打磨核心教学细节 追求高效数学课堂——《平均变化率》的磨课实践和体悟

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“有效”始终是数学课堂教学的永恒追求.在一定程度上，数学课堂是由无数个教与学的细节共同组成的，只有每个细节优化，且每个细节和谐，才能保证数学课堂教学的高效.而细节的优化，来自于对细节反复的“打磨”，就是追求教学的合理化、智慧化、精确化、高效化.近日笔者参加了南通市优质课评比，课的内容是苏教版选修1-1“导数及其应用”第一节课《平均变化率》，为此对几个核心教学细节进行了反复思考、打磨，下面就磨课中重点思考的几个细节谈谈实践和体悟.

一、理清核心主线 清晰主动构建

李善良博士明确提出数学课堂教学必须要“理清核心主线，优化教学过程”［1］.一堂有效的数学课，应该有一条主线把教师、学生双方的理解、倾听、学习清晰的串起来，形成一条认知线索，促进双方理解和感悟：对于教师来讲，依照设计好的这条主线，能轻松的驾驭课堂，而不是零敲碎打；对学生来说，顺着这样一条主线，能清晰主动构建起课堂所达成的教学目标.可以避免“课堂热闹，学生情绪高涨，但感觉是在云雾中行走，不知道这节课的目标是什么”的尴尬，从而不会导致认知的零散而造成学习效率偏低.

本节课是一节概念生成课，此概念来源于生活，有极其丰富的实际背景，要想深刻理解，达成教学目标，就必须先磨好核心主线！笔者遵循“直通始终、明确方向、整体连续”的注意点，理出了下列教学核心主线图：问题情境→提出问题→学生活动→意义建构→数学理论→数学应用→反思提升，教学效果证明，这是一条行之实效的核心主线.

二、创设生活情境 力求贴切、经济

情境是一切认知活动的开始，情境创设既要根据教学内容的实际情况和学生的学习能力创设出适合的、贴切的问题情境，又要注意内容容量，力求少而新、少而精，即情境的创设，要力求贴切、经济，而本节内容有丰富的生活背景，适合创设生活问题情境.

这节课的情境创设主要两种设想：

设想一：

情境1：让学生观看过山车录像并提出问题：注意观察过山车在运行过程中有哪些量在发生变化.从而通过过山车在运行过程中位移的变化、速度的变化、曲线的上升下降等具体可视现象概括为在运动过程中变量的变化情况，就是新的一章《导数及其应用》将要研究的问题，从而引出本章课题.

情境2：气温随时间变化的快慢情况（教科书提供的案例）.

设想二：（本人试上后反复打磨，最后参加2013年3月比赛的设计）

情境1：今天到贵校来参加高中数学评优课比赛，非常感谢学校领导对我的信任和同学们对我的支持，我非常珍惜这次比赛，为了及时参加比赛，我特地请了我校的驾驶员小王送我来参赛.可能是因为我比较兴奋，一路观察车速表，40 km/h时，就催促小王快点，10 min后我感觉车速没有明显变化，就又看了看车速为60 km/h；感觉时间比较紧，就不断催促小王加速，年轻的小王跟我开了个玩笑，看看前后无人无车，就使劲踩了一下油门，车子猛地往前一冲，我人一紧张，头有点晕，身体（稍停顿让学生有反应想象的时间）往后一仰，我急忙留意了一下车速为80 km/h.同学们，前后两次速度均变化了20 km/h，为什么第一次提速，我没有明显感觉车速变快，而第二次提速我有“紧张、头晕、后仰”这些反应呢？

情境2：（追问）生活中有没有类似的例子呢？学生自由举例（学生尝试举例，促使发现感悟内化）.

情境3：同设想一.

【取舍理由】设想一用视频画面情境来感悟，长处是画面感染力强，能激活课堂气氛，是一个非常好的生活实例，但未必每个学生都坐过过山车，仅靠很短的放映过程很难体会个中滋味；笔者的设想，情境1给学生讲自己实实在在经历的一次事情，用具有潜在意义的、饶有兴趣且身边可以遇到的生活事例创设情境，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题抓住学生，激发其探究欲望，让学生能身临其中；同时“我重视这次比赛”，也从情感上消除了和学生的陌生感，以情感赢得情感，抓住学生的心灵；再次，不需要计算也不可能计算，目的主要是让学生初步直觉感知实际生活中的一些变化快慢的问题，了解概念产生的背景.情境2通过学生尝试举例，对学生不正确例子的“追问”，促使举例错误的学生从思维深处不断内化，感悟变化快慢的实质：要从两个方面（如速度和时间）同时思考问题，教师点评，自然顺畅地过渡到情境3.南京大学郑毓信教授指出：“情景设置不应该仅仅起到‘敲门砖’的作用，还应当在课堂的进一步开展中自始至终发挥重要的向导作用”，因而几个情境之间一般情况下应该是有梯度、有层次、螺旋上升，层层推进.对比两种设想，第二个更接近生活，比较简约、适合、经济、实用.

三、“情境+问题串”驱动探究学习

人教社章建跃博士认为“如何设法在学生学习中融入问题解决的成分，“问题串”是一种行之有效的方法”.“情境+问题串”是将情境和问题串的教学设计有机地结合起来，用它来引导、启发、控制学习，指向数学核心概念、核心方法、核心思想的发生发展过程.好的“情境+问题串”一定要能成为一个探究的平台，以问题串促进学生活动.

1.设置问题串组，探究建构概念

结合上述三个有梯度的情景，笔者设计了问题串组，引导学生在直观感知的基础上，主动探究发现，理性构建数学模型，形成数学核心概念、领悟核心思想，拟以设想一中情景2授课的片段为例来说明.

问题串1：观察2004年4月18日到4月20日的温度变化，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果把该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温为18.6℃进行比较，发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹.这是什么原因呢？

图1

生（几乎齐声）：前者变化得“太快”，后者变化得“缓慢”.

师生活动：观察气温随时间变化的曲线图如图1（以3月18日作为第一天，理解图中A、B、C点坐标的含义）.

师：气温“陡增”的数学含义是什么呢？图像的直观显示是什么？

生：（手指图像自言自语）B，C之间的曲线较A，B之间的曲线更加“陡峭”.

师：好！曲线陡峭的程度直观地反映了气温变化的快与慢，陡峭程度和人对气温变化快慢的感觉是完全一致的.

【设计意图】用气温变化给人的感觉作为切入口，“陡增”作为突破口，引发学生思维，用曲线的陡峭程度去刻画气温变化的快慢.

问题串2：如何来量化这个陡峭程度呢？请你说出大致的解决问题的思路.

学生活动：分组研讨（前后4人一组），学生讨论热情高涨，思维自由流淌，个个想“表现”一下.

小组代表：曲线陡峭程度不仅跟前后两段时间内的温度差有关，还与时间差有关，所以就用温度差和时间的比值的大小来刻画曲线的陡峭程度，而且第一段的比值的确是小于第二段的比值的，所以我们用比值来刻画是合理的.

教师心理：小组学生代表一口气说完，不仅说出解决问题的方案，而且阐述了理由，虽与我预设的有所差别，但考虑方向完全可取，本以为要“搭桥”提示，没想到学生回答的很好，我就顺水推舟.

师（追问）：能说出具体的解决过程吗？

师生活动：学生你一言我一语相互补充完善，师生协作一起形成“气温随时间变化关系”表.

师（追问）：如何计算气温在区间［1，32］和区间［32，34］上的平均变化率？

【设计意图】促使学生活动后，自主发现可以用气温的平均变化率来近似地刻画气温的变化快慢、曲线的陡峭程度.

问题串3：我们把气温曲线图看作是某个函数f（x）的图像，取它的某个区间［x1，x2］对应得曲线段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是两个端点，类似于气温在区间［t1，t2］上的平均变化率的概念，函数在区间［x1，x2］上的平均变化率能用一个什么样的代数式表示？

【设计意图】由气温平均变化率概念抽象推广到一般函数平均变化率概念，体现了由特殊到一般的思想和数形结合的思想.

点评：以上三组“问题串”由浅入深，层层递进，环环相扣，经历了三个不同层次，即“实际生活中的平均变化率—图形中的平均变化率—函数的平均变化率”，通过活动，让学生经历了对核心概念、核心思想的发现、揭示、概括和理解的过程.

2.重组挖掘例题，探究反思提高

有价值的例题常具有三性：问题类型的典型性、答题过程的规范性、学后反思的探究性.通过对例题进行适当的变式（思考、追问、变题、重组、拓展）的训练，挖掘显现概念的内涵及其外延，展示“普通”题目背后的“精彩”，让学生在课堂上享受探究的快乐，真正实现对概念意义的建构，同时在对问题的探究中，产生新的疑问和需求，为下一节瞬时变化率的讲解作铺垫.

教科书中共安排四个例题，其中例1、例2两题是平均变化率在生活中的应用；例3、例4是平均变化率在数学内部的应用.笔者在参加比赛时，考虑到例1、例2两题均是平均变化率在生活中的应用，它们的平均变化率又恰好一正一负，故在处理这两个例题时将“例2”调整为“例1的练习”，使之互为补充；例4是一次函数，例3是二次函数，从函数次数和学生的认知习惯，决定把例4改为例2；考虑到例3中是将其属性延伸，既承上又启下，这样一来就将教材中的“例3”就调整为最后一个例题.这种设计既突出了教材的“纲”的功能，又体现了教者对教材的“个性化解读”以及“二次开发”性，并为建模提供有力的材料，使学生从数和形两个角度建立模型.

图2

例1 婴儿小远从出生到第12个月的体重变化如图2所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月，小远体重的平均变化率.

思考1：如何解释从出生到第三个月，婴儿体重平均变化率为1（kg/月）？

思考2：本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么？

（改编）练习：如图3，水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积V（t）=5×2－0.1t（单位：cm3），计算第一个10s内V的平均变化率.

图3

追问1：保持其他条件不变，第一个10 s内乙容器中水的体积的平均变化率为多少？你能口算吗？

追问2：正负值分别表示什么实际意义？

【设计意图】帮助学生进一步理解平均变化率的实际意义，感悟数学源于生活，增强学生用数学的眼光看问题的意识.

例2（1）已知函数f（x）=2x+1，分别计算f（x）在区间［-3，-1］，［0，5］上的平均变化率.

（2）已知函数g（x）=-2x，分别计算g（x）在区间［-3，-1］，［0，5］上的平均变化率.

设问1：若在区间［-4，2］，［3，7］，…上述平均变化率分别怎样？

设问2：若在区间［m，n］，上述平均变化率分别怎样？

师生活动（完成下表）：

追问1：你从例2中发现一次函数y=kx+b在区间［m，n］上的平均变化率有什么特点？

追问2：为什么一次函数在任意区间上的平均变化率都是直线的斜率k？

拓展：我们把气温曲线图看着是某个函数f（x）的图像，取它在某个区间［x1，x2］对应得曲线段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是两个端点，联想直线y=kx+b任意区间上的平均变化率都等于斜率k，函数f（x）在区间［t1，t2］上的平均变化率有什么几何意义？为什么？

【设计意图】挖掘出一次函数在某闭区间上的平均变化率的几何意义，拓展到一般函数在闭区间上的几何意义

例3已知函数f（x）=x2，分别计算f（x）在下列区间上的平均变化率：

（1）［1，3］；（2）［1，2］；（3）［1，1.1］；（4）［1，1.001］.

设问1：若在区间［1，1.0001］，［1，1.00001］，…上述平均变化率分别怎样？

设问2：若在区间［1，1+Δx］，上述平均变化率分别怎样？师生活动（完成下表）：

追问1：当左端点取值1保持不变，右端点取值不断接近1时，平均变化率怎么变化？

图4

追问2：如图4，由直线AB，转到直线AC，再转到直线AD、AE…时，直线变化趋势怎样？

【设计意图】与后续的“瞬时变化率”以及“导数的概念”接轨，渗透了数学思想方法，对后续的学习也起到了一定的铺垫作用.

点评：以上四个看似简单的例习题，但却是反复推敲精选细挑的.通过重组、改编、提问、探究，从例习题中抛出问题，让学生积极探究，通过活动探究使知识得以拓展完善，使解题方法得以磨练，思维得以升华，因而探究例题教学也是一个高效课堂不可或缺的重要细节.

四、渗透思想方法，内化升华素质

发展思维是数学教学的核心，渗透思想是数学教学的灵魂.这节课笔者主要在以下三个环节适时对学生渗透数学思想方法：首先，在知识形成过程中，设计问题串1至问题串3，借助气温曲线图来直观反映气温变化的快慢，反过来通过平均变化率来精确刻画曲线的陡峭程度，通过问题的解决知识的形成，渗透了“数形结合”的数学思想.其次，在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法，例2、例3及由此精心设计的思考、追问、变题、重组、拓展，先计算一次函数在一些特殊数值闭区间上的平均变化率，归纳猜想出一次函数在任意闭区间上的平均变化率，进而挖掘出一次函数平均变化率的几何意义、任意函数平均变化率的几何意义，使学生切身尝试解决问题的一般规律方法：“特殊→一般→特殊→一般”.再次，笔者在“课堂小结，双管齐下”师生交流环节中，请学生谈谈：这堂课你学到了哪些主要知识，体会到哪些思想方法？目的是在小结和回顾中提炼概括数学思想方法，可以把数学学习上升到一个更高的层面，促使学生认识从感性到理性的飞跃，其最终目的是要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实际问题，所以“渗透思想方法，内化升华素质”也是有效课堂必须具有且认真打磨的核心细节.

1.李善良.理清核心主线 优化教学过程［J］.中学数学月刊，2011（10）.