高中数学教学中“问题链”设计的原则和策略分析

◎李应春

根据高中数学抽象思维要求较高的特征，有时为了解决一个难度较大或灵活性较强的问题，往往需要通过设置一连串的中间问题进行启智导学，这一连串问题就是一个问题链。一般在给出问题的大前提后，把问题分成几问，再对各问层层加深，不断提高。而各问间既相对独立，又具有或紧或松的联系，往往前一个问题是后一个的基础和铺垫，后一个问题是前一个问题的深化和递进。

问题链是教师在特定的条件下，为实现某一特定的教学目标而设计的。从形式上看，问题链是一问接一问，一环套一环；从内容上看，它是问问相连，环环紧扣；从目标上看，它是步步深入，由此及彼。它的每一问都可使学生的思维产生一次飞跃，它像一条锁链，把疑问和目标紧紧地连在一起。“问题链”不是教师提几个问题加上学生的回答，而是师生双方围绕环环相扣的问题情境，进行多元的、多角度的、多层次的探索、学习和发现。

在教学中，如果教师总能根据不同的教材课型、不同的目的要求、不同的学习对象巧妙地设置“问题链”，创设特定的问题情境。随着“问题链”的逐一呈现，学生或独立思考，或合作交流，或师问生答共同探讨，将学生的思维一次又一次地推向高潮，极大地激发学生的学习热情和学习兴趣，突出学生在学习活动中的主体地位，鼓励学生独立思考、大胆质疑，不知不觉中既解决了问题又获得了知识或方法。

一、“问题链”设计的原则

“问题链”设计原则，是指进行“问题链”设计时所必须遵循的基本要求和准则，对问题设计具有普遍的指导意义。

1.“最近发展区”原则 教师在进行“问题链”设计时，必须根据每个学生的“最近发展区”进行设计。维果斯基认为在进行教学时，必须注意到学生有两种发展水平：一种是现有的认知发展水平；另一种是即将达到的认知发展水平。把两种水平之间的差异称为“最近发展区”。要使设计的问题能达到预设的目的，教师必须能够设计出切入到学生的认知系统中去的问题。问题设计时难易适度，过于浅显的问题，学生往往脱口而出，形成一种表面化的“积极”与“热闹”，实际上思维仍停留在低级、单一的水平；但难度过高的问题会让学生畏难，失去学习兴趣。应在“现有水平”与“最近发展区”的结合点，也就是俗话所说的“跳一跳就能摘到果子”，既要避免“轻而易举”，又要避免“百思不得其解”等现象。因此，教师要了解学生现有的认知水平，了解学生要学习新知识应具备的基本知识和基本能力，学生还有何欠缺，需要在讲新课之前相应地设计哪些问题加以补充或引导，打开学生的思路。

例如，我在讲授《函数的概念》时，“函数的概念”对于每一个高一的学生而言都不是一个陌生的概念，他们在初中阶段已经学习过函数的概念，但是初中阶段是把函数理解为变量与变量间的关系，而高中阶段函数的概念课的定位应该是在以往的概念上加以可能的提升。针对学生的实际认知水平和思维能力，可以列举一些具体的函数。例如，一次函数、二次函数和反比例函数等，这些函数都是学生熟知的，从这些函数切入，使学生体会函数是数集与数集之间的一种特殊对应关系，在此基础上使学生对函数的理解从初中阶段变量说中的变量与变量间依赖关系逐步抽象为高中阶段对应说中的集合与集合的对应关系。把这个过程的发生呈现给学生，使学生的思维由“未知区”向“最近发展区”过渡，以此达到把变量说抽象到对应说的目的，这样的设计符合学生的认知规律，易于理解与迁移，提高能力。

2.循序渐进原则 人们对于数学问题的认识是一个由浅入深、从现象到本质、从低维到高维的循序渐进的过程，是学生主动建构的知识的过程。因此，“问题链”的设计就要遵循这种原则，要由简单到复杂、由已知到未知、从具体到抽象环环紧扣地组成问题链，引导学生思维逐步深入。教师根据学生的实际知识水平设计问题链，针对班级人数多，学生程度不齐的实际，问题链里面包含一连串各种各样的小问题。问题之间是相互联系的，有知识先后之分、难易之分，通常后一个问题是前一问题的深层挖掘，从而形成一串问题链。教学中不应追求知识的“一步到位”，要体现知识发展的阶段性，以符合学生的认知规律，要减小问题与问题之间的梯度，不要把概念过早地“符号化”强加于学生，要让学生充分经历知识的发生与发展的过程，在问题的引导下自然达到一定的高度，以使学生对知识的自主建构成为可能。

这三个问题形成一串循序渐进的问题链。原题条件n＝9学生可以枚举出每一项再求和，但是当n取值很大时，枚举就遇到困难，必须理解这个高阶矩阵的含义；解决问题2的时候发现，n＝2010时，它的过程也和n＝9不一样；问题3是对本题深层的挖深，在前面问题的引导下，使学生能够意识到本质，能够对n进行奇偶的讨论，从而使学生对这个问题的理解达到了一定的高度。

3.整体性原则 “问题链”中的一连串问题应该是一个有机的整体，不能像散兵游勇那样零打碎敲，而要紧扣教学目标、教学重点及难点，围绕某一中心问题进行渐进式的、全方位的设问。各个问题之间是环环相扣、相辅相成的，能够让不同的学生在同一问题上得到不同的发展，使学生乐于参与，主动探索，从而让每个人都有体验成功的机会。同时在成功的基础上，又能去探索更深层次的问题。

如在研究“偶函数的概念”时，我设计问题链：

问题1：在讨论了二次函数的基础上，大家知道f（x）＝x2的图像关于y轴对称，那么怎样的函数的图像关于y轴对称？

（由学生所熟悉的二次函数出发，由已知到未知，由具体到抽象。但是学生在解决这个抽象的问题时，通常会遇到困难，可以设置以下子问题。）

问题2：什么叫做函数y＝f（x）图像关于y轴对称？

（这样的提问可使学生从图像对称的本质上出发，图像是点的集合，在图像上任取一个点P，再由点的任意性可得，任意x∈D，有f（－x）＝f（x）。）

问题3：是否就此找到了判别函数图像关于y轴对称的方法？

（学生往往在这里忽视了思维的严谨性，在这个问题引导下学生的思维自然达到一定高度，要考虑它的逆命题！）

（引导学生类比得到函数y＝f（x）的图像关于原点成中心对称的充要条件。）

问题5：函数图像有关于y轴对称、原点成中心对称，那么有没有关于x轴对称？

问题6：我们讨论了偶函数、奇函数，还有既不是偶函数也不是奇函数的函数，那么是否有既是偶函数又是奇函数的函数？

（最后提出两个思考题，引发学生的思维逐步引向深入。）

这一连串问题紧紧围绕着函数的奇偶性这一教学目标和中心问题，进行全方位的设问，引导学生发现、探索函数奇偶性的需要、可能，以及研究方法，使之顺应知识的发生、发展的自然过程，形成一个有机的整体。

二、“问题链”设计的策略

与原则相比，策略只是提供一种方向性的“指南”，但是好的策略却可以帮助和指导我们设计出高质量的问题。根据问题设计原则，结合我的教学实践，总结“问题链”设计的几条策略：

1.利用学生的探究欲望设计“问题链” 苏霍姆林斯基曾经说：“学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者”。因此，教师的问题设计应有助于满足学生这种需要，学生自己思考问题，对于知识的理解和建构过程可以交给学生来完成，教师在其中只要充当一个引导者就够了。

例如，我在二面角的平面角教学中设计如下问题情境：

（1）问题情境

问题1：在贺卡转动过程中形成了看上去不同的二面角，用什么量来刻划它们的不同呢？

生：角。

问题2：这个角在哪里？用哪个角来刻画？

多么完美无差的对话，可蒲琳心里却像塞了棉花，那种虚胀让她难受。张盈盈指引给她的生活标准就是只要条件允许，只要她愿意，什么都可以做。

生：……

（用贺卡作为教学实物，可以使学生体验到二面角的几何直观，更迅速地把学生引入到课题情境中去。）

（2）提供背景材料

问题3：以前遇到过类似的问题吗？

生：两条异面直线所成角和直线和平面所成角。

问题4：当时我们是如何处理的？

生：都是将空间问题转化为平面问题，直线与直线所成的平面角。

（教师并没有直接给出二面角的定义，而是设计问题引导学生自主探究，让学生在思考中体会空间问题平面化的思想。）

（3）在层层递进的问题中形成“问题链”

问题5：现在我们怎样在二面角中构造一个平面上的角来刻画二面角呢？

生：边界上的角。

问题6：这种说法正确吗？虽然我们画出了二面角，但实际上在这个图形中只有这条棱是具体存在的，而其他的六条边都是虚拟出来的。

生：从棱上一点O出发分别在半平面α和半平面β内作垂直于棱的射线OA和OB，用∠AOB来刻画。

问题7：还有没有其他方法呢？是不是一定要垂直呢？不垂直可以吗？可不可以过O点做两条与棱成30°角的射线来刻画啊！也可以得到一个平面上的角，也随着二面角的变化而变化啊！

生1：情况不唯一。

生 2：与我们直观不符......

（通过几个设问层层递进，使学生主动探究，从而体会出二面角定义的合理性。）

二面角的平面角的概念是本节课的教学难点，如果直接给出二面角平面角的概念，有一种“强加于人”的感觉，学生只能被动地记住。通过这样层层递进的问题链，引导学生进行自主探究，最后形成统一的认知。在这个过程中渗透了将空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。

2.利用数学实验设计“问题链” 传统的高中数学课堂教学的模式下，多以老师讲、学生听，这样的教学模式使得很多学生不习惯主动地思考，只处于被动地接受的地位。利用数学实验设计问题链教学就是一种对传统教学手段的变革。数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，如《几何画板》、图形计算器等，让学生通过自己动手，进行观察、猜想、分析、证明有关数学问题的过程。教师应尽力给学生提供数学活动的体验，多给学生提供实践操作的机会，引导学生通过信息技术工具，主动、积极、批判地思考问题，创造性地解决问题，充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习。

例如，在《幂函数》的教学中，传统教法是用“描点法”作出几个图像，然后直接给出幂函数y＝xa的性质。这有些“强加于人”的感觉。如学生对为什么要把指数a分为a＜0、0＜a＜1和a＞1几种情况加以讨论不一定理解，学习过程比较被动。而引导学生自由选择a的值，用图形计算器作出图像，形成对幂函数性质的感性认识。然后再用图形计算器在同一坐标系内作图像，在此过程中，利用数学实验分层次、阶梯性地创设问题链，可使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的“问题链”触及学生的兴奋点，激起学生探究的欲望。最后由“形”到“数”，用定义加以证明，实现了观察——猜测——论证的过程，学生由丰富的直观感觉容易过渡到形象思维，并提高到抽象思维。

“归纳—猜测—证明”是一种重要的数学思想方法，通过数学实验的设计使学生在这个过程中自己提出问题、归纳实例、提出猜想以及证明猜想，体验发现的乐趣。

3.利用试题变式设计“问题链” “变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论；转换问题的形式或内容；创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。”教师以某一知识点为中心，从不同方向、不同角度设置一串“问题链”，一方面它能培养学生灵活多变的思辨能力，另一方面又能澄清学生的模糊和错误的认识，帮助学生从整体上把握知识的内在规律。

例如，在学习了等差、等比数列的通项公式后，我给出以下的变式题：

（1）已知数列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an（n∈ N*），求数列 ｛an｝的通项公式；

（2）已知数列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋1（n∈ N*），求数列｛an｝的通项公式；

（3）已知数列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋n（n∈ N*），求数列｛an｝的通项公式；

（4）已知数列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋kn＋b（k、b为常数，n∈N*），求数列｛an｝的通项公式；

（5）已知数列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1（n∈N*），求数列｛an｝的通项公式；

通过变式既可以把具体的问题抽象化，提升学生抽象思维的能力。

教学实践实验研究表明，根据本文所提出的“问题链”设计原则和策略，在教学中设计恰当的“问题链”对提升教学质量与改善学生非智力因素是较为有效的。一方面，它对学生的数学知识技能的掌握、数学学习态度和思维方式、学习兴趣等方面的效果较为显著，是提高高中生数学学习成绩的一种有效方式。另一方面，“问题链”的设计也需要智慧，对教师的课堂问题预设能力及课堂问题生成能力有较高的要求。客观上，教师设计出一个“好”的“问题链”对其专业水平和教学能力具有一定的提升作用。