以数学思想方法为核心的单元整体教学设计与实施

摘 要 学生核心素养的培养必须建立在连续、整体、一致的学习活动基础之上。以数学思想方法为核心开展单元整体教学研究，可以发挥思想方法在教学内容分析、教学活动设计、教学活动实施中的多重作用。以数学思想方法指导单元整体设计，在单元整体活动中习得和应用数学思想方法，可以实现数学思想方法与单元整体学习的互相促进，发挥两者在学生素养提升方面的重要价值。

关  键  词 数学思想方法；单元整体教学；教学内容；目标方案；教学实践

引用格式 李建良.以数学思想方法为核心的单元整体教学设计与实施[J].教学与管理，2024（11）：52-56.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学内容的结构与组织要关注核心素养发展的整体性和一致性[1]。除了知识、技能的整体性和一致性之外，我们更应该注重“逻辑的连贯性和思想方法的一致性”[2]。吕世虎等认为，数学单元教学可以以重要的数学概念或核心数学知识为主线组织，也可以以数学思想方法为主线组织，还可以以数学核心素养、基本能力为主线组织[3]。王永春指出单元整体设计与教学的核心是整体构建学生的数学认知结构，包括数学知识结构、思想方法、元认知和非智力因素[4]。可见，在单元整体教学中，数学思想方法是重要的研究和学习内容。

对于单元整体学习而言，数学思想方法具有组织、串联和统整的作用。作为教育形态的数学思想方法，既要让学生自然合理地产生、形成、巩固和发展，又要尽可能缩短其学习的时间进程[5]。单元整体教学活动具有过程性、長期性、整体性等特点，以单元整体教学的形式开展学习活动，为学生充分经历数学思想方法习得的各个阶段提供了条件。利用数学思想方法习得过程中的操作体验、明确表达、自觉应用、联系发展四个阶段与单元整体教学过程中的整体感知、概念习得、知识应用、问题解决等阶段之间的对应关系，是实现数学思想方法与单元整体教学有机融合的有效途径。

以数学思想方法为核心的单元整体教学，应突出体现数学思想方法在各研究阶段中的价值，其过程一般包括准备阶段、设计阶段和实施阶段（如图1）。本文以极限思想统领下的“圆”单元为例阐述具体如何开展研究与实践。

一、准备阶段：基于数学思想方法分析教学内容

单元教学内容整体分析可以按照以下步骤开展：首先，分析单元教学重点、难点，确定贯穿于单元教学始终的核心问题；其次，对所选教学内容中蕴含的数学思想方法进行梳理，锚定与核心问题对应的主要数学思想方法；再次，整理各课时内容与主要数学思想方法之间的逻辑关系，使各课时主要教学活动都围绕该数学思想方法展开；最后，进一步沟通和明确各课时主要内容之间的关系，使整个单元的学习内容联系得更加紧密。

1.提炼核心问题

数学内容之间的关系纷繁复杂，每个知识点有各自关联的内容，从单课时的角度进行梳理与分析，则会局限于一题一课的得失，忽视内容之间的整体关联和共同要素。将教学内容置于全局视角下，能够更好地厘清知识的来龙去脉，有助于把握教学中的共性问题。如在“圆”这一单元中，最为关键的圆的特征、圆的周长、圆的面积三个内容都指向同一个核心问题，即方（多边形）与圆的转化。

2.锚定思想方法

有了单元核心问题，还需进一步锚定与该问题相关的主要数学思想方法，思考其如何作用于全局。“圆”单元的核心问题是方与圆之间的“无缝”衔接与转化，在此过程中，圆的概念与特征、圆周率与圆周长、圆的转化及面积公式推导等知识技能的习得始终需要得到极限思想的支持。同样，极限思想的产生、形成、巩固和发展，也都必须以该单元的各个内容为载体，两者互为表里。

3.梳理教学内容

在核心问题和思想方法的基础上，还需要思考和梳理具体的教学内容，使其更加紧密地围绕核心问题和思想方法，凸显单元教学的整体性、一致性和逻辑性。在“圆”单元教学中，为了在已知的多边形与“圆”单元各部分内容之间形成自然过渡与对应关系，应加入以正六边形为代表的正多边形的学习。正多边形的形状、周长、面积等内容，为圆的整体认知提供视角，使圆的要素与特征的发现有了素材，明确圆周率探究的起点和方向，也为圆的分割和转化提供活动经验（如图2）。

4.形成整体结构

将单元整体教学的策略、数学思想方法形成的过程和具体的教学内容结合起来进行整体思考，形成教学框架，可以使教学设计与实施的路径更加清晰，有利于最大限度地发挥三者的教学价值。对“圆”单元而言，如能将正多边形、圆的特征、圆的周长和圆的面积四个内容组成一个关系紧密的单元，则可将正六边形的特征、周长和面积研究的过程、经验和结论，迁移至圆的特征、周长和面积的研究之中。这样，不仅可以使知识、技能和方法得到更好地运用，还有利于极限思想持续发挥作用。

二、设计阶段：依据数学思想方法制定目标方案

在厘清单元整体教学的主线之后，需要确定单元整体目标，合理划分、调整学习内容并制定课时目标。在具体教学活动的设计过程中，教师应按照循序渐进的原则，根据前期的梳理与分析，结合教学内容自身的逻辑与数学思想方法习得的各个阶段，安排恰当的学习素材，设计教学活动，以此达成“帮助学生经历数学思想方法的习得过程，获得对数学知识技能的整体认知”的目标。这一阶段主要是从教师视角，站在数学思想方法的高度，推动教学活动的整体设计。

1.制定学习目标

学习目标分为单元目标和课时目标。单元目标不是课时目标的简单叠加，应对单元知识技能进行整体思考和定位，明确数学思想方法在教学过程中的整体促进作用，兼顾学生数学素养的整体提升，以使单元整体教学活动取得长期效果。如可将“圆”单元的整体目标定位为：①经历正六边形与圆两者特征、周长、面积的探究过程，掌握两者周长、面积的计算方法，比较两者的异同，对平面图形形成整体认知；②关注方与圆的转化这一核心问题，借助正多边形与圆的多重对应关系，体会极限思想的重要意义并用于指导各内容的学习和探究，熟练运用转化思想解决问题；③经历知识技能和思想方法的形成、发展和完善的过程，结合学习素材进行质疑和辨析，发展问题意识、批判精神和创新意识。

课时目标的制定应围绕核心问题和思想方法，紧扣单元目标，分阶段落实。可以从显性（知识技能）和隐性（思想方法）两个层面制定各课时目标。特别是隐性目标，应该符合并体现数学思想方法习得的规律（见表1）。

2.搜集学习素材

数学思想方法的获得有赖于具体的学习活动，而学习活动的设计与组织，又需要以特定的学习素材为载体。因此，应尽可能多地搜集相关的素材，从中获取教学活动设计的思路。其中，数学史料作为数学发展过程中形成的能反映本学科特征的历史资料，具有丰富性、科学性、发展性、关联性等特点，对学习过程具有重要的启示，是数学学习的重要资源。经过广泛搜集与精心筛选，笔者最终确定了以下与圆有关的数学史料：① 《墨经》 《几何原本》 给出的圆的定义；②《周髀算经》赵爽注中关于“圆径一而周三”的记载；③刘徽 《九章算术注》 对圆面积公式的证明以及求得圆周率的近似值3.14的思路和方法；④祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位；⑤ 《九章算术》 记载了圆面积的四种算法并由刘徽给出证明；⑥印度人用“切西瓜”的方法转化圆并推导其面积公式；⑦开普勒《测量酒桶的新立体几何》中将圆转化成三角形推导面积公式。

3.关联思想方法

在获得学习素材之后，将其与核心问题、思想方法进行关联是非常重要的一步工作。从单课时的角度而言，前期收集到的每一种素材都有其特定的价值，但对单元整体而言，为了突出单元核心问题和思想方法，需要进一步围绕主线以及教学顺序组织数学史料。在“圆”单元的相关素材中，结合教学内容与极限思想以及学生的学习基础和认知特点，应以“割圆术”（以直代曲、极限思想）為轴，围绕割圆术，按照各课时的目标，安排“圆出于方”“一中同长”“周三径一”“出入相补”“印度切西瓜法”“开普勒法”等作为素材，以此帮助学生生动形象地理解极限思想，并促使单元整体教学有序推进。

4.设计学习活动

在开展单元整体教学设计时，既要注重各课时的自成一体，又要考虑数学思想方法习得的各个阶段与相应学习活动之间的关系，同时还应关注各课时学习活动的前后呼应。其中，单元起始课整体呈现并探究与后续内容有关的问题，以便形成迁移；后续各课时按照单元起始课的学习路径、方法、结论分别开展研究，深化对各部分内容的认识。“圆”单元各课时主要活动见表2。

三、实施阶段：立足数学思想方法开展教学实践

在实施单元整体教学活动时，应充分利用数学思想方法获得的各个阶段与单元整体教学各个环节之间的对应关系，一方面要根据单元整体教学过程中的具体内容，帮助学生充分经历数学思想方法形成的过程；另一方面，要充分发挥各个阶段数学思想方法对单元整体教学内容的指导作用。同时，要激发学生各个阶段积累的活动经验，为他们创造在学习活动中积极互动的机会。这一阶段主要是从学生立场，帮助学生习得与应用数学思想方法，在用数学思想方法指导学习活动的过程中，促进各教学内容之间、知识技能与思想方法之间的融合。

关于单元整体教学实施的基本策略，何小亚提出“先从整体知识的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述，使学生对这个知识单元有一个整体的认识，然后逐个学习”[6]。关于数学思想方法的学习，燕学敏等认为其最鲜明的特征是过程性，要在知识的传授过程中，由教师把某种特定的数学思想方法全景式地展现给学生，让学生通过自己的理解、经历去体验、领悟和把握[7]。两种观点都提到“先整体后局部”，具有高度的一致性，因此这也成为以数学思想方法为核心的单元整体教学的基本策略和路径。

1.在整体感知中体验思想方法

在单元整体教学中，第一课时往往起到提纲挈领、观照全局的作用。此时，不仅要帮助学生对单元知识点形成整体印象，也应借此机会使学生对其中包含的数学思想方法有所体会。如在“圆”单元“正多边形”一课的学习过程中，在学生研究正六边形周长与对角线长的倍数关系，以及正六边形的周长与面积的关系（面积=周长×边心距÷2）的基础上，教师请学生提出减小正六边形与圆之间差距的方法，学生提出：在弓形部分不断填补小三角形得到不同的正多边形，以此不断接近圆。结合自身学习过程与教师提供的刘徽割圆术，学生提出：正多边形的边数不断增加，最终会转变成圆；反之，要研究圆的问题，也可以将其转化为正多边形。在上述活动中，学生对极限思想有了初步的感知和体验，极限思想的引入使方与圆的转化有了科学、合理的解释依据。

2.在概念习得中明确思想方法

学生获得对数学思想方法的初步感知后，还需要将其运用于特定对象的学习中，并以此为载体进一步明确思想方法。在数学对象特征的刻画和数学概念的抽象过程中，其中包含的数学思想方法及其价值得到进一步显现。在“圆的认识”一课中，教师请学生尝试在正六边形的基础上画出正十二边形，并重点讨论先从中心点出发画六条等长线段垂直于各边，再依次连接各端点得到正十二边形的方法。学生认为，按此画法可以继续画出正二十四边形等正多边形，当从中心点出发的等长线段为无数条时，其另一个端点围成的图形就是圆，其中心点就是圆心，等长线段就是半径，有无数条。在这一过程中，学生明确了方与圆的转化过程中包含的极限思想，通过极限思想验证了正多边形与圆之间可以互相转化的事实，并借此抽象出了圆的概念与特征。

3.在知识应用中巩固思想方法

在明确数学思想方法之后，学生能否在面对新问题时自觉应用，是思想方法是否被理解与接受的重要判断标准，也是他们必须要经历的阶段。因此，教师应创造机会让学生主动应用数学思想方法指导自己的学习活动。在“圆的周长”学习中，学生在用“化曲为直”的实验操作方法研究周长与直径的比值时发现，“绕圆”“滚圆”等方法所产生的误差会对比值的计算造成影响。当学生受困于如何解决测量误差的问题时，前期活动中蕴含的极限思想便发挥了作用。学生指出，已知正六边形的周长与对角线长的比值是3，这是非常明确的。以此为出发点，可以逐步用正十二边形或者正二十四边形等代替圆，使其便于操作从而减少误差，在此基础上总结出方法和规律并进行进一步的研究。按照学生提出的方案，教师借助多媒体软件演示不同正多边形周长与对角线长的比值变化规律，帮助学生经历更加科学合理的圆周率研究过程。教师将学生的方案与刘徽的证明过程进行对比，发现了割圆术（极限思想）在其中发挥的重要作用。可见，学习活动中需要恰当的问题情境为学生提供应用数学思想方法的机会，并借此体会数学思想方法的学习价值。

4.在问题解决中发展思想方法

数学思想方法不是孤立的，一方面，它是包含于具体数学知识之中的；另一方面，某一数学思想方法往往与其他思想方法共存于学习内容之中。因此，应以联系发展的眼光加以对待，在复杂问题的解决过程中综合运用，形成对数学思想方法的综合性、深层次理解。在“圆的面积”研究中，学生根据本单元前期研究的过程和结果尝试设计圆面积的研究方案，提出了“中心分割法”并说明了具体的转化设想。针对这一方案中存在的矛盾：分的份数越多越精确，但份数多了不利于操作，学生认为可以从简单情况入手，再把从中得出的结论运用到复杂的情况中，运用“割圆术”（极限思想），借助想象实现圆的“完美”转化。在具体操作过程中，学生主要运用了“印度切西瓜法”和“开普勒法”分别将圆转化为平行四边形和三角形，通过对应关系推导出圆的面积计算公式。在此过程中，极限思想的运用表现为三个层次，首先是运用割圆术实现由圆到方的转化，其次是借助极限思想解释圆如何“精确”地转化为方，再次是在整个过程中实现极限思想与转化思想的融合。

在单元整体学习过程中，正六边形的相关问题促使极限思想的萌芽，在圆的认识过程中极限思想逐步成型，运用极限思想改进圆周率的研究方案进一步巩固对极限思想的认识，在圆的面积公式探究中极限思想得到自觉运用并被用于弥补转化思想的不足。知识技能的学习与思想方法的习得始终交织在一起，互相促进，互为补益。因此，数学思想方法的习得应以具体的学习活动作为载体，反之，将数学思想方法习得的各阶段与教学活动相融合，有助于更好地完成单元整体教学。

因此，对数学思想方法的挖掘和应用，不能浅尝辄止，而是应该想方设法促使其从始至终都发挥作用。教师应当树立一种信念，数学思想方法本身也是数学学习的内容和目标，借助单元整体教学这一契机，使学生完整经历数学思想方法的习得过程，并充分发挥其教学价值，使单元整体活动与数学思想方法的教学效果相得益彰。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 章建跃.逻辑的连贯性和思想方法的一致性[J].中小学数学（高中版），2013（Z2）：132.

[3] 吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016，8（04）：41-46.

[4] 王永春.小学数学单元整体设计的理论建构[J].小学数学教育，2021（07）：4-6.

[5] 吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014，23（03）：11-15.

[6] 何小亚.建构良好的數学认知结构的教学策略[J].数学教育学报，2002（01）：24-27+85.

[7] 燕学敏，华国栋.国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示[J].数学教育学报，2008（03）：84-87.

[责任编辑：陈国庆]