三角函数易错剖析

黄立华

三角函数作为一种特殊的函数模型，历来高考都有涉及.但在初学三角函数时，学生或多或少会出现这样或那样的错误.本文就一些常见的典型错误实例加以分析，找出错误原因，仅供参考.

一、诱导化简不善，中途草率作答

〖例1〗设函数f（x）=sin（2x-■），x∈R. 求f（x）的奇偶性.

【错解】∵f（-x）=sin（-2x-■）=-sin（2x+■）≠±f（x），∴f（x）非奇非偶.

【错因】对题目及解题过程运算不彻底，没有充分利用诱导公式进行化简.

【正解】∵f（x）=sin（2x-■）=-sin（-2x+■）=-cos2x.

故f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x）.

（或f（-x）=sin（-2x-■）=-sin（2x+■）=-cos2x）.

∴ f（x）是偶函數.

〖剖析〗

在判断函数的奇偶性时，由于定义中的任一个x都必须存在一个-x ，故首先函数的定义域需关于原点对称；其次，要寻找f（x）与f（-x）是否有相等或互为相反的关系.

在寻找f（x）与f（-x）是否有相等或互为相反的关系时，切忌半途而废！或者说，运算化简“要将革命进行到底！”

【练习】已知函数f（x）=sin（2x+？仔），则f（x）是（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数

D. 既不是奇函数又不是偶函数

〖答案〗A.

二、平移变换理解不到位导致错误

〖例2〗将函数y=sin（6x+■）的图像上各点向右平移■个单位，求平移后所得到的函数解析式.

【错解】y=sin（6x+■）■ y=sin（6x+■-■）=sin（6x+■）.

【错因】教材所强调的顺序是“平移变换—周期变换—振幅变换”，不能混同于“先周期变换再平移变换”，有些图像变换错误往往就在于此.

【正解】y=sin（6x+■）■ y=sin[6（x-■）+■）]=sin（6x-■）=-cos6x.

〖剖析〗

在函数的平移变换中，理解f（x）→ f（x±？覬）的具体含义，注意其与f（x）→ f（？棕x±？覬）、f（？棕x）→ f [？棕（x±？覬）]两者含义的差异，需深刻理解.

【练习】要得到函数y=cos（2x+1）的图像，只要将函数y=cos2x的图像（ ）

A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位

C. 向左平移■个单位 D. 向右平移■个单位

〖答案〗C.

三、因忽略定义域而导致错误

〖例3〗已知f（x）=-2asin（2x+■）+2a+b（a>0），x∈[■，■]是否存在常数a，b，使得f（x）的值域为[-3，■-1]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由.

【错解】f（x）=-2asin（2x+■）+2a+b.

∵a>0，f（x）∈[-3，■-1].

∴当sin（2x+■）=-1时，f（x）max=2a+2a+b=■-1.…（1）

当sin（2x+■）=-1时，f（x）max=-2a+2a+b=-3. ……（2）

由（1）（2）解得a=■，b=-3.

∴存在常数a=■，b=-3使得f（x）的值域为[-3，■-1] .

【错因】在求函数y=sin（2x+■）的值域时，忽略了函数的定义域x∈[■，■] .

【正解】∵x∈[■，■]，∴2x+■∈[■，■] .

∴-1≤sin（2x+■）≤■.

又a>0，f（x）∈[-3，■-1]，

∴-2a×■+2a+b=-3，-2a×（-1）+2a+b=■-1，解得a=1，b=■-5.

∴存在常数a=1，b=■-5，使得f（x）的值域为[-3，■-1].

〖剖析〗

在研究函数的过程中，先搞清函数的定义域是求解函数其它问题的前提.本例中因为自变量的小范围致使正弦函数的值取不到一般情况下的[-1，1]，因此产生错误.

【练习】函数y=lg tan x的增区间（ ）

A.（k？仔-■，k？仔+■）（k∈Z） B.（k？仔，k？仔+■）（k∈Z）

C.（2k？仔-■，2k？仔+■）（k∈Z） D.（k？仔，k？仔+？仔）（k∈Z）

〖答案〗B.

四、因不盘活角而死算陷入泥潭

〖例4〗已知sin（■-？琢）=■，求cos（■+2？琢）的值.

【解法】：由已知得■cos？琢-■sin？琢=■，∴cos？琢=■sin？琢 +■.

由cos？琢=■sin？琢+■，sin2？琢+cos2？琢=1，得4sin2？琢+■sin？琢-■=0 .

…………………

大多数学生因计算复杂半途而废.

【正解】只要将■-？琢拆分为■-（■+？琢）即可.

由sin（■-？琢）=sin[■-（■+？琢）]=cos（■+？琢）=■.

则cos（■+2？琢）=cos2（■+？琢）=2cos2（■+？琢）-1=-■.

〖剖析〗

在研究三角函数时，时刻牢记先注意角的变化，理清已知角与所求角的“和、差、倍半”关系，架起这座彩虹来贯通它们，则所求问题就变得简单了.

【练习】已知cos（■+？琢）=■，且-？仔<？琢<-■，求sin（■-？琢）的值.

〖答案〗■.

五、因忽略约束条件而导致错误

〖例5〗在△ABC中，已知sin（A+■）=-■，求sinA.

【错解】∵sin（A+■）=-■<0.

∴A+■为三、四象限角.

∴cos（A+■）=±■.

∴sinA=sin[（A+■）-■]=sin（A+■）cos■-cos（A+■）sin■

=-■·■±■·■=■或-■.

【錯因】角A+■的取值范围除了受sin（A+■）<0的条件约束外，还受角A是三角形的一个内角这一条件约束，题目这一隐敝条件往往易被忽略.

【正解】∵0

又∵sin（A+■）=-■<0，

∴？仔

故cos（A+■）=-■.

∴sinA=sin[（A+■）-■]

=sin（A+■）cos■-cos（A+■）sin■

=-■·■+■·■=■.

〖剖析〗

在三角函数的求值过程中，要善于从所给条件中发现、挖掘题目所包含的隐含条件，简化求解过程.解题时关注三角形中的角的范围、已知角的范围、符号法则等所带来的限制.

【练习】已知在△ABC中，sinA+cosA=■，求tanA的值.

〖答案〗-■.

六、因忽略三角函数的有界性导致错误

〖例6〗求函数f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3的值域.

【错解】f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3

=2sinxcosx+2（cosx-sinx）+3.

设cosx-sinx=t，则1-2sinxcosx=t2.

∴2sinxcosx=1-t2.

∴f（t）=1-t2+2t+3=-（t-1）2+5.

∴t=1时，f（x）max=5 ∴f（x）的值域为（-∞，5].

【错因】忽略换元后新元的取值范围，从而导致错误.

【正解】f（x）=sin2x+2■cos（■+x）+3

=2sinxcosx+2（cosx-sinx）+3.

设cosx-sinx=t，则t=■cos（■+x），

∵x∈R ∴t∈[-■，■].

故1-2sinxcosx=t2，∴2sinxcosx=1-t2.

∴f（t）=1-t2+2t+3=-（t-1）2+5.

∴t=1时，f（x）max=5 ，当∴t=-■时，f（x）max=2-2■.

∴f（x）的值域为[2-2■，5].

〖剖析〗

由于三角函数中正弦、余弦值都是有界的，故换元法中与其有关的变量都要注意其变化范围.若丢了根本，谈何春暖花开？

【练习】求函数f（x）=■cos2x-4cosx+■的最大值.

〖答案〗8.

以上仅对三角函数中出现的六类典型错误展开剖析，以避免或减少这类错误的再次发生.“不积小流，无以成江海”，在平时的学习中，我们只有多一点关注易错易漏知识点，纠错反思，才能汇聚成真知的海洋，我们何乐而不为？