草中寻针 小题大做—— 一道高中数学联赛题的别样解答

☉福建省三明第一中学 杨晓兰

波利亚曾说：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好象一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”在浩瀚无垠的数学题海里，2011年全国高中数学联赛一试（A卷）填空题第2题就是一道呈现形式简洁而优美，问题常规却内在深厚，解答探寻引人入胜的经典题目.通过对这道联赛题的别样解答探究，在这一个小小题目的小世界里，我们会发现另外一番大世界，会发现数学的美妙千变万化！

一、一种“够用”的解答（参考答案）

“法不在多，做对就行”、“解决一道题一种方法足亦”！考场应试这便是得分准则，“够用”！若满足于“够用”=“得分”，对本题目的解答已够“圆满”，大可“鸣金收兵”不再多作思考.然而，若平时学习就浅尝辄止，不求“甚（多）解”，不注重知识方法的融会贯通，不注重解题思维的训练、思想方法的提炼升华，提高能力，考场上又怎能灵活运用各种知识与方法对问题顺利求解，何谈够用？爱因斯坦曾说过，解决一个问题好比是在草堆中寻针，别人往往寻找到一根针时即停止不再费力去做了，但我自己却会遍寻干草堆中的所有藏针，不达目的决不罢手.在数学问题解答探寻活动中，就要有爱因斯坦在草堆中找针那样的探索精神，寻找出藏着的所有的“针”.

二、别解探寻，纵横渗透，精彩连连

探寻1：函数的视角

函数值域问题，首先思考并充分利用有关函数知识求解应当是最自然的举动.

1.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域.

注意到t=0（x=1）时，y=0.

2.均值不等式求最值

3.求导数、取极限法

导数、极限是研究函数问题最基本、最重要、最有力的工具，用此法求解本题简洁、深刻.

（1）令h′（x）≥0，解得x∈［-1，+∞），函数h（x）单增，则ymin=h（-1）=-，且，所以-≤h（x）＜1；

4.判别式法

函数与方程内在联系密切，常常互为依存，相互转化.若一个分式函数或无理函数可化为关于某变量的二次方程，可用判别式法求函数的值域.

将函数y=h（x） 转化得方程：（y2-1）x2+2x+（y2-1）=0（x∈R），因为x∈R，所以方程有实数解.分别就y2-1=0与y2-1≠0两种情况进行讨论，可得-≤y＜1，即-≤h（x）＜1.

说明：这里运用方程的思想求解，由于平方变形不是等价转化，造成了h（x）的范围扩大，应注意取舍.

5.构造等差数列求解

配方、求导、判别式、等差数列、均值不等式等不同思想方法，精彩纷呈，别有韵味.各种方法均以函数主线，贯穿统一于函数，浑然一体，无不体现出数学的统一与和谐！

探寻2：三角的视角

1.三角换元法1

2.三角换元法2

“美，本质上终究是简单性”（爱因斯坦）.两种三角换元求解，简洁之极，优美之至，展现了数学三角换元的神奇魅力！

探寻3：向量的视角

向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是沟通数学各主要分支的桥梁和纽带，为许多数学问题的解决开辟了新途径.由已知函数式结构与向量数量积的相似性，联想到向量的数量积，运用向量求解.

图1

所以h（x）=cos θ，所以-≤cos θ＜1，

类比联想，构造向量求解，简捷明快，事半功倍，不同风格，一样精彩！

探寻4：几何的视角

函数（数）与几何（形）天然不可分割.根据题目式子的外形、数值特征，发现本题几何“背景”丰富.挖掘出它的几何“背景”，合理构造出几何模型，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，利用数形结合求解本题.

图2

1.构造直角三角形

（2）x=0时，h（x）=-1.

2.构造点到直线的距离

图3

3.构造圆求解

图4

（1）当直线l0平移经过点A（1，0）时，ymax=1+0=1，易知h（x）＜ymax=1.

图5

4.构造双曲线求解

“形缺数难入微，数缺形不直观”“.数”“形”转换，以形辅数，代数问题几何化，抽象化具体，形象直观又明了.虽然技巧高难度大，富于创新，极具挑战，但品尝“跳起来摘下的果实”，别有风味.数学的灵魂在于创新，数学的精彩也在于创新！

三、联想探索，拓广延伸，耳目一新

四、感悟别解，培养技能，提升素养

由于该题特有的结构特征和多方位的入手视角，为我们提供了丰富的思维空间和展示平台.通过对该题的深入探究，“小题大做”，丰富多彩的解题方法既有效地强化了基础知识和基本技能，又有机渗透了各种数学思想，深化了我们对求函数最值（或值域）的思路、方法的真正领会和理解，使我们的思维在灵活性、广阔性、深刻性、创新性等方面得到了很好的锻炼，提高了我们的分析问题和解决问题的能力.正是“通过一道题，就好象一道门，把我们引入了一个完整的理论领域”，由一个小题目见识了一个大世界，提升了数学技能和素养.

一题多解探究的过程就是深入理解数学的过程，是沟通已有知识经验更深刻联系的过程，能让知识结构有效重组与整合，构建有序的网络化知识体系；一题多解探究的过程也是深化数学理性认识，自觉建构认知结构并积极优化的过程，是解题智慧得到开发、创新思维和创造能力得到培养和提高的过程，能发展思维，提高解题能力，提升数学素养.平时在数学学习和解题活动中应从典型的基础问题入手，从不同方位、不同角度探索和思考问题，综合运用各部分知识开拓思路，进行多解探究训练，并在解题过程中不断总结经验、积累解题的思维方法，达到触类旁通，举一反三.只有牢固树立起在知识与方法的立体网络中思考并解决问题的观念，养成“寻针”的探究习惯，摒弃“一题一法”大量操练的“题海战术”，把数学学活，让头脑变活，我们在解题时才会思绪飞转，各种方法和技巧才会迅速闪现在脑海中：常规的解法、简捷的解法、创造性的优美解法便会一个又一个接踵而至，并在多解中不断求简和优化.只有做到对多种方法的活用巧用、择优而用，那才是真正意义的“够用”，对问题的处理才会游刃有余.

1.岳建良，邱山.发散提升理解 回归促进掌握［J］.中学数学教学参考（上旬），2012（5）.

2.蒋明建.《数学通报》第1454号问题探究的三重境界［J］.中学数学（高中版），2013（1）.