数学发现需要猜想，更需要科学的验证

◇吉智深

数学发现需要猜想，更需要科学的验证

◇吉智深

编者按：

本期讨论的话题是：我的想法错在哪里？（详见本刊2017年第1期）因为学生是带着旧知学习新知的，所以学生自然会用类比的方法依据旧知得到一些结论。在教学中我们经常会遇到如宋老师课堂上的问题：既然三角形的面积是对应长方形面积的，那么，所旋转成圆锥的体积就应当是相应圆柱体积的，这有什么不对吗？

如何应对学生的这种“推理”？以下几篇文章也许会给您以思考和启迪。

一、数学教学需要直觉背景下的猜想

直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力。直觉在人类发明和发现过程中起着不可忽视的作用，凯库勒发现苯的分子结构的过程和阿基米德找到辨别王冠真假的方法就是最典型的例子。数学教学也应该培养学生的直觉思维能力，如何培养呢？鼓励学生在直觉背景下进行猜想就是方法之一。学生已经知道三角形面积等于底乘高的，经过类比，他们也直觉地认为圆锥的体积也等于底面积乘高的，即：圆锥体积是等底等高的圆柱体积的。虽然这样的结论是不正确的，但是能通过直觉类比得出这样的猜想是难能可贵的。

二、数学直觉思维可能会犯错

直觉的非逻辑性决定了它是有缺陷的，它缺乏严密性与可靠性，也就是说直觉思维经常会犯错。学生会犯错，数学家也会犯错，如费马认为形如22k+1的数一定是质数，后来被欧拉用k=5的反例所否定。学生从三角形面积的计算公式推广到圆锥体积计算公式，本身就不严谨，面积是平面图形的，而体积是空间几何体的，把二维空间的结论推广到三维空间是不可靠的。虽然直觉思维经常会让我们犯错，但我们又要容忍直觉思维的存在，因为创新过程需要直觉，它比逻辑思维更富有创造性。

三、用科学实验的方法来检验猜想

那么如何检验我们的猜想呢？我们应该了解猜想应满足的三个条件：简单性、可独立检验性和不会很快被证伪。如果缺一个条件，都不是科学意义上的猜想。对于“圆锥体积是等底等高的圆柱体积的”这个猜想，我们可以用实验的方法来检验是否正确。如用水或者沙子把圆锥形的杯子倒满两次，看是否能把等底等高的圆柱形的杯子装满，如果不能装满，就要很快否定我们的猜想。接下来我们应该做的就是：把圆锥形的杯子第三次装满，倒入圆柱形的杯子中，看是否刚好装满。这就是一种勇于探索的精神、一种尊重科学的精神。

四、用数学证明的方法来获得真理

数学证明让数学脱胎于常识和经验，使得数学证明得出的结论成为普遍适用的真理。数学证明不但让人获得演绎推理能力和归纳推理能力，同时也让人变得更加理性。虽然小学生不可能听懂“圆锥体积是等底等高的圆柱体积的”的证明，但作为老师要有这种意识：要让学生学着确认他所学的那些知识的正确性，这比算得多更有意义。

（作者单位：江苏南通师范高等专科学校）