偶的连续的凸函数且M(0)=0；

2）当u＞0时M(u)＞0；

由定义得出存在非减的右连续函数p(t)，使得

其中p(0)=0，p(∞)=∞。

定义2［1］N函数M(u)的余N函数N(v)定义为：

其中q(s)=为p(t)的右反函数。

定义3［1］由N函数M(u)在闭区间[a,b]上生成的Orlicz空间是指具有有限Orlicz范数

的可测函数全体{u(x)} 。这里ρ(v,N)=是关于v(x)的模。

Orlicz范数还可以表示为：

定义4［2］设，r≥1，t≥0，称

为K泛函，其中f在(a,b)上局部绝对连续}。

定义5［2］设，r≥1，t≥0，则称

为f的r阶连续模或r阶光滑模，其中

称为f在x点上步长h的r阶差分。

关于K泛函及光滑模具有以下等价性质［2］，即存在常数A1与A2不依赖于f和t，有

文中C表示与x无关的常数，在引理1、引理2及定理1的证明中不同的地方其值也不同。

自20世纪以来，函数逼近论已成为函数理论中最重要的分支之一。而在Orlicz空间中研究算子逼近是逼近论的一个重要分支，近年来已经有很多学者在这方面取得了很好的成果［3-7］。同时，关于B样条相关算子在不同空间的研究也已经有了很好的结果［8-11］，但是还没有关于B样条拟插值算子在Orlicz空间中的研究成果。下面给出了B样条及B样条拟插值算子的定义。

先介绍B样条定义。

定义6［9］设a=x0＜x1＜x2＜…＜xN＜xN+1=b为一组节点，分段函数S(x)满足下面条件：

1）每个区间[xj,xj+1](j=0,…,N)上，S(x)是一个次数小于等于n的实系数代数多项式；

2）S(x)于[a,b]上具有一直到n-1 阶的连续导数，那么称y=S(x)是n次样条函数，称x1,x2,…,xN为样条节点。

定义7［9］m阶B样条的定义为：

当m≥2 时

下面介绍B样条拟插值算子的定义。

定义8［12］设对于∀k≥2，X=是单调上升的点列，记

用任意m阶B样条去构造拟插值算子(Sh f)(x)，

郭红焱在文献［9-11］中构造了B样条拟插值算子并分别研究了其在C空间及Lp空间的逼近阶，并在文献［10］中得出了下列定理。

定理A［10］若对∀m≥2，X=是单调上升的点列，则当h=sup(xj+1-xj)时，对[a,b]上任意满足m次可导且m次导数连续的函数f(x)有

推论［10］若对任意m≥2，X=是单调上升点列，则当h=sup(xj+1-xj)时，对[a,b]上任意的函数f(x)，若满足m次可导并且m次导数连续，则有

而近几年，随着非线性问题的增多，将Lp空间过渡到Orlicz空间已是必然，笔者在文献［10］的基础上研究了B样条拟插值算子在Orlicz空间上的逼近性质，推广了文献［10］中的结果。

2 主要结果

笔者得出了B样条拟插值算子在Orlicz空间的逼近正定理。

定理1若对任意m≥2，X=为单调上升点列，当h=sup(xj+1-xj)时，对[a,b]上任意的m次连续可导函数g(x)，有

则对∀f∈L*M[a,b]，有

为了给出定理的证明需要以下几个引理。

引理1若对∀m≥2，X=是单调上升的点列，则当h=sup(xj+1-xj)时，对，

则‖Sh‖有界。

证因为

其中Zj(f)是f(xj)，f(xj+1)，…，f(xj+m)的组合。由文献［13］可知

再根据B样条的正定性和再生性［9］，由定义8可得

引理2若对任意m≥2，为单调上升点列，当h=sup(xj+1-xj)时，对[xj,xj+1]上任意m次连续可导函数g(x)，则有

满足

证由引理1及g(x)满足的性质，在x0附近有

其中ξ介于x与x0之间。

又记

此时不妨设|x-x0|＜h，则有

又由B样条再生性［10］可知(Sh f)(x)具有m-1次局部多项式再生性质，所以有

从而得

定理1的证明由引理2得

从而利用K泛函的定义，得

由式（1）得

3 结论

将B样条拟插值算子在Lp空间的逼近推广到Orlicz空间，对B样条拟插值算子在Orlicz空间有界性进行了研究，并得出了其在Orlicz空间的逼近正定理。