数学教学中无处不在的“反思”

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

反思是指思维主体思考过去或已做过的事情，从中总结经验、吸取教训.它是数学思维活动的核心和动力，也是数学思维的一种重要形式.我们高中数学的一个重要目的是培养学生的思维，提高学生的素质.而现在的高中生反思意识淡薄、反思方法欠缺，因此，在数学教学中，教师应根据教学内容有目的地创设反思情境，提供反思策略，强化学生的反思意识，培养学生的数学学习反思习惯.只有有效地培养学生的学习反思习惯，才能真正做到“授之以渔”.

一、概念教学时应引导学生反思

中学数学中有很多概念具有相似的属性.对这些概念的教学，教师可先引导学生反思已学过的数学概念的属性，然后构建新知识的生成空间，去类比、去体验，让数学知识在反思中形成.

例1等比数列的教学.

首先让学生观察下列两个数列各有什么特点：

以上通过引导学生反思等差数列的概念的本质特点得到等比数列的概念，使学生觉得等比数列的概念是已有等差数列的概念的一种自然发展，使数学知识在反思中形成.

二、例题教学应引导学生反思

数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即所谓“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，解后并没有引导学生进行反思，因而学生的学习也就停留在例题表层，所以我们常有这样的困惑：不仅是讲了，而且是讲了多遍，可是学生的解题能力就是得不到提高！也常听见学生这样埋怨：巩固题做了千万遍，数学成绩却迟迟得不到提高！

1.在解题的方法规律处反思

“例题千万道，解后抛九霄”，难以达到提高解题能力、发展思维的目的.善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的.

通过例题的层层变式，需要学生改变思维策略，重新审题，利用数形结合，确定解决方法.学生对这类求最值问题认识又深了一步，有利于培养学生思维的变通性和灵活性，从而提高分析问题、解决问题的能力.

2.在学生易错处反思

学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”.例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！

例3求过点（2，0）与曲线4x2-9y2=36只有一个公共点的直线方程.

由于直线与圆只有一个交点，则：

Δ=（36k2）2-4×（4-9k2）［-36（1+k2）］=144（4-5k2）=0.

这里可以引导学生反思：①式中x的最高次项的系数含有字母，所以不能确定是不是二次方程，而Δ只适用于二次方程解的个数判断.所以要讨论x的最高次项的系数是否为0，需分两种情况.

正确的解法是分类讨论：

（2）当4-9k2≠0时，解法同上.

进一步引导学生反思小结：在圆锥曲线中，有关直线与圆锥曲线的交点个数，往往借助方程的思想来解决.直线与曲线有一个公共点不等价于直线与曲线相切，反之，直线与曲线有两个或两个以上的交点时，也可以相切.如：y=1与y=sinx有无数多个交点，但直线与曲线相切.实践证明，这样的例题教学是成功的，学生对这样题型的解答的准确率提高很多.

三、探究教学应引导学生反思

数学探究性学习是高中数学新课程中引入的一种新的学习方式，它有助于培养学生探索问题、解决问题的能力.对问题的探究教学，教师可先引导学生反思探究问题的整个思维过程，然后用已学的方法研究新问题，使探索新知的方法在反思中形成.

设问4：在△ABC中，B（-a，0），C（a，0），直线AB，AC的斜率乘积为k（k≠0），则顶点A的轨迹方程如何？

以上通过引导学生反思探究问题的整个思维过程，使探索新知的方法在反思中形成.

四、在数学知识的应用过程中引导学生反思

鼓励学生反思数学知识的形成过程的同时，也要鼓励学生反思数学知识的应用过程，即鼓励学生养成解题后反思的习惯.当前高中数学解题教学中比较流行的做法是“灌输方法，模仿训练”，其实这会导致学生养成套用解题方法的不良习惯，同一种题型的数学问题，稍微变式一下，学生还是做不出来.学生的解题后反思能力的提高，直接影响到数学解题能力的提高.因此，我们教师应重视加强对学生解题后反思的习惯的培养，真正做到“授之以渔”.在解题教学中，我从以下几个方面为学生创设解题后反思的平台.

1.反思联系

例5已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为______.

解题后，我引导学生从以下角度反思：在解题过程中联系到哪些知识？通过回顾，学生发现本题用到了三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、两角和与差的正余弦以及不等式的知识.解题后引导学生反思联系，使学生在记忆的仓库里检索到这些知识.把问题所蕴含的孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”.通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.

2.反思规律

例6求值：sin215°+cos245°+sin15°cos45°=______.

解题后，我引导学生从以下角度反思：解题方法中有没有规律可循？若将待求式改为sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°呢？

解题后引导学生反思规律，使学生学会总结解题方法的规律，从特殊题目的解法引申出一般题目的解法，正是我们培养学生观察思想、归纳总结、严谨态度的目的，也有利于强化知识的运用，提高迁移水平.

3.反思数学思想

图1

此函数的图像如图1所示，所以f（x）的值域是［-3，3］.

要使f（x）＞a恒成立，必须有a＜-3.故实数a的取值范围是（-∞，-3）.

解题后，我先引导学生从以下角度反思：（1）此解法用的是什么数学思想方法？（2）若改变题中的条件或结论，上述方法还适不适用？通过回顾，本题将不等式问题转化为求函数的值域问题，先构造函数，然后作出符合已知条件的函数图形，再考虑参数的范围，学生发现本题采用的是数形结合的思想方法.高中重要的数学思想方法很多，除了数形结合，还有分析、综合、归纳、演绎、化归、类比、抽象概括等.解题后引导学生反思所体现的数学思想方法，潜移默化，学生自然对这些思想方法能够体会更深，提高学生的数学思维.

4.反思多解

5.反思变式

就例7的教学，学生感到意犹未尽，于是我再加以引申，引导学生从以下角度反思：题中的条件或结论可以怎样变式？这时候学生的积极性被充分调动起来，纷纷想出以下变式：

解题后引导学生反思变式，不仅加深学生对某类问题结构和特征的理解，而且有利于培养学生思维的广阔性，使学生做一道题，会一套题，提高解题能力，达到命题专家提出的“用学过的知识与方法，解决没有见过的题目”的高度.

6.反思错误

例8设m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为______.

一位学生板演的答案如下：

坚持“解题后反思”的教学，不仅能对知识、技能深化理解，而且能训练思维、促进知识与能力的相互转化，提高学习效率.

总之，学习反思是一种很好的学习习惯，它能使学生深化对知识的形成过程的理解，提高解题的能力.学生从中获得的不仅仅是数学知识，而且还有深层次的情感体验、态度生成乃至整个生命力量的展现与成长.因此，教师要将学习反思的习惯的训练有机地渗透在数学教学的各个环节，使学生形成自觉反思的习惯.