一类小中最大（大中最小）问题求解策略及命制规律

☉江苏省淮安市清河中学 石礼标 汪俊红

求几个函数或代数式最大值的最小值（或最小值的最大值）问题，在高考试题、各地模拟题以及竞赛题中经常出现，属于难度较大的题目.其实这类问题的解决并不复杂，如果掌握这类问题解决方法，不仅可以迅速将这类问题解决，并且可根据其规律命制许多新的题目.为了行文方便，本文用max{a，b}表示a，b中的最大值，min{a，b}表示a，b中的最小值.

题型一：仅含一个变量，可分类讨论或构造函数根据图像解决

例1设f（x）=max{x2－2，x}，则f（x）的最小值为_____.

解法1：当x2－2≥x，即x≥2或x≤－1时，f（x）=x2－2≥－1；

当x2－2＜x，即－1＜x＜2时，f（x）=x∈（－1，2）.

所以f（x）的最小值为－1.

解法2：设g（x）=x2－2，h（x）=x，在同一平面直角坐标系中作出它们的图像（如图1），已知两函数图像交于P（－1，－1），Q（（2，2）.而f（x）的图像为图中实线部分，所以f（x）的最小值为－1.

评注：上面用了两种不同的方法加以解决.解法1突出分类讨论，通过比较两者的大小，在一定条件下确定大者后再求其值域或最小值；解法2突出数形结合，以形助数，选取图像位置相对高的部分，再确定最小值.这是解决这类问题常用的两种方法.

图1

图2

例2（2009年海南卷）设f（x）=min{2x，x+2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为______.

解：设g（x）=2x，h（x）=x+2，q（x）=10－x（x＞0），在同一坐标系中作出它们的图像（如图2），可知f（x）的图像为图中实线部分.而h（x）=x+2与q（x）=10－x的图像交点为（4，6），所以（fx）的最大值为6.

评注：由于涉及三个函数，如果分类讨论就比较烦琐，而作出相应的函数图像后，根据函数图像高低位置可迅速确定图像，当然也就知道所求最大值是哪两个图像的交点的纵坐标.因此对于多个函数式用数形结合更简捷.

有如下4种情况：

评注：虽然本题所提供的函数图像均容易画出，但涉及最小值之间的倍数关系，由图像难以观察出数量之间的关系，因此采用分类讨论法较为适宜.

例4 如图3，已知△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连接BD，设△DCE、△ABD、△BDE中最大面积为y，则y的最小值为______.

图3

由1-x-（x-x2）=1-2x+x2=（1-x）2＞0，得y=max{x2，1-x}.

总结：对于一元多个代数式求大中最小或小中最大，用分类讨论或数形结合加以解决是常用方法.但在具体的求解过程中，要根据条件灵活选择.若仅有两个代数式两法皆可，但要是三个或更多，显然用数形结合较好，可避免讨论的复杂性.当然在解决多个函数最值问题时，要适当观察是否有大小已定的，若有，迅速将问题简单化处理.

题型二：含有多个变量，通过和积等运算，根据基本不等式构造常数

所以M的最大值为1.

例6 设a=lnz+ln［x（yz）-1+1］，b=lny+ln［（xyz）-1+1］，记M=max{a，b}，则M的最小值为______.

而M≥a，M≥b，则2M≥a+b≥ln 4.

所以M的最小值为ln 2，此时x=1，yz=1.

评注：本题其实与例5类似.但a、b的关系不明显，需要适当变形后，方能得到a+b可用基本不等式转化为常数.

此时M的最小值为2，当且仅当a=b=c=1时取等号；

此时M的最小值为2，当且仅当a=1，bc=1时取等号.

故M的最小值为2.

总结：对于含有多个变量，几个代数式求大中最小或小中最大，常通过几个代数式和或积等运算，转化为根据基本不等式构造出常数，进而求出所需要的最值.由于涉及基本不等式，因此对等号成立的条件必须要注明.例7放缩后用分类讨论求解，但显然没有用基本不等式求解简单.

命制一些原创题：

既然掌握了这类问题的一般解法，也自然知道这类题型的命制规律，当然也就可以命制一些题目了.

若仅含一元的多代数式，可命制下面一些容易题.如下面两题：

原创题1：M=max{x2-x，1-x2}的最小值为______（. 答案：0）

如果两个函数图像的交点不好求解，可通过第三量进行调控.如原创题3：

原创题3：（fx）=max{2-x，2x}，则不等式（fx）＞4的解集为______（. 答案：（-∞，-2）∪（2，+∞））

当然，想增加难度，可命制三个代数式的最值问题.如原创题4与原创题5：

如果与相关图形结合，需要表示出相关量.再求其最值，就变为难题了.如原创题6：

原创题6：如图4，边长为1的正方形ABCD中，∠QAP=45°（其中点P、Q分别在边BC、CD上）.设BP=t，M=max{AP，PQ，AQ}，AP、PQ、AQ表示对应线段的长.则M的最小值为______.

图4

若含多元的多代数式，可命制下面一些容易题.如下面原创题7～9：

当然，想增加难度，可命制三个代数式的最值问题，或者所给代数式的关系不明显.如原创题10、11：

若题目中给出多个代数式，但隐含了其中两个代数式的大小，需要观察并证明，达到适当减少代数式的个数，就比较难了.如原创题12：