上好二轮复习课的几个着眼点——从一节数列复习课谈起

☉浙江省绍兴市第一中学 徐 萍

最近，笔者参与了学校组织的某省某重点中学高三数学二轮复习听课活动.听课之后感想很多，根据该省数列高考的重点与难点，笔者仅从一节数列通项的求法的复习课谈起.

一、教学片段

学生思考几分钟后，教师请学生代表回答此题.

生1：我想用递推来求解，但未观察出规律.

师：这是什么类型？用什么方法？

生（众）：an=pan－1+q，用待定系数法an－λ=p（an－1－λ）转化为等比数列.

师：我们回忆一下求递推数列的通项还有什么类型，用什么方法求解.

师：（1）an－an－1=（fn），用累加法；

（3）an=pan－1+qn，两边同时除以qn转化为an=pan－1+q；

（4）用an与Sn的关系.

……

二、听课感想

高三二轮复习是在第一轮复习的基础之上，进行知识整合、方法归类、技能提高、思想提升的关键阶段.本节课讲解的是高考的重点与热点内容——数列通项的求法，教学目标明确.学生先练后讲，学生讲思路、讲困惑；教师启发引导，调动学生思考.但教学目标达成与否，效果如何，值得商讨.本节课教师虽然归纳了常见数列通项的求法，但学生是否掌握，掌握得如何，还有待检验.二轮复习课如何才能上得有效、高效是摆在高三数学教师面前的重大课题，值得反复研究，共同探讨.笔者认为要想上好高效的二轮复习课（以本节课为例），可从如下方面着手.

三、上好二轮复习课的几个着眼点

1.着眼于回归基础，构建知识网络

本节课所选例题，综合性较强，难度较大.用到了化归的思想，需要较强的观察问题、分析问题的能力.上课一开始就让学生探究，可能会误伤一部分同学的积极性.为此可设计一串基础题，让学生练习，然后引导学生回顾、提炼、总结归纳求数列通项的方法，形成知识网络.

设计题组为：

（1）数列{an}满足a1=2，an+1=3an，求数列{an}的通项公式.

（3）数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式.

（5）数列{an}满足a1=2，a2=5，an+1=2an+3an-1，求数列{an}的通项公式.

设计意图：通过一组基础题训练，检验学生对基础知识的掌握情况，让学生提炼求数列通项的方法，构建知识网络.同时也为例题的讲解作好铺垫.

由于学生的学习具有遗忘性和缺陷性，二轮复习要注重基础知识的落实，要抓好数学知识的梳理，知识网络的构建，解题思想方法的归类.但是要引导学生自已构建，而不是教师代替学生归纳总结.

2.着眼于展示学生的思维，点拨评价

在课堂教学中要突出学生的主体地位是新课改倡导的理念.实践表明：采用“先练后讲，先思后讲，合作探究”的教学方法，可最大限度地减少教师的讲解时间，增加学生的动脑、动手、动口活动时间，提高教学效率.当发现学生思维有障碍时，要及时点拨，要善于发现学生思维的闪光点，并及时评价，鼓励，增强学生的自信心.因为在第二轮复习过程中，易出现“学习中的高原现象”，为此需要不断鼓励.

相信经过思考，就会有学生找到规律.这样通过老师的点拨，学生不仅学生会了如何观察，同时也能领会特殊到一般的思想.

教师可及时评价：生3同学的回答非常不错，他有多种解决问题的思路，并进行尝试.我们知道数学归纳法是求数列通项的重要方法，它的关键是先归纳猜想出通项，再用数学归纳法证明.要想归纳猜想正确必须做什么？能不能多算几个再归纳猜想呢？同学们可继续算一算a4，a5，再归纳猜想好吗？只要给学生时间，相信学生会解出此题的.

3.着眼于以错纠错，查漏补缺

二轮复习除抓基础知识的熟练掌握、知识网络的构建外，还要针对学生的疑难问题进行补救.学生在解题时，会出现错误，找不到解题思路和方法是很正常的.老师应帮助学生分析找不到思路或解题错误的原因，并加以训练，以达到“举一反三，触类旁通”的目的.

在讲解本例题时，教师会预想到学生碰到的困难.本题学生会遇到的困难为：

（1）分式结构不会变形或不会深入地变形；

（2）不会转换为an=pan-1+q的形式；

（4）利用数学归纳法解题时不会归纳猜想.其中重点和难点是：变形转换为常见数列，为此可设计如下习题进行变式训练：

变式1：在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2（nn∈N*），其中λ＞0.求数列{an}的通项公式.

设计意图：本题的解法具有多样性，如数学归纳法和递推的方法.用递推法时要引导学生分析思路：为什么要等式的两边同时除以λn+1，同时引导学生观察分析为什么可转化为等差数列，具体解法如下：

解法1：a2=2λ+λ2+（2-λ）2=λ2+22，

a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）22=2λ3+23，

a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）23=3λ4+24.

由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.（用数学归纳法证明略）

解法2：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2（nn∈N*），λ＞0，

设计意图：遇到an与Sn的问题，学生大多想到消去Sn，但此题用此法行不通.为此要消去an，利用本题可纠正学生的思维定势，引导学生合理分析.当消去an时，还需要学生观察分析等式的特点，进行合理的变形.解题简要过程如下：当n≥2时，an+2=Sn-Sn-1+2=2，则Sn-2+2=Sn-1，（）2（以下过程略）.

查漏补缺不仅要补大漏洞（如本题中的观察能力和转化能力），而且也不能放过小漏洞（如本题中将b分为b=2或b≠2进行分类讨论）.二轮复习要注重细节，不轻易放过任何一个问题.只有将学生的缺漏补好，学生才会进步，才有提高.

4.着眼于变式探究，养成反思习惯，提升能力

讲完例题后，教师要引导学生养成反思的习惯.反思可以使知识形成网络，可以使方法得以内化，可以使缺陷得以补救，可以找到努力的方向和前进的动力，能力才能得以提升.

讲解完此题后，可以让学生思考：此题还有别的解法吗？可引导学生探究.

解法3：构造等比数列法.

解法4：迭代法.

设计意图：引导学生探究方法的多样性，可开拓学生视野，拓展思维，培养求异思维，构建知识与方法体系，提升解题能力.

探究完方法的多样性后，可构建新的情境，让学生学会将此方法进行迁移.如可作如下探索（可作为课堂练习或课后作业）：

求数列{an}的通项公式.

设计意图：巩固观察变形能力，提升转化意识.简解如下.

（1）求a1，a2，a3及an；

设计意图：转换新的情境，让学生学会思考、学会方法的选择，提升学生运用所学知识解决问题的能力.具体解法略.

总之，高三数学二轮复习的目的是：对高中数学知识系统梳理、形成知识网络；对一轮复习中存在的问题进行一定的补偿矫正；对主干知识进行重点突破；提升综合应用能力、应试水平.复习策略是：以学生为主体，让学生在课堂上尽情展示，成为课堂的主角.教师着重对学生进行有效的学法指导：教给学生反思学习的方法，形成反思习惯；教给学生自已查漏补缺、梳理知识、形成知识网络的方法；指导学生学会审题，利用好自己的“错误”；重视解题规范的培养，摆脱“会而不对，对而不全”的现象.