高中数学概率题解题技巧及错误总结

杨祺帆

（巩义市第二高级中学 河南巩义 451200）

概率统计在生活中的应用是非常广泛的例如对于一些不确定事物的分析和预测、对于一些确定性事物的结果统计，几乎用到概率方面的知识。在高中阶段的数学概率知识学习过程中，学生要善于利用自己的错题进行技巧总结和方法分析，为进一步提高自己实际应用能力打好基础。[1]

一、概念的错误界定

在解决概率的问题时，学生常常会因为题目的概念解读错误而做错题目，这也是概率解题过程中常常出现的错误类型。例如，学生常常将“非等可能”与“等可能”搞混。有这样一道题目：同时抛掷两枚色子，求所得的点数总和为6的概率。学生很可能被点数总和为6这一语言所误导，因为抛掷两枚色子的情况下出现的点数2、3、4…12等一共11种事件类型，而所得点数总和为六的情况只占11种类型中的一种基本事件，他们认为概率p等于1/11。但事实上基本事件的类型不止有11种，例，点数之和为2的只有（1,1）情况，但是点数之和为六的却有（1，5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）共五种形式，因此，实际上基本事件的类型一共有6x6等于36种形式，并且这36种事件的发生概率是相，两色子点数总和为六的概率为P等于5/36。再比如，学生常常将对立事件与互斥事件的概念搞混。已知有红色，黑色，白色和蓝色四种颜色的纸牌，随机分给甲乙丙丁四位学生，每位学生只能得到一张纸牌，请问事件1甲分得红牌的事件与事件2乙分得红牌的事件是对立事件还是互斥事件呢？很多学生认为答案是对立事这是因为。这是因为他们没有将对立事件和互斥事件的概念明确，实际上，2事件一旦对立，则必定是互斥事件，但是互斥事件却未必是对立事件，并且互斥的概念适用于多个事件，但是对立的概只适用于两个事件。两个世界互斥，则说明两个事件不能同时发生，可以只发生其中的一个，但可以两者都不发生，但两事件对立，则表示它们有且仅有一个事件会发生。在这道题目中，甲分得红牌和乙分得红牌，可以两者发生一个也可以一个都不发生，因此他们两的事件因是互斥但不对立的。[2]

二、顺序的错误界定

有序事件和无序事件也是高中数学阶段概率题目常常出现的一种问题类型。例如这样一道题目已，其中存在3件次品，将这10件产品一件一件不放回地进行抽取，抽取4件，求抽取的2件样品中恰好有1次次品的概率。学生会认为第一次抽取的方法有10种，第二次有9种，第三次有8种第四次有7种，因此一共有10×9×8×7个基本事件。设从4件样品中恰好取出1件次品的事件，因此事件A一共有种取法，最终答案为P=1/48.分析这一道题目，需要用到排列的概念，即考虑到抽取的顺序，但是在上述的计算过程中却只用了组合的方法，没有考虑到抽取的顺序。这就是因为学生没有了解到在什么情景下需要使用组合的方式在什么情景下需要使用排列的方式。在这一题目中有两种解题的思路，一种是采取排列的方式，另外一种是采取组合的方法。用排列的方法解决问题既，任意取出四个含有个基本事件，其中又包含了个基本事件，因此，最终得到的答案为P(A)等于而采用组合的方法，学生可以将不放回的抽取4件转化为一次性抽取4件，因此，整个事件有个基本事件，而A中又包含个基本事件，因此，最终得到的答案为P(A)等于由此可见，学生在解决排列组合问题的时候，必须要分清排列和组合之间的区别，这两者的区别就是是否按照顺序排列。排列是从n个不同的元素中取几个不重复的元素，是按照顺序进行排列的。而组合则是从n个不同的元素中去几个不重复的元素组成一个子集，但不考虑子集中各个元素的顺序，只要掌握了这一点，学生就能够顺利的解决排列问题和组合问题。

三、错误的辨认界定

在概率题目中常常会出现可辨认的球，不可辨认的球，相同颜色的球，不同颜色的球等等，这些信息其实都是混淆学生的概念的，不论颜色和大小，学生只需要根据这些球是否可以辨认进行题目的解答。例如，已知有n个大小和形状都相同的球放入到m个编号不同的盒子中,求事件A:某指定的n个盒子中恰好有一个球的概率。这一题目是概率题中难度较高的，很多学生会认为这种可能的结果数为其中包含有n！种结果，因此不可否认的是，学生的这种解题思路是正确的，但是解法确实不全面的，因为题目并没有告知求事，可辨认的还是不可辨认的。如果这些小球是不可辨认的，那么答案则是正确的；如果小球事可辨认的，那么答案则是错误的。为了便于学生的理解，可以采用图示的方法，用正方形表示盒子，用圆表示求，将盒子按照号码排列起来，如图所示。

这样的m个盒子有n+1个隔断，然后将n个球任意的放入m个盒子中，每一个盒子不用限制球的数量，可以按照任意的顺序排列，可以去别的所有可能出现的结果为也就是说交n个不可辩的球放入指定的m个盒子中使得每一个盒子刚好只有一个球的方法，只有一种，因此事件A只包含一个结果，最终的答案为

由此可见，在高中数学的概念习题，解题过程中，学生的易错点普遍在于概念的区分，因此，作为高中生，在学习的过程中要注重对于基本概念的理解，分析自己错题产生的原因，实现变废为宝，在错题中总结经验。