基于Shark-Hartmann理论的波前探测技术研究

郭广妍，樊仲维，余 锦，葛文琦，康治军，2，唐熊忻，貊泽强，王昊成，2，石朝辉，3

（1.中国科学院光电研究院，北京100094；2.中国科学院大学，北京100049；3.中国国科世纪激光技术有限公司，北京102211）

引言

波前探测技术一直伴随着光学及光电子学同步发展，具有悠久的历史。从光学发展之初，就有利用波前干涉的方法对单透镜球面参数的测量，至今仍是光学元件加工中重要的质量检测手段。自20世纪50年代以来［1］，为了解决天文观测中大气湍流对成像观测的影响，提出了自适应光学（adaptive optics，AO）的概念。AO是以光学波前为对象的控制系统［2-3］，利用对光学波前的测量-控制-校正，使光学系统具有适应外界条件变化、保持良好运作状态的能力，广泛运用于地基望远镜系统［4］以及光束质量诊断［5］等领域中。通常AO系统由波前传感器、波前控制器以及波前校正器3部分构成［6-8］。夏克-哈特曼波前传感器（Shark-Hartmann wavefront sensor，SH WFS）以其具有高速和高精度测量波前像差的能力被广泛用于光波前探测［9-10］。

SH波前探测技术可以通过测量波前斜率，即一阶导数，来获得波前的相位信息。由于不需要参考波面，可直接利用星光等目标光源进行检测，因此在主动光学、AO、大口径望远镜检测及眼科诊断等领域得到了广泛地应用。另外，与干涉仪相比，SH WFS具有实时测量、不受环境（尤其是震动）影响、结构紧凑、价格低廉等优点，在光学元件和光学系统检测中也具有特色。理论上，本文给出基于微透镜阵列（microlesn array，MLA）的SH WFS波前检测系统，并对其进行了相关理论模拟和实验研究。在波前斜率探测基础上，给出了模式法进行波前复原的理论，并利用Zemax软件，对SH WFS的结构进行了模拟，在平行光后增加可测量的畸变源（柱面透镜）进行波前复原研究。实验搭建了SH WFS波前复原系统，根据模拟模型，利用扩束后的He-Ne激光作为参考波前，引入畸变源，在 Matlab中书写程序对CCD采集到的光斑进行处理计算，重构出测量波前。并在此基础上进行了大量的实验研究，分析了影响波前复原系统特性的一些因素及其对波前复原精度的影响，为SH WFS系统设计与仪器化提供了实验参考。

1 理论模型

SH WFS传感器的基本构成是MLA和光斑采集相机，其原理如图1所示。MLA由按一定规律排列的子透镜组成，波前经微透镜后形成一个光斑阵列。将参考光的光斑质心作为基准，得到待测畸变波前光斑质心坐标与参考波前的光斑质心坐标之差，再经过几何关系推演即可求出待测畸变波前被阵列透镜分割的子透镜范围内的波前平均斜率。利用波前斜率信息，采用波前重构理论中的模式法或区域法可以直接重构出光波前。随着波前传感技术的不断进步，SH在子孔径数目比较多和参考光线很弱的AO系统中以及光学元件质量检测等方面的应用越来越广泛［11］。

图1 SH波前探测器原理图Fig.1 Schematic diagram of SH wavefront sensor

式中：l为模式数；ak为第k项Zernike多项式系数；Zk为第k项Zernike多项式。Zernike模式法进行波前重构的本质是建立Zernike多项式与波前传感器所探测的波前斜率之间的关系，进而求解出Zernike系数ak，然后由上式重构出波前。

子孔径上的波前斜率用Zernike求偏导可表示为

式中Gx，Gy分别表示x，y方向上的斜率。

由于SH波前传感器探测到的是子孔径内的平均斜率，所以第i个子孔径内入射波前的波前平均斜率Gix和Giy为

式中si是第i个子孔径的归一化面积，并有：

若波前传感器有m个子孔径，取Zernike多项式的前N项进行波前重构：

（5）式表示成矩阵形式：

式中：G为波前斜率向量，包含波前传感器测量的波前相位在所有子孔径内x和y方向的平均斜率；Z为2m×N阶的波前重构矩阵，其大小由波前传感器中MLA的个数多少及测量波前面积大小决定；A为待定的各模式系数向量。

利用相机测量出波前斜率向量G后，利用奇异值分解法求出波前重构矩阵Z的广义逆Z＋，就可以得到系数向量A在最小二乘意义下的最小范数解：

将系数向量A代入（1）式，就可以得到完整的波前展开式。

由以上介绍可知，准确探测波前斜率是精确实现波前复原的条件，本文使用质心法进行光斑坐标位置的确定［15］，就是用CCD测量光斑的光强分布，依照每位置的像素强度取分配权重：

式中：xi，yj分别是第（i，j）个像素CCD像面上x，y方向的坐标值（以像素为单位）；I（i，j）是第（i，j）个像素的光强；L和M 分别是单个探测窗口内x，y方向的像素个数。

计算有像差的波前对应的各个光斑质心位置，并与平行光入射时对应的参考点坐标（x0，y0）比较，得出光斑在x，y方向的偏移量（Δx，Δy）：

2 仿真结果及分析

本文通过Zemax软件建模实现对SH WFS的模拟。首先采用Zemax中的序列模式设计具有一定焦距的MLA和柱面透镜／球面透镜，并记录数据。然后在非序列模式下设计平行光入射到MLA上，在MLA的焦点处添加探测面。系统光路图如图2所示

图2 SH WFS系统模拟光路图Fig.2 Analog optical path diagram of SH-WFS system

在平行光入射情况下，记录探测面光斑图并用Matlab读取，作为参考光斑。加入柱面透镜后，平行光经过柱面／球面透镜后，在SH WFS的探测面是具有一定曲率的曲面波。理想情况下，经过柱面／球面透镜的光波都为标准柱面／球面波，采用前36项Zernike多项式进行波前复原计算，得到复原以后的曲面波形。在柱面／球面透镜后的不同位置进行光斑采集，并进行计算。

图3为采用17×17个计算区域，像素尺寸为0.01mm的SH WFS结构进行波前复原得到的波前。图3（a）对理想情况下f＝390mm的柱面波复原后得到的结果，对计算出的三维图计算其波前曲率f＝379.928 2mm；图3（b）为理想情况下f＝490mm的球面波复原后得到的结果，对计算出的三维图计算其波前曲率f＝477.896 0mm；图3中的（c）、（d）为将不同位置的复原结果叠加以后的效果图，可以很明显地看出曲率的差别。从图3中的（a）、（b）两幅图可以看出，复原结果可以很明显地表示出待测波前的基本特征，即实现了球面／柱面波的复原，但从曲率计算结果看出仍有较大的误差。

图3 模拟波前复原三维效果图Fig.3 3D renderings of simulation wavefront reconstruction

在以上模拟结果的基础上，针对微透镜阵列的不同焦距、探测器的不同像素尺寸大小对复原精度的影响进行模拟。对于相同的波前（即透镜后的相同位置），分别利用9×9、17×17个探测区域，以及0.01mm、1／180mm的像素大小分别进行波前复原，并将结果进行了对比，验证了影响波前探测精度的几个因素。整个模拟结果数据如表1所示。由表1的计算结果可得，微透镜阵列焦距较短的复原精度优于焦距较长的；探测器像素尺寸小的复原精度优于像素尺寸较大的。

表1 模拟结果汇总表Table 1 Summary table of simulation result

根据波前复原结果计算得到的波前曲率值与理想状况有较大的误差，主要原因为实际情况与理论情况的差异及光斑质心计算的误差。此模拟是在理想情况下进行的，实际情况下曲面波对聚焦作用的影响及模拟中透镜焦点位置的偏差即理论值存在误差，从表1中可以发现，随着理想情况下波前曲率的改变，误差也有不同程度的变化。光斑质心偏移量将会影响到重构算法本身的精确度，故SH WFS的波前探测精度主要取决于光斑阵列中每个子光斑的质心探测精度。而在CCD上的光斑并不是只占据一个像素，而是在数个像素上都有能量分布，如图4（单个光斑灰度值）所示。因此，如何实现波前重构中的高精度质心探测方法则是实现SH WFS高精度测量的技术重点同时也是难点。

图4 单个光斑灰度值Fig.4 Gray value of single spot

3 实验结果及分析

针对波前探测技术，在模拟计算的基础上还进行了相关实验，即将模拟条件用实验进行复现，实验光路图如图5所示，其中SH WFS的结构如图6所示。采用商用的MLA和CCD进行波前探测器的搭建，所用到的MLA和CCD的实际参数如表2所示。

表2 MLA及CCD参数列表Table 2Parameters of MLA and CCD

图5 实验系统光路图Fig.5 Optic path of experimental system

图6 SH-WFS实验结构图ig.6 Experimental setup diagram of SH-WFS

实验系统将He-Ne激光器作为光源，经过扩束系统将其光斑扩大为～30mm，用光阑取中间部分光斑亮度均匀的部分作为照明使用。将不加透镜时的光近似认为平行光，取此时CCD探测到的光斑为参考光斑，这种相对的方法也去除了He-Ne光源的畸变成分。之后在SH WFS结构前加入球面镜或柱面镜，此时CCD测得的光斑为“畸变”后的光斑阵列。

将测得的光斑阵列读取到 Matlab中，根据CCD与MLA的匹配关系，确定进行复原的有效区域个数，并对CCD的计算区域进行分区。将读取的光斑阵列图利用Matlab读取并处理，进行复原波前。对参考光经柱面镜后的波前进行探测，结果如图7所示。

图7 实验波前复原三维效果图Fig.7 3D renderings of experimental wavefront reconstruction

此实验过程是对理论模拟过程的验证，即在透镜后的不同位置应得到不同曲率的球面／柱面波，还通过楔形平板产生倾斜波，实验过程中对复原得到的波前与理想情况进行比较。实验结果表明倾斜波前的复原结果为～2°与理论值复原的较好，但对球面／曲面波进行曲率计算得到的结果与理论值误差很大。这表明该探测系统对倾斜像差有较好的探测能力，但对离焦像差的探测精度较低。首先从模拟结果部分可以看出，此波前复原程序精度较低，其次实际情况同理想情况的误差跟大，同时是实验过程中因为光路调节、机械装调等原因，波前的中心存在偏移，探测区域边界处存在误差，计算得到的波前曲率值误差较大，这需要通过精密调节光路及提高算法精度来实现。

4 结论

本文研究了基于SH理论的波前探测技术，并建立了相应的模拟和实验系统。对该系统采用的质心算法、斜率探测技术以及Zernike模式法波前重构算法进行了研究，在数值模拟及实验情况下对SH WFS波前复原技术进行了实现，验证了利用Zernike模式法进行波前复原的可行性。通过设置不同元件参数模拟证明了其对波前复原精度的影响，理想情况下的模拟结果表明波前复原结果与理想情况相比有～10mm的误差，这表明实现波前探测光斑阵列处理的算法程序精度存在问题，需要进一步改进，在此基础上分析了实验系统的误差，表明此探测系统对倾斜像差有较好的探测能力，但对离焦像差的探测精度较低。本文在理论和实验上充分说明了基于SH的波前探测技术的良好应用前景，为其进行光束质量诊断提供了依据，并为进一步的提高探测精度奠定了基础。

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