挖掘隐含结论 提炼有效模型

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著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中将数学解题划分为4个阶段：理解题意、拟定方案、执行方案、回顾.他在“回顾”中告诫我们：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？这要求教师在平时的教学中，不必一味地求全、求多、求难，而应找准学生的“最近发展区”，多以教材的例题、习题为素材，深入浅出、举一反三地推敲、适当变形、拓展延伸，做好知识的正迁移，提升教学的有效性.现以教材中的3道习题为题源，谈谈如何挖掘隐含在教材习题中的一般结论，然后用提炼得到的模型解决与之相关的中考题，从而实现“抓住一个模型，解决一类试题”.

一、模型来源

课本中的习题大都经过专家精挑细选，大多具有典型性、示范性、迁移性和再生性，这些题目是具有生长性的“母题”，将它们类比迁移、拓展延伸、加工改造、加强条件或减弱条件后便可以延伸出一个个新的命题，而这些命题往往是中考命题极好的材料.

原题1（浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第113页第6题）已知直角坐标系内四个点A（a，1）、B（b，1）、C（c，-1）、D（d，-1）.四边形ABCD一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定，请添加一个条件，使它一定是平行四边形.

原题2（浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第116页第4题）已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（-，-）、B（1，-1）、C（，）、D（-1，1）.四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.

原题3（浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第137页第5题）在直角坐标系中，有点A（a，b）、B（a，c）、C（-a，-b）、D（-a，-c）（a≠0，b≠c）.若要使四边形ABCD是矩形，b、c应满足什么条件？说明你的理由.

二、模型提炼

现将上述3个原题可归结为：在平面直角坐标系中探索平行四边形顶点坐标的问题，而此类问题恰恰是各地中考压轴题热点题的“基石”.现归纳如下：

如图1，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点.

（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形；

（2）若A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），写出第四个顶点D的坐标.

图1

图2

解：（1）如图2，以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有▱CABD1；以AC为对角线，有▱ABCD2；以AB为对角线，有▱ACBD3.

（2）▱CABD1可以看作是将线段AC沿AB方向平移到BD1形成的.A→B横坐标增加（x2－x1），纵坐标增加（y2－y1）（增加量为终点坐标减去起点坐标）.

由坐标平移性质：点C→D1横坐标也增加（x2－x1），纵坐标也增加（y2－y1），故D1点的坐标为（x3+x2－x1，y3+y2－y1）.

同理得D2点的坐标（x3+x1－x2，y3+y1－y2）、D3点的坐标（x2+x1－x3，y2+y1－y3）.

三、归纳总结

1.在同一平面内，已知不在同一直线上的3个点（不妨设点A、B、C），另找一个点D使其成为平行四边形，这样的点D有三种可能：∠D分别为∠A、∠B、∠C的对角.

2.在平面直角坐标中，平行四边形对角顶点的横坐标之和相等，对角顶点的纵坐标之和相等，即在平面直角坐标中，若平行四边形ABCD的四个顶点为：A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），则xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

在教学中，教师要关注教材，研究教材中典型的习题，把握教材的编写意图，对教材中的习题要从不同角度进行延伸、拓展和变式，深入挖掘知识体系中所蕴含的数学思想方法，这是解答其他相关问题的有效数学模型.

四、结论应用

由于这类试题多以压轴题形式呈现，所涉及的知识比较多，题目综合性强，有些题目甚至比较难解.现在用上面两个结论解决平面直角坐标系中有关平行四边形的顶点存在问题，往往能化难为易.

（一）已知三个定点的坐标的具体数值，确定第四个动点的坐标

（1）求点A、B的坐标.

（2）在坐标平面上找点C，使得以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形.

①这样的点C有几个？

图3

图4

解：（1）由题意易求得A（-1，1）、B（2，2）.

（2）①存在这样的C点，有3个.

由于B（2，2）、O（0，0）、A（-1，1），设C（x，y），根据上述结论，易得三种情形.

综上所述，坐标平面内存在点C，使得以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，其坐标可为C1（－3，－1）、C2（1，3）、C3（3，1）.

②略.

评析：此题属于已知三个定点，探究平行四边形的第四个顶点的坐标问题.当三个点的坐标确定后，第四个顶点可直接应用上述结论建立关系，再通过计算得出所求坐标.运用此法的优点在于点C与其他顶点只有3种组合方式，不会产生漏解现象，且对学困生而言，能按“模型”索“答案”.由此可见，熟悉模型思想无疑对解决类似问题十分有益.

（二）已知三个定点的坐标中都含有参数，确定第四个动点的坐标

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（____，____），N（____，____）.

（2）如图5，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积.

（3）在抛物线y=x2－2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

图5

图6

评析：此题与例1有所不同，虽已知三个点的坐标，但含有参数，难度增加.故其解题思路为：设点P的坐标为（m，n），运用上述结论，建立方程组，解得m、n的值，代入函数解析式，最后求出点P的坐标.本题综合性强，对学生动手能力、探究能力，以及分类讨论思想的要求较高，很好地体现了新课改的理念.

（三）已知两个定点的坐标的具体数值，探究另两个动点的坐标

例3 （2011年凉山州）如图7，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，－4），其中x1、x2是方程x2－4x－12=0的两个根.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标.

（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

图7

图8

所以当m=2时，S△CMN取得最大值4.

此时，点M的坐标为（2，0）.

图9

图1 0

存在4个这样的点F.

设点F（x，0）、E（m，n）.由于D（4，-4）、A（-2，0），根据上述结论，易得三种情形.

由于点E在抛物线上，把点E的坐标代入函数解析式，化简、整理得x2+8x+12=0，解得x1=-6，x2=-2（与点A重合，舍去），所以点F1（-6，0）.

评析：解题思路为：设点E的坐标为（m，n），运用上述结论，建立方程组，解得m、n的值，代入抛物线的函数解析式，解出x的值，求得点F的坐标，再画出图形检验正确性，不满足题意的点应舍去，从而得到符合题意的答案.

通过以上几例不难看出，在解决有关抛物线与平行四边形的问题中，关键是要灵活运用上述模型结论，形成模型的思想，以解决一个问题来贯通一类问题.解题时还要恰当地运用数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想.因此，教师在平时的教学和复习中，要寻找一些具有“广阔发展前景”的教材例题、习题或数学素材，深入研究，进行恰当的总结、延伸和拓展，探索利用模型解决问题的新方法，启迪学生的数学智慧，培养学生的创新意识，提升学生的数学素养，从而提高中考复习的效率.

1.李玉荣.例谈一道作图题的应用［J］.中国数学教育（初中版），2011（11）：37-39.

2.叶丽仙.巧妙解决平行四边形中顶点的坐标［J］.初中数学教与学，2011（6）：22-23.WG