数学学科核心素养的结构及其教学意义

宁 锐李昌勇罗宗绪



数学学科核心素养的结构及其教学意义

宁 锐1，2，李昌勇2，罗宗绪3

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241； 2．四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610068；3．成都双流中学实验学校，四川 成都 610200 ）

针对《高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科核心素养的定义以及6大数学学科核心素养，建立了一个数学核心素养的结构模型．将6大核心素养分为3组，视为从低到高的3个层面：数学思维素养（包括直观想象和数学抽象），数学方法素养（包括数学运算和逻辑推理）和数学工具素养（包括数据分析和数学建模），反映了从数学知识学习到数学应用的数学素养发展过程．将数学学科核心素养定义中的思维品质、关键能力和数学情意（包括情感、态度和价值观）视为核心素养的3种成分贯穿于3个层面中，从而形成了一个数学素养结构模型．在这个结构模型的基础上，进一步讨论3种教学形式：知识教学、解题教学和问题解决教学，分别对应不同层面数学素养发展的焦点．

数学学科核心素养；结构模型；思维素养；方法素养；工具素养

2018年1月《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《数学课标（2017）》）出版，正式公布了数学学科核心素养的概念及6大核心素养．这是在落实“十八大”提出“立德树人”的教育根本任务，以及教育部2014年发布《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》[1]的背景下，以高中课程标准修订为契机对整个数学教育深化改革所进行的顶层设计．从这一角度来看，数学学科核心素养及其内容就不应仅仅看成是针对高中数学课程改革，更应该看成整体数学教育改革的新指向．那么，怎样理解数学学科核心素养的内涵及其关系，以及怎样在数学学科核心素养视角下建构数学教学目标，就成为数学教育改革实践的重要议题．

1 数学学科核心素养的结构

1.1 数学学科核心素养结构的来源

《数学课标（2017）》定义了数学学科核心素养是“具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现”，提出了6大数学学科核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算，数据分析．课标分别阐释了6大核心素养的内涵，并指出这些数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机整体[2]．但课标并没有进一步阐释它们之间的关系．怎样把握6大核心素养之间的关系呢？史宁中提出数学学科核心素养的本质就是“三会”[1]，即会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．“三会”具体化形成了6大核心素养：数学眼光表现为数学抽象和直观想象；数学思维思考表现为逻辑推理与数学运算；数学建模和数据分析则可以看成是数学语言．这在一定意义上可以理解为对6种核心素养的分类，进一步将其理解为核心素养的3个层面，并就数学学科核心素养的定义的几个方面形成了一定的结构．

1.2 数学学科核心素养结构的模型构建

将6大核心素养分成3组：直观想象，数学抽象；数学运算，逻辑推理；数据分析，数学建模．分别称之为：数学思维素养，数学方法素养，数学工具素养．这3组素养形成数学学科核心素养的3个层面．这主要基于如下理解：直观想象和数学抽象看成是数学思维的两种基本形式，体现了认识事物和理解数学的思维特征，因而称之为数学思维素养．数学运算和逻辑推理看成是数学思维的基本方式，体现了建构和推演数学，以及运用数学知识来解决问题的方法特征，因而称之为数学方法素养．数据分析和数学建模看成是运用数学知识和方法来解决问题的基本途径，具有工具性特征，因而称之为数学工具素养．它们分别构成了数学学科核心素养的3个层面：数学思维素养是基础层面的素养，是按照数学方式来认识事物和理解数学的思维品质，体现了“会用数学眼光来观察世界”的思维性目标．数学方法素养是中间层面的素养，是在数学思维素养基础上发展起来的更具有数学方法特征的素养，学生只有掌握了数学运算和逻辑推理方法，才能真正培养起数学关键能力，体现出“用数学思维来思考世界”的方法性目标．数学工具素养是上层的素养，是运用数学知识和方法向外解决问题的素养，这不仅要求学生具有良好的数学思维和数学方法素养，而且需要学生具有积极的数学态度、应用意识和创新观念等数学情意特征，体现了“用数学语言来表达世界”的工具性目标．

依据上述理解，把数学学科核心素养定义中的3种成分与6大学科核心素养建立关联，构建了一个数学学科核心素养结构图，如图1所示．图1是由一个平面图表现的立体结构．横向的3列看成是数学学科核心素养的3种成分，指向数学学科核心素养基本定义中3个方面：（具有数学基本特征的）思维品质、关键能力和以及情感、态度与价值观（概括为“数学情意”）的综合体现．这里用虚线区分只是为了分析性地显示出它们的存在，实际上它们相互融合构成数学学科核心素养的“体”，学生完成任何数学活动和任务时3种成分通常是综合地起作用．这个“体”在纵向上由3个层面构成，分别为：思维素养、方法素养、工具素养，每个层面包括了两种数学学科核心素养．这里用实线区分，表示它们分界相对清晰，并且发展过程有一定的层次关系，但在同一数学活动中3个层面又常常同时得以发展．

从图1的内在特征来看，3个层面上的数学素养都包含了3种成分．反过来，不同成分也体现在不同层面的素养中．但在不同的层面数学学科核心素养的3种成分表现的分量有所不同：在数学思维层面，思维品质成分表现更为突出；在数学方法层面，关键能力表现更为突出；而在数学工具层面，数学情意成分更为突出．这种不同层面数学素养成分的倾向性用图1中对角线方块阴影来突出表示．

2 数学学科核心素养3大层面内涵及要素关系

在图1结构中，每一个层面都包含了两种核心素养，这两种素养为什么放在一起构成一个层面，它们之间有什么关系，这是理解这个结构的关键．

图1 数学学科核心素养结构

2.1 数学思维素养及要素关系

数学是研究数学关系和空间形式的科学，因此从数量关系和空间形式来认识、刻画事物的特征，反映和表达事物的关系及变化规律就是具有数学特征的思维活动．于是，数学思维素养的内涵就是指人能够从数量关系和空间形式来感知和认识事物的特征、关系和变化规律，形成数学概念与命题，并用数学概念和命题来表达事物的特征、关系和变化规律的思维特征．数学思维素养集中表现为两种数学核心素养：直观想象和数学抽象．

《数学课标（2017）》指出：直观想象是指借助于几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．可见，直观想象体现了形象化特征的数学思维．事实上，具有这种特征的思维形式不仅仅存在于几何学习中，而是存在于普遍性的数学思维中，即数学直观．张广祥等区分了几何直观和代数直观，并且将后者称为“模式直观”，并认为模式直观是培养代数想象力的基础[3]．模式直观是人们对事物之间逻辑关系的一种比较直接、形象的推断和理解．除了数学直观外，数学抽象是数学活动中普遍存在的另一种思维形式．史宁中指出：数学的研究源于现实世界的抽象，通过抽象得到了数学的研究对象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等数学方法，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律[1]．因此，《数学课标（2017）》把数学抽象素养定义为：通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．不仅表现为通过抽象得到数学概念与关系，数学规律与结构，而且还表现为用数学语言予以表征．与直观相对，数学抽象体现了从形式化和结构化角度认识事物的数学思维特征．

直观想象与数学抽象有相对立的一面，但也是统一的．“直观想象是实现数学抽象的思维基础”[1]，即在对数学对象进行数学抽象之前，往往通过直观想象的方式来感知和理解事物及其规律，然后通过数学抽象来形成数学概念、数学法则或命题．另一方面，通过数学抽象人们又能更加深刻地把握和理解数学概念和规律的实质．比如，通过对具体函数特征的归纳和概括，并利用集合语言来描述更加抽象的函数概念，实质上是更深刻地理解了函数概念的实质．可以说，直观想象是数学抽象的基础，数学抽象是直观想象的发展．因此，数学直观与数学抽象这两大核心素养是辩证统一地存在于认识事物和数学对象的学习过程中，是数学思维发展过程中的两种最基本的素养．

2.2 数学方法素养及要素关系

从历史上看，算法与演绎是数学发展的两种基本方法．李文林认为数学发展的总体过程“呈现出算法倾向与演绎倾向交替繁荣的螺旋式上升过程”[4]．数学运算是根植于数学发展过程中“算法”传统，而逻辑推理则体现了“演绎”传统，它们都是数学运演的基本范式．因此，数学运算和逻辑推理作为数学学科核心素养有着深厚的数学传统基础，也有着鲜明的数学方法特征．于是从这个角度来定义数学方法素养：指具有建构和组织数学对象及其结构，运用数学知识来解决问题的数学范式的思维特征．基本的数学范式有两种：一是按照数学公式法则和程序进行运算，即数学运算；二是按照数学命题之间逻辑关系进行推理，即逻辑推理．

《数学课标（2017）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决问题的素养．从数学学习过程来看，这一素养的形成常常经历了理解运算对象、形成运算法则、理解算理、选择和设计算法（运算方法与程序）、求得运算结果的全过程．在高级阶段需要理解数学运算中的程序化思想，以及构造运算程序，利用计算机来解决问题的能力．这一过程主要体现出归纳思维和算法思维．与之相对，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据原理或已证明的命题推出其它命题的素养．在学习过程中，逻辑推理素养主要经历：发现和理解事物中的数量关系或图形性质，建立数量关系或图形性质之间的因果关联，形成数学命题，对数学命题按照一定的推理方法进行说理或论证，直至用严谨的数学语言和推理规范对数学命题进行证明的全过程．在高级阶段需要理解逻辑推理中的公理化思想，理解通过公理系统来建构数学体系的数学方法范式．这一过程主要体现出演绎思维和推理思维．因此，这两种素养有相对的一面，但同时也是统一的．从总体来看，它们都可以看成是基本的数学运演的方法范式，一种是按照公式法则来演算结果，一种是按照逻辑来推导数学结论（数学命题）．当然，在教学实践中，这两种素养的发展有着更为丰富的内涵，相互为用，共同体现在建构数学和解决问题的数学活动中．这两种素养实质是在数学思维素养的基础上发展起来的，与数学知识直接关联的，突出表现一个人数学能力的素养．

2.3 数学工具素养及要素关系

前面两个层面的素养主要体现在数学对象的形成以及数学的推演，更多是指向数学学科内部的素养，也是传统数学教学中关注较多的素养．但是核心素养的根本理念是从学科指向外部的，即发展学生的核心素养最终的目的是适应个人和社会的发展的需要．中国学生发展核心素养定义为“指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[5]”．这既是中国学生发展核心素养的基本内涵，也必然是学科核心素养发展的方向．对数学学科核心素养来说，应该最终指向学生如何运用数学来解决个人和社会所面临问题的需求．从这个角度来看，发展学生数学学科核心素养的教和学应跳出数学，把数学的学习和能力的培养指向以数学为工具来解决问题的素养发展方向．为此，把数学工具素养定义为：能运用数学知识与方法针对个人与社会发展需要的，基于情境来发现和提出问题，分析和解决问题所必备的应用意识、创新观念以及相应的数学应用和创新能力的综合特征．简单地说，数学工具素养就是以数学知识和方法为工具来解决问题的素养．数学工具素养集中表现为两大数学学科核心素养：数据分析和数学建模．

《数学课标（2017）》指出：数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代化生活的各个方面．可见，《数学课标（2017）》把数据分析作为数学学科核心素养有着很深厚的统计学和时代背景，其本意是为了发展当今信息时代背景下学生的数据意识、数据分析和应用能力．《数学课标（2017）》中关于数据分析素养的内容主要包括：收集数据、整理数据、分析数据、构建模型、数据推断、获得结论．因此，数据分析可以看成统计的数学工具，与数学建模有着密切的联系．《数学课标（2017）》对数学建模素养定义为：对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是数学与外部世界联系的桥梁．可见，数据分析和数学建模这两种素养都是指向了解决问题的特征，特别是解决现实问题的特征．它们不仅反映了学生的思维素养和方法素养水平，而且更多地反映了应用数学知识和方法创造性解决现实问题的意识、观念与能力，具有突出的实践性．因此，这两种素养具有显著的工具素养的特征．

3 数学学科核心素养结构的教学意义

学生素养的发展不是空中建楼阁，而是要落实到学校的具体的课程教学实践活动中．因此，学生数学素养的发展的关键在于在具体的数学教学活动中如何聚焦数学学科核心素养的发展．尽管一个数学活动中常常包含着多种核心素养的发展，但是核心素养的各层面并不是同步发展的，不同教学活动发展核心素养的侧重点有所不同．这也是建立数学学科核心素养结构的根本目的，即用以提高发展核心素养的有效性．

《数学课标（2017）》在必修课程和选择性必修课程的内容体系都是以“数学三大主线+数学实践性活动”来设置的，课程结构与义务教育阶段的四大课程内容领域结构基本一致．因此，从总体来说，数学教学实践仍然是按照数学课程传统的学科领域知识内容体系以及实践性活动的专题来展开．学科领域知识内容的教学主要表现为数学知识教学和数学解题教学两种主要的教学活动，而以数学建模与数学探究为载体的数学实践性应用性主题则表现为问题解决教学活动．因此，下面探讨这3种主要的教学活动形式所聚焦的数学学科核心素养的发展．

3.1 在数学知识教学中聚焦发展学生数学思维素养

虽然数学学科核心素养的目标是超越具体数学内容的教学目标，但数学素养的发展终归是建立在数学知识的学习与理解之上．因此，无论是传统的“双基”，还是新课程之后的“四基”，知识的教学都是最基础的教学活动．这里的知识教学主要是指针对数学概念、定理和法则，甚至一些具体的数学思想方法（如“函数”的思想、配方法）等以及由此构成的数学知识系统的认识和理解的教学．很显然，知识教学既是基础层面的教学，又是最根本的教学．数学知识教学是数学素养发展的前提和基础，是传统数学教学的重要组成部分．但在应试教育背景下常常被异化，比如不强调数学知识产生的来源，仅仅记住概念或法则即进入解题训练等等．这样的教学不仅不利于数学知识的理解与掌握，也没有充分挖掘数学知识教学的教育功能．从发展学生核心素养的视角来看，知识教学对发展学生核心素养有什么作用呢？

中小学阶段的数学知识教学的主要教学目标是知识的理解．喻平把知识理解作为评价核心素养的一级水平[6]．知识理解表现在3个方面：一是了解知识的来源；二是理解知识的内涵与关系以及相应的数学方法；三是对所理解的知识的直接应用．因此，数学知识教学常常体现为3个基本的环节．第一，认识数学知识的来源（或背景）．数学知识来源常常包括现实经验来源和学生的认知来源，即根据学生已有知识和经验来建构学生知识理解的认知基础，即所谓奥苏贝尔的“先行组织者”，体现出苏联著名数学教育家斯托利亚尔数学活动的第一个环节“经验材料数学组织”[7]过程．这一过程常常是伴随着直观感知、模型想象的思维活动过程，指向了数学学科核心素养“直观想象”的发展．第二，数学知识对象的抽象．知识教学的最终目的是要获得抽象数学对象的认知和理解，因此在数学对象原型（或模型）直观感知的基础上要抽象和概括出数学对象的特征、要素和关系，以及数学表示方法，从而建立数学对象的认识．这一过程指向了数学学科核心素养“数学抽象”的发展．第三，数学知识的应用．这一过程的应用不是在复杂情境的综合应用，而是针对抽象数学对象的原型（或模型）的直接应用，使抽象数学对象与直观的经验的原型更加紧密地整合起来，形成完整的数学对象模型，从而建立起对数学对象完整的认识和理解．正如希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束[8]．从而，数学知识教学中突出地体现了数学直观和数学抽象之间辩证的综合发展过程．

具体来看，3种主要不同的数学知识——概念、法则和命题，体现出不同的认识过程．对于几何概念来说，有的是先有对图形形状的感知（如三角形），有的是先有对不同图形模型的辨析（如圆周角），然后才建立抽象的几何概念；对于代数概念来说，常常要先对具体的代数对象的直观分类和辨析，形成分类模式，然后才形成代数概念．因此，概念的认识是在对概念对象的图形感知或模式识别的直观认知基础上抽象出数学概念的过程．对于数学法则来说，有的是对具体算式中所蕴含的模式的直观认知，并概括出相应的法则的过程；有的是通过对数学关系的规律的直接感知来获得一般关系式；有的是把特殊对象的法则规律概括为一般化法则．对于几何命题，首先是对几何图形中关系的直观感知，然后再概括成命题．这是对数学对象中的关系特征的感知才抽象成数学命题的．从这些数学知识的学习过程来看，体现了直观想象和数学抽象的思维活动过程．

总之，数学知识的教学，体现了直观想象和数学抽象的认知活动，也体现了数学思维素养的发展过程．因此，这一层面的教学活动，应该聚焦学生的数学思维素养的发展．

3.2 在数学解题教学中聚焦发展学生数学方法素养

解题教学是中国数学教学的传统，并在中国教学实践中普遍存在．一般来说，教授完数学知识之后，教师往往以例题、习题等形式展开解题教学，复习课也属于解题教学．虽然在应试教育背景下解题教学常常被异化为题海战术，但是解题对于数学学习的重要性是毋容置疑的．正如郑毓信称之为“中国数学教育的‘问题特色’”，提出以“核心问题”的教学来促进学生核心素养的发展，以“问题引领”和“问题驱动”来促进学生的数学学习[9]．不过中国数学教学实践中的“问题”并不是西方“问题解决”中所指的“开放性问题”，更主要的是基于课程序列中数学知识的理解和应用而设计的习题类数学问题．因此，中国的解题教学在一定程度上可以看成是知识教学的延伸和拓展．解题教学的主要目的在于巩固和加深数学知识的理解、数学技能的训练、思想方法的掌握，以及数学能力的培养．

在解题教学中，解答数学问题的基本范式就是数学运算和数学推理．相对于知识教学，解题教学主要是针对数学知识和数学方法的运用．与知识教学不同，解题教学主要是按照数学范式进行操作性演算与演化，即最终得到解答的结果．通过解题教学主要目的是促进学生获得解决数学问题的经验与策略，学习数学方法和数学思维方式．

怎样在解题教学中发展学生的数学方法素养呢？数学运算是数学解题活动中最为普遍的方式，在数学教学实践中基于法则展开数学运算有着丰富的内涵和层次．《数学课标（2017）》强调了数学运算素养要明晰运算对象和以运算法则为依据．从数学运算的对象来看，中小学数学运算的对象主要体现在不同抽象层次的数学对象，比如，数的运算、代数式的运算、方程与函数运算、向量运算和三角形运算以及解析几何中的运算等．每一种运算都是基于明确的对象和特定的运算法则．从这一角度来看，数学运算素养首先要明确运算对象以及相应的法则．在教学实践中，常常是通过运算对象的变式以及不同对象之间的关联和转换来提高运算素养的水平，对于运算法则的深入理解则表现在算理的认识，需要一定逻辑推理能力．其次，从数学运算操作中的思维水平来看，也表现出不同层次，比如，根据公式法则进行运算，强调对象的准确性，运算程序的规范性，这是最基础的层次，属于数学技能层面；根据数学概念性质进行运算，涉及对相关概念的理解，属于数学理解与数学方法的综合，有一定的数学概念理解的要求，但算法的创造性要求并不高；根据数学方法进行运算，比如利用恒等变换方法、配方法、换元法、构造函数等进行运算，这是针对一些综合多种对象与数学方法进行运算问题，数学思维层次要求比较高，它需要综合地根据问题中的数学对象特点和规律，选取一定的数学方法，甚至创造一定的算法，经过一定的逻辑推理才能完成问题的解决．

推理是一种基本的数学思想[8]，也是数学方法，逻辑推理就是数学命题关系推演的基本方法．数学解题本质上都是逻辑推理，即建立条件和结论之间的必然关系．形式演绎推理主要体现在平面几何的命题证明中，即在欧氏几何公理体系框架下展开逻辑推理，这是学生初步系统学习数学推理的基本途径．几何命题反映了图形之间的关系．在命题教学时，要学会观察图形特征，提出命题，并用几何语言来表述问题，然后通过逻辑推理来证明命题．推理方法的多样性，不仅从不同角度反映了图形结构，而且体现了数学思维的灵活性和创新性．这些都是几何命题教学中逻辑推理素养的内涵．在代数解题中，按照法则进行数学运算，本质上也是基于算理的推理过程，而构造算法则类似于几何推理方法的创造性．在统计概念学习过程中，基于数据分析进行统计推断，本质上也是一种逻辑推理的思维方法，其逻辑依据则变成了统计规律（或定律）．因此，在各个不同的数学领域的数学解题教学活动中，都有着丰富的逻辑推理的内容，支持着学生逻辑推理素养的发展．

总之，数学解题教学中主要是运用数学运算和逻辑推理来解决数学问题，突出体现了数学方法范式．在数学解题教学活动中，学生通过数学解题不仅突出训练了数学运算与逻辑推理两种素养，而且加深了学生对数学对象和关系的理解，掌握了数学方法，形成有秩序合乎逻辑地认识和表达的理性精神．因此，这一层面的教学活动，应该聚焦学生的数学方法素养的发展．

3.3 在问题解决教学中聚焦发展学生数学工具素养

如前所述，数学工具素养是针对数学应用的素养，是一种从数学内部向数学外部迁移的素养，也是在数学外部以数学知识和方法为工具来解决问题的素养．中国传统数学教育中学生数学工具素养方面的发展是不足的．这是因为数学学习和教学往往是以考试为导向，而考试主要是数学内部的问题，因此学生学习很多数学知识与方法，能够很好地解决数学问题，却常常不知道在实际问题情境中如何运用数学知识和方法进行问题解决．研究核心素养的国际权威机构世界经济合作与发展组织（OECD）将素养定义为：运用知识、技能和态度满足特定情境中复杂需要的能力[10]．它所组织的国际学生评价项目（PISA）也主要测试学生在现实情境下运用数学解决实际问题的表现．因此，这里的问题解决主要是指基于综合情境（包括现实情境和复杂数学情境）中所展开的提出问题、分析问题、建立数学模型，运用数学知识和方法来解决问题，并能从问题情境中的现象或规律进行解释或推断，以及对问题结果或方法展开拓展等活动．问题解决教学活动主要表现课程标准中的数学建模与数学探究活动，同时把基于现实情境中运用数据分析方法来处理概率统计问题也看成问题解决活动．问题解决教学活动在教学实践中表现在3个方面．

第一，情境与问题解决．问题解决中的“问题”常常是在情境中产生的．文[11]论述了情境与6大数学学科核心素养之间的关系，表明情境与数学学科核心素养发展有着密切关系．新课程改革后，中国的数学教学突出了情境性，在综合实践课程领域，也设计了情境性的数学问题．这些情境虽然不是真正意义上问题解决中的情境，但从这些情境中观察和分析数学信息，用数学方式来表示情境中的现象与规律，甚至形成数学对象，以及采用数学知识和方法来解决问题等教学活动，都隐含着数学知识和方法应用的基本特点，也就体现了问题解决的特点．同时通过情境，感受和领会数学知识与情境之间的关系，从而潜在地形成了数学与现实密切联系的数学观，促进数学应用意识和能力的发展．

第二，数学建模与问题解决．《数学课标（2017）》设置了数学建模活动与数学探究活动的内容，使得发展学生工具素养显得更加突出．数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的综合实践活动，一般包括如下过程：首先，构建基于现实情境的数学问题．其次，通过对现实情境的要素与对象的数学关系与结构进行分析，建构相应的数学模型．再次，有的数学模型可能只是一个形式模型，还需要确定具体的参数，常常需要通过调查统计获取数据，通过计算获得数学模型参数．这样才建立起了描述情境问题的具体的数学模型，利用这个模型才能求解结果．最后，将根据模型求得的结果放入到原来情境中去检验，看结果是否符合实际的要求和条件，是否可以解释原情境中的现象与规律．当结果与实际情境有很大差异时，还需要改进模型，以便求出符合实际的结果．数学建模类的实际问题解决活动，不仅反映了学生综合地运用数学知识和方法解决实际问题的创新能力，而且也让学生体会了数学与情境问题之间的关系，培养了数学应用意识与创新观念，最终发展了学生知识、观念和能力相互整合的数学工具素养．

第三，数学探究与问题解决．数学探究是《数学课标（2017）》中另一类问题解决课程，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动．课标指出[2]：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程．具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜想合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论．因此数学探究性活动主要是在综合的数学情境中展开的数学创造性的探究活动，体现了学生整合数学知识与方法，数学运算与推理，关系推演与结构变化等高层次数学思维能力，是数学素养的综合体现，也可以看成是一种高阶的工具素养．

值得注意的是，上述所讨论的3种教学活动分别聚焦了不同层面的数学素养的发展．但实际上，每一种教学实践活动并不意味着仅仅只有一个层面的素养发展，而是3个层面的素养可能同时发展．因此，将图1中的核心素养结构图稍微变化一下来显示3种教学活动与数学素养发展的关系图（图2）．

图2 教学活动与数学素养发展关系

另外，以上3种教学形式不是孤立存在的教学实践，而是统一体现在完整的教学活动过程中．通常是首先完成知识教学，通过直观想象和数学抽象过程，建立了学生对数学知识的基本理解，突出培养学生数学思维品质；然后通过解题教学既巩固知识的理解，又学习数学运算和逻辑推理方法，突出发展数学能力；最后基于问题解决的数学知识和方法应用过程，通过数据分析和数学建模等活动，体会以数学为工具应用于解决问题的过程，认识数学与现实之间的关系，突出发展数学应用意识和创新观念．总体来看，数学素养正是随着教学活动的推进沿着图2对角线方向不断发展．

[1] 史宁中．高中数学课程标准修订中的关键问题[J]．数学教育学报，2018，27（1）：8-10．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：4-8，35．

[3] 张广祥，张奠宙．代数教学中的模式直观[J]．数学教育学报，2006，15（1）：1-4．

[4] 李文林．数学的进化——东西方数学史比较研究[M]．北京：科学出版社，2005：4．

[5] 核心素养研究课题组．中国学生发展核心素养[J]．中国教育学刊，2016（10）：1-3．

[6] 喻平．数学学科核心素养评价的一个框架[J]．数学教育学报，2017，26（2）：19-23．

[7] 斯托利亚尔．数学教育学[M]．丁尔陞，钟善基，王玉阁，等译．北京：人民教育出版社，1984：116．

[8] 史宁中．漫谈数学的基本思想[J]．中国大学教学，2011（7）：9-11．

[9] 郑毓信．中国数学教育的“问题特色”[J]．数学教育学报，2018，27（1）：1-7．

[10]  OECD. The definition and selection of key competencies: executive summary [EB/OL]. (2018-12-18) [2005-05-27]. http://www.oecd.org/pisa/35070367.pdf.

[11] 常磊，鲍建生．情境视角下的数学与核心素养[J]．数学教育学报，2017，26（2）：24-28．

The Structure of Mathematical Core Competencies and Its Teaching Significance

NING Rui1, 2, LI Chang-yong2, LUO Zong-xu3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. School of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610068, China; 3. The Experimental School of Chengdu Shuangliu Middle School, Sichuan Chengdu 610200, China)

This paper proposed a structural model of mathematical core competencies focusing on the definition of mathematical core competencies and six major elements put forward in Mathematics Curriculum Standard for Senior High Schools (2017 Edition). The six core competencies were divided into three groups at three ascending levels, i.e., mathematical thinking literacy (including intuitive imagination and mathematical abstraction), mathematical method literacy (including mathematical operations and logical reasoning), and mathematical tool literacy (including data analysis and mathematical modeling).This reflected the development of competencies of mathematics from mathematical knowledge learning to applications of mathematics. The thinking quality, key abilities, and mathematical affection (including emotions, attitudes, and values) in the definition of mathematical core competencies were regarded as three components throughout the three levels. Thus a structural model about mathematical core competencies was formed. On the basis of this structural model, three types of teaching were further discussed, including knowledge teaching, teaching for solving mathematical problems, and teaching for problem solving, which corresponded to the focus of the development of mathematical core competence at different levels.

mathematical core competencies; structural model; thinking literacy; method literacy; tool literacy

2019–01–21

四川省教育厅项目——核心素养视角下发展学生数学思维品质之教学研究（18SA0203）

宁锐（1972—），男，四川仪陇人，讲师，博士生，主要从事教师教育与数学教学研究．

G40–03

A

1004–9894（2019）02–0024–06

宁锐，李昌勇，罗宗绪．数学学科核心素养的结构及其教学意义[J]．数学教育学报，2019，28（2）：24-29．

[责任编校：陈隽、陈汉君]