现代高中数学教师教学的趋势——掌握提出问题的能力

☉广东省惠州市惠东高级中学 刘德伟

教育贵在创新，创新始于问题.本文就什么是问题，怎样提出问题，如何在提出问题的过程中提高提出问题的能力，作了较详细的论述，还提出了数学教师要提高其提出问题的能力，不仅要掌握一些提出问题的方法，而且还要不断地提高其知识层面，拓宽其知识领域，紧密结合生活实际，掌握和运用数学思想方法以及懂得如何去判断问题的价值.

美国著名数学家哈尔莫斯（P.R.Hatrmos）有句名言：“问题是数学的心脏”.数学的发展历史表明：重要的“问题”历来是推动数学科学进步的杠杆.因此数学“问题”的提出就成了数学发展的源头，提出一个问题比解决一个问题更重要.新颁布的《数学课程标准》把“初步学会从数学角度提出问题，解决问题，并能综合应用所学知识解决问题，发展应用意识”列为具体的目标.培养学生提出问题的能力成为教育的目标，让一个不具有提出问题能力的教师去培养学生提出问题的能力是很难想象的.基于以上两点，提出问题的能力也将成为考查教师教学能力的一个重要方面.

一、对“问题”的理解

美籍匈牙利著名数学家波利亚（G.Polya）在《怎样解题》一书中曾给出问题明确的含义：所谓“问题”就是意味着有意识地寻求某一适当的行动，以达到一个可见而不可及的目标.一般情况下，我们可以对“问题”从如下几个方面认识和理解.

1.问题是一种情境状态

问题情境就是一种具有一定的困难，需要努力去克服（寻找到完成任务的途径、方式），而又在能力范围内（努力之后可克服）的学习情境.

2.问题是因人而异的

一方面，某个情境对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是练习或习题；另一方面，随着知识的增长、能力的提高，先前是陌生的问题，过段时间可能变成常规的问题，或者说已经不构成问题了.

3.问题提出中的“问题”与“习题”或“练习”是有一定区别的

真正的问题则适合于培养人们发现和探索的技巧，适合于进行如何学会以及思考数学原始素材的发现，旨在让学生得出规则、规律和发展智力活动的方式，能引起学生的创造性认识活动.

提出问题的原始素材几乎可以来自任何领域，我们将数学问题的来源归结为两方面：一方面是由数学本身繁衍而得；另一方面是来源于现实生活或其他学科.

二、掌握和运用提出问题的方法，提高提出问题的能力

如同没有“咿咿呀呀”的学语活动，小孩就没有说话能力一样，提出问题的能力也是在提出问题的过程中得到锻炼和提高的，这就需要掌握一定的技巧和方法，然后去实践去锻炼.以下就如何从掌握和运用几种常见的提出问题的方法来提高提出问题的能力进行论述.

1.通过归纳提出问题

归纳是从特殊的、具体的认识推进到一般的、抽象的认识的一种思维方式，它是提出问题有效的思维方式.虽然由归纳推理所得的结论未必可靠，但它对提出问题十分有用的.观察，实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，是提高提出问题能力的有效途径.数学中的许多定理、猜想都是由归纳总结出来的，诸如著名的四色定理、欧拉公式、哥德巴赫猜想等.如在学习“二项式系数的性质”时，教师可提供“杨辉三角”，让学生去归纳、总结、发现、提出数学猜想，进而探索其中的奥秘.

2.通过类比提出问题

类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式.例如，根据椭圆的几何性质，我们可大胆合理猜想双曲线的几何性质及其研究思路方法；根据平面向量的性质和算法，可完全类推出空间向量的性质和算法.波利亚的数学名著《数学与猜想》就是这方面的经典之作.

3.为体现或重现某一数学研究方法而提出问题

由于问题有相对性，所以可以把数学家的某些试验作为问题提出，让学生亲身体验数学家的某些研究.例如，在概率教学中可以提出这样的问题：我们知道关于频率的稳定性研究，有掷硬币、投针试验，请你根据书中的例子设计验证频率稳定性的实验.

有方法不等于有能力，但通过方法的合理运用，可以推动能力的进一步发展，所以我们介绍方法的目的并不是为了去记忆方法本身，而是通过对方法的掌握和运用的过程去提高能力.

三、拓宽知识领域，紧密联系生活实际，提高提出问题的能力

“科学社会化，社会科学化”对人类的发展提出了全面的知识结构的要求，教师职业的“师范性”、“学术性”的双专业特征，更要求教师具有先进的教育专业知识、广博的社会科学知识及相关的新兴学科知识，不仅要牢固掌握过去学到的基础知识，基本技能，而且必须不断进行知识更新，使自己的“一桶水”成为新鲜的“水”，掌握现代科学知识，在知识的广度和综合度上有更深的造诣，只有这样，才能在这些领域中去发现问题，提出与现实生活贴近的问题，有时代特征的问题，进而在这些提出问题的过程中锻炼、提高自己提出问题的能力.

1.提出数学应用问题的途径

（1）从身边的现象中提炼出数学应用问题.

比如我们在吃罐头的时候可考虑这样一个问题：自己设计一个容积一定的罐头筒，怎样设计比较合理？在讲高中数学选修2—3第一章计数原理第二节排列组合时，教研组上课前首先针对大情境设计做了积极的讨论，最后决定采用“足球比赛”这个贯穿排列、组合整个单元的大情境.世界杯足球赛共有32支球队参加决赛阶段的比赛，比赛规则如下：分8组每组4支队，先进行小组赛，每小组前2名晋级16强，再按淘汰赛决出8强、4强、第三、四名及冠、亚军.

教学设计：结合本情境，经过反复讨论做了如下设计.单元教学内容：分类计数原理与分步计数原理，排列组合概念，排列数，组合数公式，排列组合的综合应用；教学重难点：排列组合的综合应用；教学时间：6课时.

第一课时：让学生阅读情境进行讨论熟悉情境，然后共同讨论解决下面两个问题.

问题1：夺冠问题——这次世界杯的冠军会有多少种不同的可能.

问题2：出线问题——某国所在的A组，分别以第一名、第二名身份出线的2队，有多少种不同的可能.

从上面问题中引出分类计数原理与分步计数原理，并对这两个原理加以比较区分.

第二课时：提出并解决问题.

问题3：32支球队中最终夺取冠、亚军有多少种可能.

问题4：32支球队中最终进入冠、亚军决赛有多少种可能.

从以上两个问题中引出排列和组合的概念，并能区分二者的联系和区别.

第三、四课时：提出并解决问题.

问题5：这次世界杯前四名的排位有多少种可能（这个问题可以用来解决求排列数公式的问题）.

问题6：某国共有5名运动员可以踢前锋的位置，一场比赛需要2名前锋，可以有多少种出场方式（这个问题可以用来解决求组合数公式的问题）.

以这两个问题的解决为基础，对排列数和组合数的计算公式进行推导和运用.

第五、六课时：以此大单元情境为题材提出并解决问题.

问题7：如果赢一场比赛得3分，平一场得1分，输一场得0分，那么某国球队所在的A组，会有多少种得分情况.

问题8：如果某国球队在每个位置上都有2名运动员可以替换上场，有多少种出场方式.

问题9：若甲队员不能踢左前锋，乙队员不能踢右后卫，那么22名队员可以有多少种出场方式.

这些问题都可以作为排列组合应用题.所以，本课例所创设的“足球比赛”的数学情境，来源于现实生活，并不仅仅是一节课的情境，而是可以作为整个“排列组合”这一单元的大情境.

（2）从报刊和其他媒体获取生产生活中的信息，提炼出问题.

（3）对具有数学原型的纯数学问题加以改编.

（4）从其他学科中寻找与数学知识相关的问题.

（5）借鉴和改编国内外资料中的数学应用问题.

社会实践和丰富的生活是产生问题的无限源泉，要提出问题，就需要教师有丰富的综合知识和娴熟的专业知识，要有主动寻找问题的意识，通过提出问题锻炼自己提出问题的能力.

2.提出数学应用问题的原则

数学教师提出的问题大都带有一定的“专业性”，即为教学服务，这就要求从生活中提出问题时应注意以下原则：

（1）符合客观现实.

应用性问题中的社会信息，应符合客观实际，数据尽可能真实，这里所说的尽可能真实是说不拘泥于原始数据.数学中应用问题反映的是现实特征的问题情境，同时它也包含着一定的数学概念、方法和结果，重视情景应用，即给出的问题往往不是纯数学化的“已知”、“求证”模式，而是给出一种情景、一种实际需要，以克服一种现实困难为标志.勉强做“应用题”会导致适得其反的结果，即并不能调动学生学习数学的积极性，反而使学生感到学数学毫无意义，让学生对数学的应用价值产生消极影响.

（2）考虑接受程度.

提出数学应用问题时，应考虑到学生的可接受程度，避免专门的术语，复杂的材料和不熟悉的情景；要考虑学生所在地域的不同和年龄的差异；应充分贴近学生的生活实际，对经济发达的国际化大都市，可多涉及经济、金融方面的知识和国外信息，而对边远的农村，根据农村的特点来提出问题可能更容易为学生所接受.

（3）体现数学思想、方法.

提出问题时，应考虑解决问题所涉及到的数学思想和方法，这是评价数学应用问题的一个重要标准.教学中，若对课本上一些典型的例、习题进行适当的变式处理，如对原题的条件、结论、方法做些改变，或进行反例分析、逆向思维等，即可以在变化过程中，使学生在知识及方法的纵横方向得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维.

（4）激发学生的解题欲望.

平时多了解学生的思想、生活，走入他们的生活圈，就他们所感兴趣的事情提出问题，这种问题会让他们感到亲切.当然问题只靠亲切是不能吸引学生的，提出的问题还要有挑战性，通过问题的解决学生可以感受到对自我能力的肯定，感到解决问题的快乐，从解题中体会到学习数学的乐趣.

在此原则下尝试提出一些好的、适合课堂教学的问题，通过这样的锻炼，有助于提高提出教学问题的能力.

个人的时间和精力毕竟是有限的，靠一个人的力量去提出大量好问题是不太现实的，关键是我们要有提出问题的意识、懂得提出问题的方法以及鉴别一个问题价值的能力，通过提出问题和鉴别问题的过程去锻炼、提高自己提出问题的能力，进而去培养学生提出问题的能力.对于教学中需要的大量问题，教师要有合作精神，将自己的“好”问题贡献出来，形成资源共享，试想我们每个数学老师每年提出一个好问题，那么每个老师每年就有上百万个“好”问题可供选用，这是一个多么惊人的数字！

1.G.波利亚.数学的发现［M］.北京：科学教育出版社，1982：164.

2.张奠宙，李士琦，主编.数学中的问题探究［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.

3.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，1997.

4.郑毓信，等.数学思维与数学方法论［M］.成都：四川教育出版社，2001.

5.数学史译文集［M］.上海科学技术出版社，1981：60.

6.倪明.关于应用问题编制的原则［J］.数学教育学报，1998（7）.

7.张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.

8.陈永明.现代教师论［M］.上海：上海教育出版社，1999.