对一道自主招生题的另证和再推广

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文［1］作者利用贝努利不等式得到命题1：设x1，x2，…，xk为实数，k为正整数，且x1+x2+…+xk=1，

在另证命题1之前先介绍一下凸函数的两个性质：

1.若函数y=f（x）在定义域D上二阶可导，则y=f（x）在D上为下凸函数的充分必要条件是f″（x）≥0.

笔者利用下凸函数的性质另证命题1.

命题1得证.

利用下凸函数的性质可以将命题1推广为：

定理1 设x1，x2，…，xk为实数，k为正整数，且x1+x2+…+xk=1，α=2（tt≥1且t∈R），求证：

事实上，令f（x）=xα，则f″（x）=α（α-1）xα-2=2（t2t-1）x2t-2=2（t2t-1）（x2）t-1≥0.所以，由性质1知，f（x）在R上为下凸函数.于是，由性质2知，

下面笔者再将文［1］的命题2推广为：

事实上，当x1，x2，…，xk全不为零，由［2］的权方和不等式知，

综上，定理2成立.

最后，笔者介绍一个稍微弱一点的定理：

定理3 设x1，x2，…，xk为正实数，a1，a2，…，ak为正实数，且x1+x2+…+xk=1，则

（1）当α＞1或α＜0时，

（2）当0＜α＜1时，

（1）的证明：事实上，由［2］的权方和不等式知，

（2）的证明：事实上，由［2］的权方和不等式知，

当0＜α＜1时，a1x1α+a2x2α+…+akxkα

1.赵思林，李正泉.2009年清华大学自主招生一题的简解与推广［J］.数学通讯（下半月），2010（11）：53.

2.沈文选.走进教育数学［M］.北京：科学出版社，2009：323.