例析“点差法”巧解圆锥曲线的中点弦问题

杜彦杰

(黑龙江省齐齐哈尔市民族中学，161006)



例析“点差法”巧解圆锥曲线的中点弦问题

杜彦杰

(黑龙江省齐齐哈尔市民族中学，161006)

直线与圆锥曲线相交所得中点弦问题,是解析几何的重要内容之一,也是高考中经久不衰的热点．此类问题若用一般解法,不仅过程繁琐,而且运算量大又容易出错,而利用“点差法”解决这类问题,常常能起到化繁为简、出奇制胜的效果．

本文采撷课本和近三年高考试卷中若干中点弦问题,从不同的视角加以审视归纳,分类例说“点差法”在解此类问题中的巧用,希望对大家有所帮助．

一、斜率之积为定值的问题

例1(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)略．

证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).由题意,得

∵A,B两点在椭圆上,

两式相减,得

9(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴kAB·kOM=-9,即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

评注题中涉及直线的斜率与弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”．其解题步骤:一是设出弦的两端点坐标;二是代入圆锥曲线方程;三是作差:两式相减,再用平方差公式把上式展开；四是整理:转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解．

二、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

解(1)如图1，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

由题意知,m≠0,

A,B两点在椭圆上,

两式相减,得

(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，

评注圆锥曲线中的对称问题综合性较强,在求解时,应抓住“斜率互为负倒数”与“中点”两个关键点．本题利用“点差法”,求得弦中点的坐标,然后利用中点与椭圆的位置关系(即中点在椭圆内)求解参数的取值范围,简单明了．

三、直线与圆、抛物线位置关系的问题

例3(2015年四川高考题)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()

(A)(1,3)(B)(1,4)

(C)(2,3)(D)(2,4)

解显然,当直线l的斜率不存在时,必有两条直线满足题设．

当直线l的斜率存在时,设斜率为k.如图2，设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,M(x0,y0),则有

y1+y2=2y0.

∵A,B两点在抛物线上,

两式相减，得

(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),

设圆的圆心为C,由题意知CM⊥AB,

∴x0=3. ∴点M必在直线x=3上.

将x=3代入y2=4x,得y2=12，

又∵点M在圆(x-5)2+y2=r2(r>0)上,

又由题意知,当k存在时,y0≠0,

因此有 4

∴选D.

评注本题意在考查直线与圆及抛物线的位置关系、参数的取值范围等问题．求解时利用“点差法”,求得点M所在的轨迹方程,然后利用点M与圆、抛物线的位置关系,得到r的取值范围,计算量较少．需要注意的是,在利用“点差法”时,要求中点弦的斜率必须存在，因此,首先要根据题意,讨论斜率的存在性；而对于斜率不存在的情况,可由题意直接进行判断得出结论．

四、平分线段问题

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q．(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)略．

(2)(i)证明:如图3，由(1)可得,F的坐标为(-2,0).设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=-m.

当m=0点时,显然OT平分线段PQ；

设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x0,y0),则

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

∵P，Q两点在椭圆上,

两式相减,得

(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,

所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ．

评析此题在标准答案中用的是一般解法,即利用韦达定理并结合中点坐标公式求解,运算量较大,现利用“点差法”求解,大大优化了解题过程．

五、求圆锥曲线方程的问题

(1)求M的方程;(2)略．

解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则

x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.

∵A,B两点在椭圆M上,

两式相减,得

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴a2-b2=3.

因此,a2=6,b2=3，

六、求离心率和的有关问题

解设A(x1,y1),B(x2,y2).

∵M(1,1)是线段AB的中点,

∴x1+x2=2,y1+y2=2.

∵A,B两点在椭圆上,

两式相减,得

b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,

评析本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的简单几何性质,题中涉及弦的中点及其斜率,用“点差法”解决此类问题很方便．