基于认知负荷理论的数学课堂教学策略

蒋荣清

(浙江省台州市教育局教研室　318000)

认知负荷是指人在学习或问题解决过程中进行信息加工所耗费的认知资源的总量[1].认知负荷理论是澳大利亚心理学家约翰·斯威勒(Johm·Sweller)综合工作记忆理论、认知资源理论和图式理论于20世纪80年代末首次提出，按照约翰·斯威勒等人的分类，认知负荷分为内在认知负荷、外在认知负荷和关联认知负荷(包括元认知负荷).一般来说，由学习材料的本质特性引起的认知负荷称为内在认知负荷；由材料的组织形式、呈现方式引起的认知负荷称为外在认知负荷，外在认知负荷不会促进学习，反而还会减少学习时的工作记忆容量；关联认知负荷是指与促进图式建构及自动化过程相关的认知负荷，不过这种认知负荷不会阻碍学习,反而会促进学习. 上面这3种认知负荷是可加的，但其总量也是有限的，不能超过工作记忆所提供的认知资源范围.

认知负荷存在的基础是人类信息加工容量的有限性，也就是说可同时利用的心理资源是有限的.这种有限性主要表现在两个方面：注意的选择性和工作记忆容量的有限性.选择性是注意最基本的特性，它能将心理活动指向某些目标而忽略其它刺激，在问题解决和学习过程中常会出现许多无关的认知过程，这就要求注意集中指向某些必须的过程.工作记忆容量有限性是指工作记忆只可以同时处理5至9个信息单位，即7±2，平均数量为7，其单位为组块.如果需要进行加工的信息总量超过工作记忆容量的限制，那么在工作记忆系统中保持的部分信息就会遗失，这意味着人在某时某刻用于处理外界信息的认知资源是有限的[2].

认知负荷理论为研究学业负担(学业负担就是认知负荷)的实质，进行高效率学习提供了崭新的视角.就数学教学而言，它启示我们：要通过一些方法策略来尽量减低对数学学习产生消极影响的认知负荷，如外在认知负荷，极力扩大对学习积极影响的认知负荷，如关联认知负荷(包括元认知负荷).为此，特提出如下的课堂教学策略，供同行参考.

策略一、加强图式的建构与自动化，形成良好的认知结构

图式是人脑中的知识单元、知识组块和知识系统.其中包括核心概念与怎样和何时应用核心概念的知识之间的关系.

图式的建构与自动化是最基本的学习机制，也是学生学习的重要目标.图式的建构与自动化需要占用认知资源，引发关联认知负荷，它促进与激励学生把认知资源分配到学习中去，从而促进学习.如果学生的认知结构中已经获得了合适的自动化图式，那它就有可能以更大的组块记忆问题状态，对输入的信息进行选择、组织，并将其整合到自动化图式中，就可减少对认知资源的需求，有助于问题的解决以及新图式的获得.

在数学教学中，教师不仅要引导学生建构数学的概念图式、原理图式、问题图式、运算图式和方法图式等初级认知图式，还要引导学生建构由初级认知图式整合成的高级认知图式，更要站在系统的高度去传授知识，让学生自觉地形成数学图式.

(1) 在新授课教学中，加强引导学生进行数学概念图式和规则图式的建构

数学新授课是以传授新知识，获取新技能为特征的一种课型，是数学课的主要课型.一般而言，数学新授课的任务是学习数学概念、公式、法则、定理等新知识，理解和运用这些新知识.也就是说，数学新授课的主要任务是构建数学概念图式、数学规则图式等初级认知图式.

图式是在图式例子的基础上形成的，为了减轻工作记忆的负担，教师必须至少提供两个图式的例子，然后引导学生通过对图式例子的概括得到初步的认知图式.显然，这样得到的认知图式还是初步的，是处于知识的陈述性阶段.按照现代认知心理学的知识分类学习论及数学学科的特点，接着是图式的应用，通过应用将陈述性知识转化为程序性知识，在应用中，需要进行各种的变式训练，使其达到自动化.最后，教师还要引导学生用适当的方式，如列表法或图解法或纲带目法等方法编制认知图式.

例如，一次函数(人教版数学八年级下册第89页)概念认知图式的编制(图1)：

图1

(2) 在习题课的教学中，加强引导学生进行解题模块的建构

习题课是新授课的递进.它主要是运用前面学过的知识，形成某些数学题的解题技能，从而加深对数学知识的理解，并培养数学思维和数学意识.在习题课的教学中，教师要引导学生在对数学问题解答的基础上进行反思、归纳，建构解题模块.再通过变式训练，使学生的解题技能达到自动化.所谓解题模块就是学生自己头脑里对某类数学问题的解决方法的结构，是一种数学方法图式.

例如，求一次函数解析式的解题模块，可以先让学生尝试解一些求一次函数解析式的题，再建构如下的解题模块(图2)：

图2

接着是通过由浅入深的变式训练，使学生求一次函数解析式的解题技能达到自动化.构建解题模块的过程，有比较、有分类、有抽象、有寻找联系等等，思维要求高，不仅有利于提高学生的解题能力，而且还有利于培养学生的创造性思维.

这里需要指出的是，解题模块的建构不仅在习题课上，而且在其它课型上也要重视引导学生建构.例如，复习课、试卷讲评课中的综合题教学，要重视引导学生建构一题多解、多解归一、一题多变、多题归一等问题解决的解题模块，使学生面临特定的数学问题情境时，能够正确选择所需图式，快速地解决问题.

(3) 在复习课教学中，加强引导学生进行高级认知图式的建构

讲授学习了一段知识后，常常要安排一节或几节复习课，复习课的一个重要任务是对学过的知识进行梳理，也就是说将学到的初级认知图式整合，形成高级的认知图式.如学习了一次函数的概念、图像、性质及一次函数与方程不等式的关系后，可引导学生建构如下的高级认知图式(图3)：

图3

在章节复习中, 还要引导学生提炼该章节中的数学思想方法, 建构不仅含有知识点， 而且含有解决问题的思想方法等交织在一起的高级认知图式.如人教版数学八年级下册第19章“一次函数”的高级认知图式的建构(图4).

最后是通过一章一小结, 一本书一中结, 中考或高考复习一大结的系统化复习, 把各自高级认知图式编织成一张更庞大的、严密的、有序的、立体的高级认知图式来储存于学生的头脑之中.

图4

(4) 站在系统的高度去传授知识，让学生自觉地形成数学图式

数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间有者深刻的内在联系.在数学教学中，教师要着眼于知识之间的联系与规律，着眼于数学思想方法的渗透，让知识、思想方法总是以系统的面貌出现在学生的面前.

图5

这样的教学过程，使学生从知识与系统的角度，掌握了3个不等式之间的内在联系：其本质特征都是非负数性质的某种表现形式；使学生体验到了广义对称思想在沟通3个不等式内在联系过程中的魅力；使学生受到了数学的对称美、和谐美和统一美的熏陶；使学生体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变或发展而来,从而理解知识的来龙去脉,形成良好的认知结构.

如果教师站在系统的高度去传授知识，那么学生也会站在系统的高度去把握知识、掌握知识之间的联系与规律，自觉地形成数学图式. 相反，如果教师不注意挖掘知识之间的内在联系，导致学生由于没有知识组块可以利用，将学习材料的元素在工作中记忆中作为彼此独立的元素进行加工，那么就会加重外在认知负荷.降低学习效果.

(5) 加强元认知监控，提升图式获得的速度与质量

学习者用于监控图式建构和存储所耗费的认知资源称为元认知负荷，元认知负荷是关联认知负荷的一种，元认知负荷对图式的获得与自动化有积极作用. 因为元认知监控会导致元认知负荷的产生，所以，在图式建构与自动化的教学中，教师要有意识地引导学生进行元认知监控.

例如，在图式建构与自动化的教学中，可这样引导学生进行自我提问式的元认知监控：我学习的目标是什么？我怎样达到这个目标？我为什么要这样做？还有其它的方法吗？我的思考过程有没有问题？如果有问题，则问题在哪里？等.

在图式建构以后，可这样引导学生自我提问：我注意到图式的结构特征了吗？在什么情况下使用图式我掌握了吗？等.

“自我提问”就是让学生通过自我意识相应地调节自己的思维和行动.问题一旦发现，则要教他们如何尝试矫正并加以评价.

加强元认知监控，对于提升图式获得的速度与质量有着十分重要的作用，而且有更好的学习迁移效果.

综上所述，在数学图式建构与自动化的过程中，不仅使学生体验到数学图式不断完善的发生过程，而且更为重要的是，在这一过程中，学生头脑中建构的图式也臻于完善. 图式的建构与自动化促进了知识的系统化，形成了良好的数学认知结构，进而大大地提高了知识的检索效率，促进了积极的正迁移.

策略二、追求简约教学，控制内在认知负荷和减少外在认知负荷

内在认知负荷是由所学材料本身的“复杂”程度决定的.外在认知负荷与学生的学习不直接相关，而是与教学材料的组织和呈现方式过于“繁琐”有关，不合理的教学材料的组织和呈现会使学生需要更多的认知资源来进行与图式建构无关的活动，会减少学习时的工作记忆容量.当内部认知负荷较低时，学习材料的组织形式和呈现方式就十分重要.因此，在数学教学中，为了控制内在认知负荷和降低外在认知负荷，需要化“复杂”、“繁琐”为简约，追求简约数学教学.所谓“简约数学教学”，是指教师对数学课堂教学的情境创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等要素精确把握和经济妙用，使课堂变得更为简洁、清晰、流畅、丰富、深刻，进而达到优质和高效[3].那么，怎样在数学课堂教学中进行“简约数学教学”？

(1)简约地组织教学内容

简约的数学教学内容是教师通过对数学教材进行“再创造”，且符合学生“数学现实”的学习内容.简约的数学教学内容的容量及难度适当，有利于学生把认知资源集中在与图式获得的相关活动上.简约的数学教学内容对内在的认知负荷起着决定的作用，如果一节课的教学内容过难或学生的先前知识较匮乏，那么所导致的内在认知负荷就会过高，超过学生的心理发展水平，导致学生接受不了，其学习效率也不高.

(2)简约地整合文字和图形

在数学教学中，教师常常会向学生提供同时含有数学文字语言、符号语言和图形语言的数学问题.根据认知负荷理论的研究，学生在解决此类问题的过程中，首先是在工作记忆系统中整合图形和文字(或符号)，在这种整合的过程中，图形元素的搜索时间是影响学习效率的一个重要因素，在图形元素搜索过程中，工作记忆系统需要保持文字和符号信息，从而引起较大的认知负荷.因此，为了降低这种外在的认知负荷，需要缩短图形元素搜索的时间，也就是说，要对图形和文字进行整合.

简约地整合文字和图形，要求数学文字语言的叙述简洁，将文字和符号材料分成几个片断，直接嵌入到图形元素中，或者将文字或符号所表示的关系用箭头指向图形中相应的元素.这样便于学生的认知加工，并且还可以降低工作记忆的负荷，促进学习效率的提高.相反，如果将文字和符号与图形严重分离，不但增加了信息提取的难度，而且导致学生在文字和符号与图形之间频频回顾来寻找它们之间的关系，这恰恰会导致注意分散，降低学习效果.

(3)简约地进行例题教学

简约地进行例题教学，要求教师按照学生的认知规律设计例题教学.譬如，对于课堂引入的例题设计，要引发学生的注意，能促使学生积极主动的去思考、去探究、去解决问题，并伴随一种积极的情感体验.在新授课中，当学生初步理解数学的概念、规则后，例题教学要重在辩别性，模仿性和初步变式.在习题课中，例题的教学设计要超越模仿和初步变式，即进一步变式和初步综合(与其它知识技能)、初步应用、初步开放和初步的总结并形成结构.复习课的例题教学应注意一题多解、多解归一、一题多变、多题归一等.

在当前的数学新授课教学中，有些教师讲授了数学概念后，往往忽视了概念应用例题教学的层次性，设计的例题太综合，难度太大，导致学生无法接受.这种随意扩大内在认知负荷的例题教学，加重了学生的学业负担，得到的是低效的学习效果.

(4) 简约地组织教学语言

简约的教学语言要有逻辑性、形象性、感染性、趣味性、精确性和启发性等.简约的教学语言可以避免学生由于教学语言传递的信息加工而额外占用更多的认知资源.

事实上，在数学课堂教学的其它环节，教师也都要以化“繁琐”为简约的目标进行教学设计，通过控制内在认知负荷和减少外在认知负荷，使有限的认知资源用在刀口上，提高数学学习的效率.

策略三、调节学习活动的心理努力，优化认知负荷

心理努力是指如何对认知资源进行分配[4].心理努力体现在心理投入、情绪投入、时间投入3个方面.心理投入是指除情绪以外学生在特定学

习上的心理付出和所消耗的心理资源，包括注意、感知、记忆、思维、想象等以及所付出的意志努力[5].情绪投入是指学生在学习活动中投入的情绪资源.时间投入是指学生在学习活动中所耗费的时间资源.在心理努力中，心理投入是最为核心部分.教学活动的主体是学生，调节学习活动的心理努力的关键也是学生.因此，在数学学习活动中，教师要让学生明白自己的认知负荷是一种“投资”，这种“投资”是讲究效益的.为了追求最佳的效益，必须对自己的心理努力进行调控，如果自己的学习负担过重或不够，则要分析是心理投入过重或不够，还是情绪投入过重或不够，或是时间投入过重或不够，然后根据具体情况进行调节，使心理努力处于恰到好处，从而优化认知负荷，达到较好的学习效益.相反，如果不进行心理努力的调节，造成认知资源分配的不合理，或认知负荷的总量大大超过学生的认知资源限制，那么数学学习的失败也在所难免.

结束语事实上，数学学习过程中的认知负荷并非越小越好，认知负荷过低或超高都是不利的.对学生的数学学习而言，存在着最佳(适当)的认知负荷问题.因此，在数学教学中，教师不仅要采用合适的教学策略来支持学生对认知资源进行合理的配置，而且还要培养学生自己能够应对高度的认知负荷甚至超负荷，进行高效率的数学学习.