铁心变压器研究性实验设计

沈一骑

（南京大学电子科学与工程学院，江苏南京 210093）

铁心变压器研究性实验设计

沈一骑

（南京大学电子科学与工程学院，江苏南京 210093）

铁心变压器由于铁心的作用致使等效电路和功率关系比较复杂。经过多年研究，提出将铁心能量损耗和储放等效到原、副边绕组，将铁心变压器等效为空心变压器，并设计等效电路进行验证；提出单独测量变压器各项复功率的方法并对所测功率进行修正，以检验功率关系。实验表明，铁心变压器的等效处理和复功率的测量是成功的。据此设计了铁心变压器研究性自主性实验，并介绍了这一创新实验的设计思想。

空心变压器；铁心变压器；研究性自主性实验

铁心变压器是工频交流电路中的常用器件，由于含有铁心，等效电路和功率关系比较复杂。电路分析教材［1］对空心变压器有比较详细的论述，对铁心线圈只作了简单介绍；电工学教材［2］详细论述了铁心变压器原理，但对功率关系介绍不够。虽有大量文献从工程角度对铁心变压器进行计算和设计，但一般不涉及等效电路和功率关系等基础理论问题［3－8］。要研究铁心变压器的等效电路和功率关系，必须解决2个难点；一是对铁心的处理，因为铁心涉及非线性和附加能量的损耗和储放；二是需要单独测量各项功率，因为变压器的功率是融合在一起的不易分开。我们经过多年研究，提出了问题的解决方法，并经实验验证是比较理想的。这一工作除了有一定的应用价值外，还可设计成研究性自主性实验，一方面对普通变压器实验有所补充，另一方面还可培养学生的科研能力和实验技巧。我们在电路分析研究性实验设置的研究中，已完成了多个研究性自主性实验的设计［9－12］，本文将介绍铁心变压器研究性自主性实验的理论计算和实验思想。

1 空心变压器等效电路和复功率的理论计算

空心变压器等效电路的理论计算可参见文献［1］。图1为空心变压器的电路模型。

图1 空心变压器电路模型

设Z11、Z220为原、副边绕组阻抗，ZM、ZL为互感抗和负载阻抗，并设副边阻抗Z22＝Z220＋ZL，则原、副边回路方程为：

图2 空心变压器等效电路

故不管ψ1和ψ2为何值，都有P12＝－P21和Q12＝Q21，即原、副边互感项的有功功率一为吸收一为发出、无功功率为同时吸收或发出，而且两者大小均相等。

由式（6）可知P22＝－P21，即副边互感项发出有功功率供副边阻抗Z22吸收，故原边互感项必吸收有功功率，因而由P11＋P12＝P知，电源发出的有功功率只供给原边绕组阻抗和原边互感项吸收。原边互感项所吸收的有功功率并不与原边绕组阻抗一样通过发热损耗，而是通过互感传输给副边互感项，故副边互感项所发出的有功功率实际上是由电源发出的。对于无功功率，由于Q22＝－Q21，及Z11、Z22均为感性，若假设Q22＞0，即在半周期内副边阻抗吸收（另半周则为发出）无功功率由副边互感项提供，副边及原边互感项均发出无功功率（Q21＝Q12＜0；原、副边的引入阻抗为容性），因而由Q11＋Q12＝Q且Q11＞0、Q12＜0，电源无功功率Q＜Q11，即电源和原边互感项共同提供无功功率给原边阻抗。由于电源和原、副边互感项同时发出无功功率，与有功功率不同，副边互感项所发出的无功功率不是由电源发出并由原边互感项通过互感传输的，而是来自容性的副边引入阻抗，就像“功率因素提高实验”［12］在改变电容使电路功率因素为1时发生谐振，无功功率只在电容、电感之间转换一样。当然副边互感项的无功功率间接与电源、互感有关，不然就不会有副边的引入阻抗［1］。

2 铁心变压器等效为空心变压器

由于铁心为磁性材料，空心变压器加入铁心后问题变得极为复杂，主要表现在铁心中主磁通与施感电流不成正比，造成原、副绕组电感和互感都变为非线性；除原、副绕组外铁心中也有能量损耗和储放（即有功功率和无功功率）；施感电流为非正弦周期电流以及有磁路外漏磁通产生的漏磁电感等，故铁心变压器已难以采用空心变压器而是采用交流铁心线圈电路的分析方法［2］进行计算。该法在进行若干近似后得出了电压变换和电流变换的近似公式，并在已知铁心中能量损耗ΔPFe（铁损）和能量储放QFe后将铁心等效为RL电路，其阻抗为Z铁心＝ΔPFe/I2＋j QFe/I2，I为绕组电流。此法实用性很大，但由于作了较多的近似以及ΔPFe、QFe等较难测量，实际上难以像空心变压器一样给出铁心变压器原、副边等效电路、绕组和铁心的有功功率和无功功率等比较精确的表达式。铁心变压器能否采用空心变压器的方法进行分析，关键问题是如何处理铁心。既然铁心可等效为RL电路，或许可把铁心的作用全部等效到原、副边绕组和互感中，将铁心变压器等效为空心变压器。如原边绕组阻抗Z11应包含原边绕组电阻R1和电感L1以及铁心的作用，显然Z11≠R1＋jωL1。在得到原、副边绕组和互感的等效阻抗后采用空心变压器的方法进行计算，不用再考虑铁心。这种等效方法是否可行，需要进行实验验证。由于铁心的等效机制不明，不能进行理论计算，故原、副边绕组和互感的等效阻抗均需实测（为简便计，以下铁心变压器各等效阻抗的名称和符号均与空心变压器相同）。

3 铁心变压器等效电路的实验设计与验证

在铁心变压器等效为空心变压器后，仍可采用图1、图2表示铁心变压器的电路模型和等效电路。由于Z11、Z220和ZM均为非线性，其阻值与工作状态有关。根据铁心变压器“铁心中主磁通的最大值在变压器空载或有载时近于恒定”的磁动势平衡原理，因此在测量Z11、Z220和ZM时若能保证主磁通与有载工作时相同，即能保证Z11、Z220和ZM与铁心变压器的实际值一致。图3为Z11、Z220和ZM的测量电路。为了使测量Z11（Z220）时，原（副）边绕组中不含互感电压，副（原）边必须开路，故Z11、Z220和ZM的测量值实际上是空载阻抗。图3a、3c由电源电压激励且副边开路，根据交流铁心线圈电路理论有U1≈4.44fN1Φm，即主磁通最大值Φm取决于U1，再根据磁动势平衡原理，Φm也即铁心变压器空载或有载时的主磁通。图3b由副边开路电压激励且原边开路，U20≈4.44 fN2，为由U20产生的主磁通。由铁心变压器电压变换公式U1/U20≈N1/N2可得＝Φm，故Z11、Z220和ZM在测量时的主磁通确实与有载时相同（其中f为电源频率、N1、N2为原、副边绕组的匝数和为原、副边的开路电流。）

图3 铁心变压器等效阻抗测量

原、副边绕组阻抗Z11、Z220中的电阻分量分别为R11＝943Ω和R220＝40.9Ω，而原、副边绕组的导线电阻仅为R1＝80.2Ω和R2＝4.5Ω，比R11、R220约小10倍，说明铁心能量损耗确实以电阻形式等效到了原、副边绕组之中。

3.1 采用空载阻抗计算变压器的有载理论值

按图4电路测量有载铁心变压器原、副边的“五量”作为标准值（简称有载数据），取阻性负载ZL＝1.5kΩ。

图4 有载铁心变压器的测量

将所得Z11、Z22和ZM代入式（3）、（4），计算有载时原、副边电流的理论值并与实测值比较。此点的意义在于检验实验设计思想是否正确，因而非常重要，直接关系到了实验设计的成败。计算可得

与实测值比较相对误差小于1%，这说明：

（1）将铁心的作用等效到原、副边绕组和互感阻抗是正确的；

（2）有载、空载时主磁通保持不变，使等效阻抗的工作状态不变，即用空载阻抗代替有载阻抗是正确的。

3.2 用RLC元件构建原、副边等效电路

由于式（3）中的Z11＋ZY1＝2.235＋j7.906kΩ，故原边等效电路（图2a）可等效为一个RL串联电路，R＝2.235kΩ、L＝25.178H。由于没有大电感，可以借用RC串联电路进行实验。若取R不变，由容抗等于感抗可取C＝0.40μF，故所测电流的有效值即为I1、所测幅角的负值即为的幅角。实验中实取R＝2.22kΩ、C＝0.42μF，测得“五量”为（括号内为与“有载数据”比较的相对误差）：

同理，副边的Z22＋ZY2＝1.517＋j0.003kΩ≈1.517 kΩ，等效电路仅为单电阻电路，所测“五量”为：

由此可见“五量”的相对误差小于6%（其中包含元件取值误差），完全可以说明原、副边等效电路确能代表空心（铁心）变压器，这对精确计算含变压器的电路是很有意义的。

3.3 用原、副边绕组和RC元件构建等效电路

原边引入阻抗ZY1＝1.292－j0.504kΩ，可用R＝1.292kΩ、C＝6.32μF的RC串联电路替代，Z11仍用原边绕组，由Z11、ZY1串联构成的原边等效电路即如图2a所示，这似乎是最为理想的等效电路。其实不然，因为原边绕组是非线性的，只有当绕组端电压仍为220V时才能保证Z11不变，虽然交流电路中有可能出现分电压与总电压（220V）相等的情况。实验中实取R＝1.29kΩ、C＝6.32μF，测得“五量”为：

同理可得副边等效电路，测得“五量”为：

此种等效电路的电流和功率相对误差增加较大，不宜用于精确计算。但由于不超过15%，在要求不太高时尚可接受。造成误差的原因，是绕组工作状态改变引起了阻值的改变，如实际UZ11测量＝213.7V≠220V，使Z11增大了约10%，从而造成了I1的减小。

总之，用空载得到的铁心变压器等效阻抗所作理论计算和以此构成RC等效电路的所测数据，均与铁心变压器有载工作时的数据一致，这表明将铁心变压器等效为空心变压器的设想是成功的。但若要在等效电路中采用变压器绕组作阻抗，则需保证绕组工作状态与变压器有载时一致，不然会引起较大误差。

4 铁心变压器复功率的实验设计与验证

变压器的复功率包括原、副边绕组和互感项的复功率、电源和负载的复功率，再分为有功功率和无功功率，理论计算和相互关系都比较复杂。功率的测量如图4所示，只能测量原边电源和副边负载的有功功率，故变压器功率关系的实验研究几近空白。为了对变压器的各项功率和相互关系有比较清晰的了解，我们除了采用“有载数据”和“空载数据”对变压器的各项功率进行理论计算外，还着重研究各项功率的测量方法。

4.1 有载时原边绕组有功功率P11和无功功率Q11的测量

变压器在有载工作时的各项功率实际上是融合在一起的，难以直接单独测量。如图4电路有载时原边绕组（或称原边等效阻抗，已包含铁心作用）中就含有原边互感项，所测的功率包含了原边绕组有功功率P11和原边互感项有功功率P12两部分。那么P11可否单独测量？由于空载时副边电流为0，原边互感项不起作用，故可采用图3a电路测量空载时的原边绕组有功功率P110，再对P110进行适当修正以得到P11。

修正的方法实际上是根据要求对电流、电压相量进行变换。由于已知“有载数据”和“空载数据”，似乎可随意给出不同相量如、之间的关系，如令但这仅仅是数量关系，没有物理意义，因而并不合适。这种变换必须以铁心变压器工作原理为依据。如可令，因为此式即铁心变压器的电压变换，复常数A＝N1/N2（变压器变比）；可令，因为根据磁动势平衡原理在时可得电流变换，而实验中并不满足，即电流变换不成立，故不能直接令，只能采用，即，因而实际上等价于电流变换；同理，根据变压器的可逆性，可令，我们即以此3种变换对所测的功率进行修正。复常数A、B、C反映了铁心变压器的性质，A不随负载而变；B、C虽随负载而变，但由于都是常量，测定B、C随负载的变化曲线也很容易；如果在一定负载范围内B、C变化不大还可近似其为常数，故在负载确定时A、B、C都是确定的，如根据“有载数据”和“空载数据”可得

对图3a电路，功率表的读数即P110为

故原边绕组的有功功率为

由于有载和空载时原边绕组Z11基本不变，又Z11的幅角为，故原边绕组的无功功率为

例如图3a电路所测P读＝0.654W，修正后可得P11＝0.687W（2.5%）、Q11＝6.125Var（2.5%），括号内为与理论计算值比较的相对误差。

4.2 有载时副边绕组有功功率P220和无功功率Q220的测量

图3b电路可测量有载时副边绕组的有功功率P220，其功率表读数为

故副边绕组的有功功率为

由于Z220的幅角为，故副边绕组的无功功率为

例如由图3b电路所测P读＝0.873W，修正后可得

4.3 有载时原边互感项有功功率P12和无功功率Q12的测量

图5电路可测量有载时原边互感项的有功功率P12。由

图5 铁心变压器互感项复功率测量

例如由图5电路所测P读＝－5.52W，修正后可得P12＝0.913W（1.6%）、Q12＝－0.365Var（1.6%）

4.4 有载时副边互感项有功功率P21和无功功率Q21的测量

由图5电路也可测量有载时副边互感项的有功功率P21。由于

即副边互感项的有功功率为

无功功率为

例如由图5电路所测P读＝－5.52W，修正后可得

4.5 验证功率平衡与相互关系

（1）原边：电源发出有功功率P1＝1.59W；原边绕组、互感项吸收有功功率P11＝0.687W、P12＝0.913W，共吸收有功功率P11＋P12＝1.60W；与P1相比误差为0.3%。电源发出无功功率Q1＝P1tanψ1＝5.62Var；原边绕组吸收无功功率Q11＝6.125Var、原边互感项吸收无功功率Q12＝－0.365Var（实为发出），共吸收无功功率Q11＋Q12＝5.76Var；与Q1相比误差为2.5%。

（2）副边：副边互感项吸收有功功率P21＝－0.969W（实为发出）；副边绕组吸收有功功率P220＝0.0263W；负载ZL吸收有功功率P2＝0.96 W，副边绕组和负载共吸收有功功率P220＋P2＝0.986 W；与P21相比误差为1.8%。副边互感项吸收无功功率Q21＝－0.171Var（实为发出）；副边绕组吸收无功功率Q220＝0.166Var；负载ZL吸收无功功率Q2＝0，副边绕组和负载共吸收无功功率Q220＋Q2＝0.166 Var；与Q21相比误差为2.9%。

由此可见，所测各项功率完全满足功率平衡的要求，也完全证实了理论对于各项功率相互关系的分析。

5 结束语

我们经过多年研究，提出将铁心能量损耗和储放等效到原、副边绕组中去，从而将铁心变压器等效为空心变压器，并设计了原、副边等效电路进行验证；提出了单独测量变压器各项复功率的方法并对功率进行修正，以检验功率关系。我们已将铁心变压器的理论计算和实验验证设计为研究性自主性实验，并在多年的实践中取得了满意的教学效果。

（References）

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［12］沈一骑，孔令红.电路与电工原理研究性实验教程［M］.南京：南京大学出版社，2012.

Design for research experiment of ferromagnetic core transformer

Shen Yiqi
（School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

Ferromagnetic core can cause the equivalent circuit and power relations to become more complicated.Through the research work for many years，the core energy loss and storage were equivalent to the primary winding and the secondary winding，and the ferromagnetic core transformer was equivalent to air core transformer.The equivalent circuit was designed to check them.The method to measure various complex power of transformer separately was used to revise the measured power in order to check out power relationship.The experimental results show that the equivalent treatment for ferromagnetic core transformer and the complex power measurement are feasible.According to the above mention，the research and autonomy experiment for ferromagnetic core transformer was designed and the design philosophy was presented.

air core transformer；ferromagnetic core transformer；research and autonomy experiment

G424.31

A

1002－4956（2014）1－0153－05

2013－12－05

江苏省高等学校教改研究课题（2013JSJG169）资助

沈一骑（1957—），男，浙江杭州，学士，高级工程师，电工实验室主任，主要从事电路理论和实验的教学与研究工作.