提出问题 建立联系 个性化表达
——“线段、直线、射线”教学实践及思考

◇潘小明

提出问题 建立联系 个性化表达
——“线段、直线、射线”教学实践及思考

◇潘小明

编者按：

“如何用核心问题引领探究学习，培育小学生的数学核心素养”是全国著名特级教师潘小明近年来一直在研究、实践的课题。“线段、直线、射线”是潘老师为了践行课题给其带领的宝山区“青陶工程”数学班学员所上的主题研讨课。

“线段、直线、射线”的优秀教学案例非常多，但大多是以“复习线段知识→以生活中接近射线的现象引入，通过想象无限延长来构建射线的表象→举一反三构建直线的表象”的流程进行教学的，并以学生掌握线段、射线、直线的特征为重点。潘老师却打破常规，用一种独特的视角，抛出了“数学中的直线是怎样的”这个核心问题，激活学生思维，让学生积极投入“直线”“射线”等概念的探究活动中。

问题的呈现一直是教师们高度重视的，越来越多的教师在提问的技巧性、问题指向的精确性上下功夫，但由于缺少对学生问题的把握、缺乏对知识的整体架构，导致所提问题琐碎、学生思维被动。潘老师的这节课，可让我们领略到：“一问抵多问”式的课堂教学，是如何通过牵一发而动全身的核心问题，给予学生更多的时间和空间去思考、讨论和表达的。在此，我们将潘老师的教学实践与思考以及部分学员的听课感想组成专辑，与广大读者分享。

“线段、直线、射线”是人教版教材四年级上册第38～39页的内容。

通常教学中，教师先呈现“拉紧的线”或“绷紧的弦”并进行提问：它们都可以看作什么？在学生回答“线段”后，教师进一步引导学生观察线段的特征（有两个端点，可测量长度），举出生活中的线段，向学生介绍线段的表示方法；接着，教师将线段一端延长并告诉学生无限延伸能得到一条射线，让学生寻找其特征（射线有一个端点，向一端无限延伸），举出车灯射出的光线等类似射线的现象，向学生介绍射线的表示方法，提醒“端点处的字母标在前面”；再将线段的两端延长并告诉学生无限延伸就能得到一条直线，让学生找出直线的特征（直线没有端点，可以向两端无限延伸）后，向学生介绍直线的表示方法；最后引导学生比较直线、射线、线段的区别，进行相关的练习。

毋庸置疑，经过这样的学习，学生一定能建立起关于线段、直线、射线的表象，理解线段、射线、直线的概念，会正确地表示这些图形，数学知识技能的目标能得到较好的落实，但学生的学习还是比较被动的。如何让学生不断地提出问题、建立联系、进行个性化的表达以培养学生学习的基本素养？我进行了教学的实践探索。

（课始，教师在黑板上画了两条线）

师：（指着图1）这是一条——

图1

生：曲线。

师：（指着图2）它呢？

图2

生：直线。

师：生活中，我们经常会说“这是一条直线”。今天这节课我们要学习数学上的直线。你能画一条数学上的直线吗？

（此时，没有学生举手回答，教室里非常安静）

思考：关于直线，学生的“前概念”是：与曲线相对，它是一条直的线。学生的这一“前概念”显然不同于直线的科学概念，然而它却是学习科学概念的基础，因为学习是学习者在已有知识经验基础上的积极主动的建构过程，教学不能无视学生的“前概念”。怎样让学生基于“前概念”去主动构建“科学概念”呢？较为有效的策略是：创设情境，让学生产生认知冲突。“生活中，我们经常会说‘这是一条直线’。这节课我们要学习数学上的直线。你能画一条数学上的直线吗”这一问题情境，自然会引起学生的认知冲突，产生探求新知的欲望：数学上的直线与我们平常讲的直线会有区别吗？

师：小朋友，这是一张 A4纸，请在纸上画一条数学上的直线，好吗？

（学生纷纷用尺子在纸上画了起来。之后，进行反馈）

师：我告诉你们，你们所画的都不是数学上的直线。

（学生都很迷茫地看着教师）

师：我再告诉你们，就是刚才老师在黑板上画的这条，也不是数学上的直线。

（“为什么呀？”有学生终于忍不住提出了自己的疑问。教师没有直接回答，而是拿起三角板认真地测量起黑板上那条线的长度，得：30厘米）

师：它确实不是数学上的直线，而是数学上讲的——

（这下，有些学生终于有所顿悟）

生1：（响亮地）我觉得它是一条线段。

师：为什么说它是一条线段呢？

生1：（自信地）因为直线是无限延伸的。

师：谁告诉你的？刚才你说这是一条线段，那咱们先搞清楚“为什么说它是一条线段”，好吗？

生1：（轻声地）我就是觉得直线应该是无限延伸的。

师：你的意思是它不是无限延伸的，所以是线段。那线段是怎样的呢？

生1：线段应该是有一定长度的吧。

生2：因为它是有起点和终点的。

师：因为它有起点和终点，所以它的长度是——

生：30厘米。

师：也就是说线段的长度是可以测量的，是吗？

生：是。

师：你们刚才在纸上画的，都是数学上讲的——

生：线段。

师：为什么？

生：因为它们的长度都可以测量。

师：你能找到生活中看到的线段的样子吗？

生 1：这张纸下面的这条边，就是线段。

生 2：教室上面的这段栏杆可以看作线段。

生3：门框上面的这条边，还有黑板上面的这条边，都可以看作线段。

思考：数学上的直线难道不是我们平常讲的直线吗？尽管学生心存疑惑，但当老师让其画一条数学上的直线时，学生还是用尺子在纸上很快地画了出来。从所画出的“直线”来看，学生心里的想法是：数学上的直线与平常讲的直线应该是一样的。此时，“你们所画的都不是数学上的直线”，教师的这一否定引起学生认知心理的极度失衡：“为什么呀？”学生很想知道个中缘由。对此，教师没有直接给出答案，而是认真测量画在黑板上的那条“直线”：从一端量起到另一端的长度是30厘米。测量引起学生的思考，终于与二年级时认识的线段建立起了联系：线段是直的，可以量出长度。进而又展开联想和猜测：直线，会不会是没有端点、无限长的？我想，让学生与“前概念”产生认知冲突，在究其原因的过程中激活已知、建立联系，并展开联想，对新知进行自己的猜测，不仅点燃学生学习的激情，而且有利于形成结构化的知识。

师：线段是有两个端点的，因此可以测量出长度。那数学上讲的直线，可能是怎样的呢？

（部分学生对于数学上的“直线”已经有了自己的想法，并积极地举手想要表达。教师没有让举手的学生回答，而是——）

师：请把你心里想的数学上的直线在纸上画出来。注意，你画出的这条直线，要让别人能看出你心里是怎么想的，行吗？开始！

（学生画完之后，教师先呈现第一个学生所画的“直线”，如图3）

图3

师：你们看得懂她心里是怎么想的吗？

生1：我觉得她是想表达无限延伸的那种线是直线。

师：你是从哪里看出“无限延伸”的？

生 1：因为在美术课上，有些东西画不下去就可以画到纸的边缘上，只是画出图的一部分。她把直线画到了边缘，是因为画不下了。

师：她之所以画到了纸的边缘，是因为这张纸太小了。如果这张纸无限大，就可以无限地画下去，是吗？

（该生和其他学生都表示同意）

师：还有不同的画法吗？

（教师呈现第二个学生画的“直线”，如图4）

图4

师：谁看懂她心里的“直线”了？

生1：她想表达用尺子是量不出曲线的长度的。

师：我们现在要画的是什么？

生：（齐）直线。

师：孩子，你自己说，好吗？

生 2：我是这样想的：数学上的直线是不能有长度的，曲线是量不出长度的，所以它是数学上的直线。

师：曲线，我们能不能量出它的长度？

生：（齐）能！拉直了量。

（教师呈现第三个学生画的“直线”，如图5）

师：谁能读懂他的心？

生1：因为纸太小，从边缘到边缘没有画完，还能继续画。

师：孩子，你是这样想的吗？

生 2：不是。因为我觉得数学上的直线是有宽度的。

师：原来你觉得数学上的直线是有宽度的，所以这里不是表示两条，而是表示它的宽度。

生 3：我不同意！因为直线是一条线，它不是一个面。有宽度那就成了面。

师：直线是线而不是面，有宽度了就是面，这里就成长方形了。是这个意思吗？

生：（齐）是！

师：是呀，数学上的线是没有宽度的！

师：我刚才看到，有小朋友是这样画的（如图 6）。你觉得，横着画与竖着画相比，哪种更能表达他想画的是一条直线呢？

图6

生 1：我觉得应该是横着画。

师：为什么呢？

生1：因为横过来的比竖着的直线要长些。

师：还有更能表达出是直线的画法吗？

生2：有！斜着画。

师：同意吗？

（有些学生响亮地回答：“同意！”）

师：有不同的意见吗？

（又有一些同学举手表示“有”）

师：他们会有怎样的不同意见呢？

（学生在四人小组内各抒己见，然后反馈）

生1：因为斜着画是有两个端点的，就可以测量。

师：他是不是认为这是两个端点呢？

生2：我觉得这三种都不能表达是直线。从平常人来看的话，都是从一端画到另一端，而不是放射到外面去。

师：哦，平常人不知道你是想无限延伸出去的，只是因为纸张太小，所以只能画到纸张的边缘。那刚才有人说，第三种更能表达出是直线，这种观点你同意吗？

（“不同意。”有部分学生说）

生3：因为它也有两个端点，而且平常人看到的只是对角连起来的线段，更长一些而已。

师：第三种更长，那是把它当作什么来看？

生：（齐）线段。

师：我们小朋友把它画到纸张的边缘，想表示没法再画出去了，是吗？

生：（齐）是！

生4：他们都是想向两方无限地延长。既然都是无限地延长，就不能说哪个更长了。

师：刚才有同学说，我们的这种想法一般的人是不知道的，这可怎么办呢？还有不同的方法吗？

生 5：先画一条线，再在两端画上箭头，这样，人家就不会知道它有多长了。

师：两端画箭头，这箭头是什么意思？

生5：无限地延长。

师：我想问问，一般人看得懂吗？

（“看得懂！”许多学生回答）

生6：我觉得应该在画的直线上面写“无限延长”。

师：哦，你是想写个说明来告诉别人。

生7：我觉得直线就是有一个出发点，然后这条直线有无数个消失点。

（“啊？”学生中出现了小声的议论……）

生7：因为它是无限延长的，所以你不管画到哪里，总会有一个消失点。因为这张纸画不下，所以你只要标出一个消失点，它会消失到另外一个不知道的地方去。

师：这个消失点是会乱跑的，是吗？

（“不是……”生 7连忙解释。教师则拿出一支激光笔，打开激光笔射出一束光，比着手势追问：这点是不是这样歪歪曲曲乱跑的）

生 7：不对，应该是笔直地射出去的。

师：笔直地射出去，射在了哪里？你们看到了吗？（生：射在对面的墙上）这条就是我们讲的直线，对吗？

（几个顺着说“对”的学生马上连声说：“不对！不对！”）

师：为什么？

生 8：因为这还是线段，它有两个端点。

师：光线的另一端在对面的墙上。你刚才说“消失”，是什么意思？

生7：这个点还会延伸到墙的后面。

师：你的意思是，把这墙打通了，而且把墙后面所有的东西都打通。

生7：你这边打通了，说不定打到宇宙的某一处。

师：那就这样，请宇宙中所有的星球等物体都让开，因为我这个点要过来了。

（学生都呵呵地笑开了）

师：我们这位小朋友敢于表达，而且非常有想象力：这个点沿着一个方向可以永不停止地消失在茫茫宇宙中。

师：同学们，从激光笔中的这点射出的这条光线，就是我们数学上讲的直线，是吗？

（“射线！”有部分学生响亮地回答）

师：射线是什么意思呀？

生1：它是从一个点出发，还有一个点可以无限延长的。

师：（指着激光笔）其实，就是这个点向一方无限地延长所得到的这条线就叫射线。那直线是怎样的呢？

生2：直线是无限延长的。

师：射线不也是无限延长的吗？

生 2：（用手势比画）先向右无限延伸，再向左无限延伸。

生3：射线是向一个方向无限延伸，而直线是向两个方向无限延伸的。

思考：“线段是直的，可以量出长度”，肯定有学生会由此猜测直线是无限长的。教师此时可以指名学生回答，揭示出直线的概念。然而，教师却让学生把心里想的数学上的直线在纸上画出来，并要求能让别人看出他是怎么想的。为什么？因为班级学生是有差异的，对于问题他们会有自己的思考，形成属于自己的想法。倘若让个别学生回答，直接揭示直线的概念，那样将会掩盖不同的想法（包括错误的想法）。事实上，有学生会从“线段的长度可以度量”推测“直线的长度不可测量”，而他认为“曲线的长度是不能测量的”，所以就画了一条曲线。还有学生在思考着直线与线段的区别：直线也应该是直的，要有不同的话，会不会直线是有宽度的？当然绝大多数学生认为直线是无限长的，所以从纸张的左边缘画到右边缘，甚至将两头标上了箭头……这些才是学生最真实的、个性化的表达。这些个性化的表达，才能引发学生间的有效互动：比如，对于“曲线的长度是不能测量的”，学生建议“拉直后进行测量”，从而使学生认识到直线不能测量并不是因为它是弯曲的，而是因为它是无限延伸的。又如，对于“直线是有宽度的”，有学生发表不同的意见：直线是一条线，有宽度就不是线而变成面了。再如，对于“哪种画法更能表示画的是一条直线”，在许多学生认为那条对角线最长，更能表示是一条直线时，有学生表示反对：因为它也有两个端点，而且平常人看到的只是对角连起来的线段更长一些而已。他们都想表示直线，直线的长度都是无限长的……互动中不断生成新问题，思维随之不断拓展和深入，学生对线段、直线、射线这些概念本质的理解也不断深化，而且空间想象力得到锻炼，数学的无限思想得到渗透，特别地，那种针对不同意见提出自己主张的批判性思维能得到较好的培养。而这些，才是影响学生终身发展的核心素养。

师：生活中能找到直线的样子吗？

生1：光是直线。

师：哪里的光线？

生1：打雷前的闪电。

师：闪电这光线可以看作一条直线，有想象力！还有吗？

（学生难以举出例子）

师：这样的例子确实很难找，但我们可以造一个。

（学生展开空间想象，创造出用两根激光笔向相反方向发射出的光线，并不断进行质疑，最后达成共识：由一点向两个相反方向无限地延伸所形成的图形，就是直线）

师：我们已经知道，射线是由一个端点向一个方向无限延伸的，而直线是由一点向两个相反方向无限延伸的。那你能画出直线吗？

（“能。”“不能。”学生又有不同的意见）

师：能画出来的，它的长度总是有限的，它就是线段了。那明知是画不出来的，老师还偏让你们画，这不是故意为难你们嘛！

师：那你能画出射线吗？

生：也画不出来，因为它也是无限长的。

师：既然直线、射线都是画不出来的，那数学上怎样进行交流呢？告诉你们，数学家有了统一的表示方法，大家都能看懂哪条是数学上的直线、射线或线段。想学吗？请自学课本第 38～39页。

（学生自学课本上的表示方法后——）

师：（指着黑板上的线段）怎样表示？

（学生很快说出线段的两端用字母A、B表示，读作线段AB，也可以读作线段BA）

师：直线怎么表示呢？

（结合学生回答，教师画出直线，如图7。学生很快读出：直线AB或直线BA）

图7

师：对于直线，还可以怎么表示？

（学生很快说出可以用一个小写的字母表示。教师结合回答表示出直线，如图8）

图8

师：怎样表示射线呢？

生 1：先画一条线段，再在线段的一头继续画一点。

师：像教师这样画可以吗？

（教师先画出一个端点，再从这个端点向一方画出去）

师：接着呢？

生1：这个端点用字母O表示，在射线的任意一个地方画一个点，用字母A表示。

（结合回答，教师板书，如图9）

图9

师：我们怎么读呢？

生：射线OA。

师：还可以怎么读呢？

生：（齐）射线AO。

师：还可以这样读，是书上讲的吗？再看看书吧！

（学生又一次翻开了课本……）

师：读射线AO，可以吗？

（有学生发现是不可以的）

生 1：因为它的一头 O表示的是开始，不能放在后面。

师：如果是射线AO的话，那图形应该是怎样的？

（教师指名学生在黑板上画出来。结果，学生在图9的基础上用红色的粉笔从 A画到O，马上引起其他学生的质疑：这样不就成线段了吗？应该在O处延长出去一些）

师：现在红色的这条才是射线AO。前面的那条只能读作射线OA。

（这时，教师画出下面两条射线，如图10）

图10

师：怎样读出这两条射线呢？

（学生有点儿茫然）

师：读作射线O，你觉得如何？是指向右上方延伸的那条，还是向右下方延伸的那条？

生：分不清射线O指的是哪一条。

师：应该怎么办？

（学生建议：在两条射线上分别任取一点用字母 A、B表示，这样就能表示是向哪个方向无限延伸的射线了。读作：射线OA、射线OB）

思考：对于线段、直线、射线的表示方法，我以为这只是一种书写形式的表示而已，可以让学生自学课本来学会。但是，其中对“射线”的表示方法，学生可能会有问题。我的教学主张是：有问题，绝不轻易放过。教师应该诱发学生充分暴露自己的错误想法，就像课中的“‘射线OA’还可以怎样读”那样，学生读作了“射线AO”，从而引起争议，加深对隐藏于表示方法中射线含义的理解，给学生又一次发现问题、进行探究的机会。

师：这节课，我们学了什么？

生：我们学了直线、射线，还有线段。

师：它们之间有什么联系吗？

生：线段是有两个端点的，射线是把线段的一个端点保留，把另一个端点无限延长，而直线是把射线中原本保留的端点也无限延长。

师：像这样建立起知识之间的联系，很好！其实，它们的共同点是：都是直的线。但直的线不一定就是直线，向两方无限延长的是直线，只向一方无限延长的叫射线，而有两个端点可以测量出长度的叫线段。

思考：让学生归纳所学的知识，特别是让学生着眼于知识间的内在联系进行阐述，不仅促进学生结构化知识的形成，而且能培养学生建立联系的意识。这种从联系的角度去观察现象、发现问题、进行探究的方式，能提高学生主动学习的能力。

（作者单位：上海市宝山区教育学院）

《小学数学思维训练与能力培养》简介

学习是一种认识过程，思维是学习过程的核心。《小学数学思维训练与能力培养》这本书就突出强调了学习过程中的思维训练。

该书是由北京市朝阳区实验小学校长陈立华、副校长魏淑娟等人所著，他们根据小学数学的特点，把发展学生思维能力放在教学的中心位置，并将有关思维理论应用到教学中，使教学实验取得了可喜的成绩。因而，该书不仅有理论上的阐述，还有实践层面的探索——结合具体课例，在数的认识、图形的认识、数的运算、运算技能、数学应用题方面，就如何通过教学增强学生的数学思维能力进行了阐释。相信该书会对当前小学数学教师的教学有所启发。