数学推理的价值意蕴及其教学策略

周晓甜

摘 要：数学推理是学生数学核心素养的重要组成。数学推理有其本真内涵及价值意蕴。在数学教学中，教师要开发数学推理的教学策略与路径，催生学生推理意识、培育学生推理能力、积累学生推理经验、优化学生推理品质，帮助学生逐步学会推理。

关键词：数学推理；价值意蕴；教学策略

推理是学生数学学习的必备品质，也是学生数学核心素养的关键能力。学生在数学学习中主要的学习方式就是推理，推理伴随着学生数学学习的始终。《2011年数学课程标准》明确指出，应将推理能力的发展贯穿于学生的整个数学学习过程之中。小学是推理教学的起步阶段，在数学教学中，教师应当依据学生的年龄特征和数学知识特质进行数学推理教学。

一、数学推理的本质内涵及价值意蕴

（一）“数学推理”释义

所谓“数学推理”，是指学生在数学学习过程中由已知判断（前提）推出未知判断（结论）的过程。一般认为，推理主要包括合情推理和演绎推理两种形式，其中合情推理又包括类比推理和归纳推理。在解决问题的过程中，合情推理通常用于探索思路，发现结论；演绎推理通常用于证明结论。在数学教学中，推理应该是学生主动发生的行为。如果教师在这个过程中过度地“引”“导”，那么学生就可能出现虚假推理的现象。比如暗示性推理、无端式推理等，表面上是学生在进行推理学习，其实质是学生在接受教师的指令。

（二）“数学推理”价值

1. 基于学生深度学习的需要

数学推理让学生数学学习不再停留于表层，而是展开积极猜想、论证、甄别、判断等，这些能够导致学生的数学深度学习。比如，合情推理有助于萌发学生创新意识，演绎推理则有助于培育学生严密性思维。这些都是学生应具备的深度学习品质，体现着深度学习要求。在数学教学中，教师要引导学生进行清晰度高、逻辑性强、方法灵活的推理。通过数学推理，形成学生理性思考的能力。

2. 基于学生思维品质的需要

数学推理的本质就是发现、探究。离开推理，学生数学学习就只是直观感知，只能停留在感性层面，而不能上升到理性层面。推理是启迪学生数学思维，发展学生数学思想、智慧的重要手段与方法。数学推理不仅能够发展学生类比、归纳思维，而且能够发展学生逻辑、理性和形式化思维。换言之，没有推理就没有学生高端思维品质的发展。在学生数学学习中，推理不单纯地依赖证明、计算，还可以借助说理、举例等多种方式来进行、展开。

3. 基于数学学科特质的需要

东北师范大学史宁中教授认为，“数学核心素养有三：抽象、推理与模型”。可以这样說，推理是数学学科最为本质的特点。如果一个学生在数学学习中没有学会推理（无论是合情推理还是演绎推理），那么很难说这个学生具备数学核心素养。著名数学家彭加勒说：“推理始终应是数学的核心，是数学的根本特性。”而波利亚也曾这样说：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习推理，这是他的专业，也是他那门学科的特殊标志。”

推理基于学生旧知，导向学生新知，推动着学生在数学方面的发展，能够实现学生数学素养的提升。随着学生数学知识的不断丰富，他们或多或少都积累了推理经验和方法，如联想、类比、归纳、猜测、验证等。因此，在数学教学中，教师必须引领学生推理实践，培养学生推理能力。

二、数学推理的教学策略及展开路径

学生数学推理，尤其是小学生数学推理有别于成人，其有着自身的特质。比如推理有一定的情理性，但少了些逻辑性；推理有一定的模糊性，但可能缺少逻辑严谨性，他们常常不经仔细分析就提出假设；推理夹杂着形象性，具有半逻辑化特点，他们还不能完全脱离实物、图片等。在数学教学中，教师要容忍学生“不严格的清楚”，发展学生合情推理与演绎推理的能力。

（一） 数学推理的教学策略

1. 完善推理工具

小学阶段的数学知识主要涉及“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“综合与实践”等内容。这些内容包含着丰富的数学思想方法，如假设、替换、对应、数形结合、集合、函变等。在数学教学中，教师要让数学思想、方法成为学生数学推理的“工具包”，助力学生数学推理。

2. 形成推理技能

小学数学知识丰富、涉及面广，这就为学生数学推理提供了许多模型（比如乘法模型、平面图形面积计算模型等）。从推理形式上看，合情推理主要是借助猜测、验证，演绎推理主要是形成“三段论”（包括大前提、小前提和结论）；从推理内容上看，合情推理着力引导学生发现，演绎推理着力引导学生论证；从过程与方法上看，合情推理可以大胆些，演绎推理却必须严谨、小心。

3. 明晰推理程序

为方便学生推理，教师应该让学生明晰推理的一般过程。首先要理解题意，然后要领悟数学本质，进行论证或求解。在这个过程中，教师要将分析法（执果索因）和综合法（由因导果）融入其中。一般情况下，推理过程就是“情景——目标——论证”的数学学习程序的展开过程。在数学推理中，要让学生完整地经历这一过程。

（二）数学推理的教学路径

1. 搭建支架：催生学生的推理意识

推理意识能够形成学生数学推理的理性自觉。只有拥有推理意识，才能让学生在数学学习中自觉地想到推理。在数学教学中，教师要搭建支架，催生学生数学推理意识。比如教学《小数的意义》，当笔者借助米尺让学生直观认识到“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几”时，适时追问：三位小数、四位小数还需要我将整数“1”平均分成1000份、10000份吗？学生迅速类比推理：三位小数表示千分之几、四位小数表示万分之几。同时，有学生迅速反过来类比推理：十分之几表示一位小数、百分之几表示两位小数等。正是由于笔者将推理支架搭建在学生的“最近发展区”，并通过问题形成问题情境，才让学生的推理意识自然萌发。

2. 融合方法：培育学生的推理能力

学生推理能力的发展不是一朝一夕的事，它需要教师的悉心培育。在数学教学中，教师要引导学生将合情推理与演绎论证融合起来，让学生的推理空间多维化、推理过程高效化。比如，教学《比的基本性质》，教师可以先和学生一起复习“商不变的规律”“小数的性质”以及“分数的基本性质”，夯实学生数学推理的母体。如此，学生就能自然地形成“比的基本性质”的猜想，并自觉从“除法算式、分数、小数和比”之间的关联来进行演绎论证。再比如，教学《三角形的内角和》，教师可以和学生复习“三角形的分类”等知识，让学生从“长方形内角和”演绎推理“直角三角形内角和”，由“直角三角形内角和”演绎“锐角三角形及钝角三角形的内角和”。接着，由直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内角和完全归纳出“三角形的内角和”。这样的推理深化了学生数学思维，构筑了数学推理体系。

3. 开发载体：丰富学生的推理经验

在数学推理中，合情推理具有或然性，演绎推理具有必然性。只有丰富学生的推理经验，才能消解学生的假象推理，让学生的数学推理不再空洞化、形式化、表面化。比如教学《3的倍数的特征》，有学生根据2的倍数、5的倍数的特征类比推理3的倍数的特征，通过举例验证，能发现猜想是不正确的。据此，有教师直接指引学生计算各个数位上数字的和，看有什么发现。这样的发现，对学生而言是一個“伪发现”。其实，在教学中，教师完全可以运用“百数表”，让学生圈出2的倍数、3的倍数、5的倍数的数，学生就能从不同的排列上产生两点发现：一是3的倍数不同于2、5的倍数；二是学生能够发现，在百数表中，十位上的数依次加1，个位上的数依次减1。至此，教师可以适时追问“什么不变”。如此，引导学生猜想“3的倍数的特征”。通过多次猜想、验证，学生的合情推理更具合理性。这个过程，自然能够丰富学生的推理经验。

4. 转换视角：优化学生的推理品质

数学中有许多原理、定理，当一个教师在教学中用原理、定理来指导学生学习行为时，教学就蜕变成简单的“告诉”。其实，教师应转换视角，向学生“抖露”原理、定理的一小部分，而剩余部分则让学生借助推理自行构建出来，这样的教学才是有效教学，这样的推理教学才能优化学生的推理品质。比如教学《圆柱的体积》，教师可以向学生“抖露”圆的面积推导过程；教学《异分母分数加减法》，教师可以向学生“抖露”整数加减法、小数加减法和同分母分数相加减；教学《乘法交换律》，教师可以向学生“抖露”低年级的“一图两式”“乘法验算”等数学知识等。正是通过教师的视角转换、隐性发掘，才延展了学生的推理路径，拓展了学生的推理内容。

小学阶段的数学推理，应当从以合情推理为主，逐步过渡到以演绎推理为主。对于合情推理与演绎推理，教学中要注意相互融通、不可偏废。对于学生而言，重要的是用推理意识面向知识，用推理的思想探寻规律，用推理的态度对待数学。学生将学习如何完成从简单到复杂、从特殊到一般、从已知到未知的推理过程，这一过程在中学将得到进一步强化。为此，小学阶段的推理教学要“时刻准备着”。