为学生思维发展而教
——“数学核心素养”大家谈（下）

◇郑毓信

为学生思维发展而教
——“数学核心素养”大家谈（下）

◇郑毓信

（上接2017年第4期第6页）

二 “数学核心素养”之实践性解读

以下再对一线教师如何做好“数学核心素养”的实践性解读提出一些具体的建议。

首先，笔者近年来一直倡导一个立场，即面对任一新的理论或主张，我们都应认真思考这样三个问题：（1）这一理论或主张的实质是什么？（2）这一理论或主张对于我们改进教学有哪些新的启示和意义？（3）这一理论或主张有什么局限性或不足之处？

在此，笔者愿再次强调认真思考“核心素养给予我们的主要启示是什么”的重要性，特别是，我们应始终坚持自身的独立思考，而不应盲目地追随潮流，并且应当切实防止这样的做法：人云亦云，甚至有意识地“穿靴戴帽”，用“核心素养”这一口号刻意地包装自己，事实上却没有任何真切的感受或体会。例如，在当前我们随意翻阅任何一本数学教学方面的专门刊物，恐怕都可以找出这样的几篇文章：尽管采用了“数学核心素养”这样的醒目标题，但就其实际内容而言，除了文首所直接引用的某些“专家”的论述，其余内容可以说与“数学核心素养”毫不相干，更看不出相关作者通过对“核心素养”的学习究竟获得了怎样的启示，又是如何将这些认识应用到自己的教学工作之中的！

与此相对照，由以下实例可以看出我们做好自身工作的关键：“教育贵在执着”，尽管其中所直接涉及的只是教育的“三维目标”而非“核心素养”——“从来没想到，在北京一所不起眼的小区配套学校里，居然有一群人，对‘三维’目标的研究如此执着，达8年之久（这一文章[14]发表于2011年）；他们从学科知识走到了知识树，从知识树走到了能力，从能力走到了高位目标，并解决了一系列教学困惑和问题。无论课改形势发生什么变化，都没有动摇他们的研究精神。10年过去了，这所普通学校迅速成长为海淀区第一方阵的佼佼者。”“课改10年里，有的学校开始时热情高涨，之后抱怨、观望，不了了之，课堂没有任何改变，教师几无任何收获，反生了改革疲劳感，助长了形式主义的风气。有的学校深入下去做研究，但未能坚持，最终半途而废。”“进校附校（指‘北京市海淀区教师进修学校附属实验学校’）是这里面的‘胜利者’，胜在了‘执着’二字。”[14]

其次，笔者对上面所提到的由一线教师撰写的那几篇文章特别感兴趣的主要原因是：希望借此了解一线教师是如何看待“数学核心素养”，又是如何在自己的教学实践中予以落实的。

具体地说，尽管相关的认识不能说十分全面，甚至未能达到足够的理论高度，但因为这些认识反映了他们的独立思考，从而就有可能在教学中很好地加以落实。当然，这些工作的一个重要价值是：我们借此可以很好地了解实践工作者对于“数学核心素养”的基本看法是什么，这些基本看法当然也应引起理论研究者和各级教育领导的充分重视。

许卫兵等老师在文章中共同强调一点：“为思维发展而教！”比如，“思维是数学能力之‘核’，思维也是数学素养之‘魂’！无论过去、现在，还是将来，数学课堂都应该基于‘思维’教，围绕‘思维’学，让学生获得良好的思维启迪，能‘自觉地用数学的思维方法去观察、分析社会，解决现实问题’，进而提升学习质量、生活质量乃至人生境界。”[15]另外，我们显然也可从同一角度理解夏海莲等老师关于“深度教学”所提倡的：“培养学生的数学核心素养，显然靠浅层次的课堂教学是无法顺利完成的，只有教师深度地教，学生深度地学，不断提升课堂教学的品质，丰富课堂教学的思想内涵，真正形成有效的数学活动，才有可能在提升学生的数学核心素养方面逐步获得进展。”[16]

事实上，在笔者看来，这也正是20世纪 80年代以来国际上多次数学教育改革运动，包括相关的教学实践，最为重要的经验：数学教育应当致力于促进学生思维的发展。而实现这一目标最为基本的途径是：以数学思维的分析带动具体数学知识内容的教学，从而将数学课真正“教活”“教懂”“教深”，即通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识，并能帮助他们真正理解相关的内容，而不是囫囵吞枣和死记硬背，使他们不仅能够掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法。[17]

显然，按照这样的认识，我们可以对“数学核心素养”做出如下解读：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思维”逐步走向“理性精神”。

就上述论点而言，我们应特别强调以下几点：

第一，相对于“帮助学生学会数学地思维”而言，“通过数学学会思维”应当说是更为合理的一个主张。因为，数学思维显然并非思维的唯一可能形式，各种思维形式，如文学思维、哲学思维、科学思维等，应该说都有一定的合理性和局限性，从而，无论就社会进步还是个人发展而言，我们都不应唯一地强调“学会数学地思维”，而应更加重视“为思维发展而教”。

当然，我们又不应因此否定对数学思维的研究和学习的重要性，如此一来，则对数学教育工作者如何做好这方面的工作提出了更高的要求，特别是，我们应很好地处理数学思维与一般思维之间的关系。[18]

第二，“通过数学学会思维”，主要不是指“想得更快”又“与众不同”，而是指“想得更清晰、更深入、更全面、更合理”。另外，思维的发展不仅与“思维能力”密切相关，还直接关系到思维的品质，也就是说，与各种具体的数学思想方法相比，我们应当更加重视提高学生的思维品质，特别是思维的清晰性与严密（合理）性、思维的深刻性与全面性、思维的综合（整合）性与灵活性以及思维的自觉性与创造性。

我们应清楚地看到上述各个方面之间的辩证联系，这也正是“理性思维”最为重要的内涵之一。更明确地说，我们应当努力追求这样一个更高的目标：我们不仅应当通过自己的教学帮助学生学会思维，还应努力促成他们由理性思维逐步走向理性精神，从而真正成为一个高度自觉的理性人。

第三，从实践的角度看，上述分析显然也为我们具体判断一堂数学课是否成功提供了一条基本的标准：无论教学中采取了怎样的教学方法或模式，我们都应更加关注相关的教学是否真正促进了学生更为积极地思考，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

与此相对照，在当前，我们应当努力纠正的一个现象是：我们的学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！这样的现象不应再继续下去了！

最后，还应强调的是，就这方面的具体工作而言，应当说还有很多问题需要我们深入研究。例如，当前十分重要的一项工作是：针对具体的教学内容，我们如何清楚地界定对于小学数学教育而言最为重要的各种数学思想方法。例如，这事实上也是上述两篇文章（即参考文献[15]和[16]）的又一共同点，即对于“整体性观念”与“结构化思想”的突出强调，而这不仅是一种十分重要的数学观点，还直接关系到学生思维品质的提高。

三 案例分析：“在练习中培养学生的核心素养”

以下就从同一角度对上面所提到的第三篇文章[19]做出具体分析，希望读者以此为例，更好地理解对数学思想方法做出清楚界定，并以此指导实际教学活动的重要性。

坦率地说，如果仅从字面上分析，这一文章中所提到的练习课应当说与“培养学生的核心素养”这一目标仍有一定距离，其未能清楚地表明作者是如何以上述目标为指导从事这一教学活动的，包括具体设计出了这样一个“具有思辨性的习题”：

一个正方形被分成了三个同样大小的长方形（如图 1），每个长方形的周长都是 32厘米，这个正方形的周长是多少？

图1

以下就围绕同一问题对这一教学活动做出进一步的分析，希望能清楚地表明基于“培养学生的核心素养”，我们应当如何实施这一内容的教学，特别是，在学生给出了某一解法以后，教师应当如何做出评价；在学生思维出现“卡壳”时，又应如何做出适当的引导；什么可被看成促进学生思维进一步发展或深化的必要环节；等等。更为一般地说，我们如何才能使得这一教学活动真正成为前述的“深度教学”，即能够更有效地促进学生思维的发展。

第一，正如文中所指出的，生1在课堂上的表现（后面关于“序的思想”的论述可被看成对于生1所提供的解题方法的概述）应当说十分出色：“生1的思路如此清晰，语言表达如此流利，说理如此到位，同学们情不自禁地为他鼓起掌来。”但是，就促进学生的思维发展而言，教师应如何对此做出适当评价和进一步的引导呢？

不难想到，如果我们在此仅仅着眼于对上述问题的具体求解，就不可能充分发挥这一活动对于学生思维发展的积极作用，这里既包括生 1和另外一些已经掌握了同一解法的学生，也包括各个事先并未想到这一方法，乃至在听过了生1的介绍以后仍然“似懂非懂”的学生。当然，这事实上也正是笔者提出上述问题的主要原因，尽管全体学生都对生1的表现做了肯定，教师仍应对此做出进一步的分析和引导，包括清楚地指明相应的数学思想方法。

具体地说，该教师当时应当特别强调一个数学思想：联系的观点。事实上，在学生具体从事解题活动前，我们或许就应在这方面做出必要的引导。当然，也可以选择在生1给出解答之后，再围绕这一思想对相关的解题活动做出进一步分析。即教师在此可以明确提出这样一个“解题策略”：面对任一较复杂的问题，我们都首先应列举出其中的各个相关成分（包括已知成分与未知成分），然后具体研究它们的相互关系。

就目前的问题而言，也就是指：（如图2）

图2

显然，这方面的具体思考不仅有助于学生更好地理解所面对的问题，也可由此引发相关的解题思路，包括更好地理解生1所提供的解题方法。

从思维的角度看，教师在此或许还可特别提及以下两个更为具体的“解题策略”：

（1）突出关键。我们应当帮助学生逐步养成这样一个思维习惯，即围绕问题进行思考，更应注意分析其中的关键环节。例如，就当前的问题而言，如何找出长方形的长与宽之间的关系，显然是一个特别重要的环节。

（2）序的思想。这可被看成前面所提到的“整体性观念”的一个具体表现。就目前的问题而言，我们应当按照一定顺序一步一步地解决问题：第一步，找出长方形的长与宽之间的关系；第二步，依据所说的关系，由长方形的周长求出它的长和宽；第三步，依据“正方形的边长等于长方形的长”，由正方形的边长求得它的周长。

第二，这是课堂中出现的真实情况：在生1说出自己的解法并获得全体同学肯定以后，“教室中安静下来，学生把目光投向教师”。文章作者对这一现象做了如下解读：学生“试图从教师这儿寻求别的解法”。这一解读也许有一定道理，但在笔者看来，这事实上也十分清楚地表明了“超出具体问题的求解，并从思维角度做出进一步分析和引导”的重要性。

相关教师在当时所采取的主要措施是：其一，“让学生在问题解决过程中实现方法的多元性”；其二，“提醒学生借助画图或动手操作等策略辅助思考，开启学生思维的‘闸门’”。[19]

我们在此为什么要特别提倡解题方法的多元化？另外，就目前的问题与教学对象而言，我们是否真有必要让学生实际动手进行操作，如用小棒进行图形的拆分、平移、旋转、组合等？

笔者的看法是：

（1）从上述基本立场出发，我们可以得出这样一个直接结论，即与单纯的“动手”相比，我们应当更加重视促进学生积极思考，包括很好地实现由“动手”向“动脑”的必要转变。当然，就目前的论题而言，这并非指我们在教学中应当完全排斥学生通过实际动手发现各种可能的解题方法，而主要是指教师应当切实加强这方面的引导工作，从而使得“动手”真正起到促进学生思维的作用。

笔者认为，与单纯强调“动手”相比，我们在教学中应更加强调“数形结合”这样一个数学思想，因为，无论是所谓的“画图”还是“动手操作”，其主要作用都是有助于我们更好地理解与把握各个对象之间的数量关系。

应当指出的是，上面提到的“关系图”（如图2）事实上也可被看成一种直观图形，因为，这同样为我们很好地理解与把握各个对象之间的关系，包括相应的解题步骤，提供了直观图像。当然，与图1相比，图 2具有更大的启示作用，从而十分清楚地体现了数学抽象的力量，因为，这一图形的生成本身就是抽象思维的结果，或者说，其直接反映了主体思维的不断深化。

相信读者依据这一实例可以更好地理解华罗庚先生的这样一个论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休。”

（2）与简单提倡“解题方法的多元化”相比较，我们在此应更加重视学生思维的深化，即应当通过适当的问题将学生的思维引向深入，而不只是简单地满足于“越多越好”。

例如，就当时的教学情境而言，我们或许可借助上述“关系图”（如图 2）有意识地提出这样一个问题：从图形上看，我们正是通过“迂回”即“绕道”长方形的长与宽和正方形的边长最终由长方形的周长求得了正方形的周长，但是，我们是否可以开拓一条更为直接的解题途径，即由长方形的周长直接求得正方形的周长？（如图3）

图3

就当时的现实情境而言，上述问题的提出显然十分清楚地表明了在原来的问题已经获得解决的情况下我们为什么要做出进一步的研究，包括用画图与动手操作等方法进行新的探究。这可被看成为接下来的具体实践指明了努力的方向：我们所希望的就是通过画图、拆分、拼合等，找出长方形的周长与正方形周长的内在联系。

第三，在学生得出了“正方形的周长等于长方形的周长的1.5倍”这一结论以后，我们还可将学生（至少是部分学生）的思维进一步引向深入。

具体地说，在建立了上述认识以后，就原先问题的求解而言，我们显然只在最后一步用到了“长方形的周长是 32厘米”这个条件，也就是说，这个条件在整个解题过程中并不具有十分重要的作用。例如，如果将上述条件换成“长方形的周长是20或72厘米”，全部的解题过程显然不会有任何重要的变化。

那么，究竟这一思考的真正意义是什么呢？其意义主要在于形成这样一种思维方式：我们应当努力发现“变化中不变的因素”，即事物的本质或规律。

不难想到，上述研究事实上也是一个“一般化”的过程，或者说，是各种抽象活动的共同本质。另外，从同一角度分析，我们显然也可清楚地看出积极鼓励学生通过拆分与拼合等手段发现解题思路的优点：在不知不觉中将学生的关注点转移到了长方形和正方形周长之间的关系上，而不再唯一地局限于如何能够通过计算求得它们的具体数值，这直接保证了相关结果具有更大的普遍性，即在所说的分割方式下，正方形的周长一定是长方形周长的1.5倍。

进而，依据上述分析，我们显然也可以应用如下的“特殊化”方法更为简单地解决原来的问题：不失一般性，我们在此可假设长方形的宽是 1（个单位），显然，在这样的条件下，我们可立即求得长方形的长（即正长形的边长）是3（个单位）；这时求长方形和正方形的周长就十分容易了，它们分别是 8和 12（个单位）；最后，依据上述计算，我们可立即得出“正方形的周长是长方形周长的1.5倍”这一普遍性的结论，据此也可以由原来的条件（长方形的周长是 32厘米）直接求得正方形的周长。

虽然上述解题方法用到了“比”的概念，超出了三年级学生的学习范围，但是在笔者看来，依据这一实例，我们可更好地理解笔者的这样一个论点[20]：比、除法与分数在很大程度上可以被看成是完全对等的，那么，在已经引进了除法和分数的基础上，我们为什么要专门引入“比”这样一个概念？答案就在于：这体现了不同的研究视角，我们在此所关注的主要是两个量（就目前的问题而言，指正方形与长方形的周长）之间的关系，而不十分在意它们的具体数值。

由此可见，这也正是上述研究的又一重要意义，即可以为学生将来的学习提供必要的准备。应当指出，这事实上也正是“代数思维”的一个重要内涵，即我们应当将关注点由单纯的计算转向对象之间的等量关系。[21]从而，上述研究也可以被看成为在小学数学教学中渗透代数思维提供了一个很好的契机。

最后，我们显然可应用“一般化”的思想对原来的问题做进一步的推广，即：“一个正方形被分成 4个（或 5个、6个，乃至 n个）同样大小的长方形，每个长方形的周长都是32厘米，这个正方形的周长是多少？”

愿广大一线教师都能结合自己的教学在帮助学生学会思维这方面不断取得新的进步，真正做到为学生的思维发展而教！

[14]余慧娟，钱丽欣.课改的“胜利者”——北京市海淀区教师进修学校附属实验学校教学研究特写[J].人民教育，2011（6）.

[15]许卫兵.以思维为核心的数学素养导向——基于课堂教学的视角[J].小学教学（数学版），2017（1）.

[16]夏海莲，吴登文.在深度教学中培养学生的数学核心素养[J].小学教学（数学版），2017（1）.

[17]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1991.

[18]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学 报，2015(1).

[19]陈为强.在练习中培养学生的核心素养——“长方形和正方形的周长”教学片段与思考[J].小学教学（数学版），2017（1）.

[20]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.

[21]章勤琼等.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——墨尔本大学教授麦克斯·斯蒂芬斯访谈录[J].小学教学（数学版），2016（11）.

（作者系南京大学哲学系教授，博士生导师，本刊顾问）