在平面直角坐标系中变出“精彩”

龚群友

【原题呈现】苏科版九（下）第91页14题：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）。

图1

（1）把△AOB沿x轴向左平移1个单位长度得到△A1O1B1，写出点A1、O1、B1的坐标。

（2）把△AOB绕原点旋转180°得到△A2OB2，写出点A2、B2的坐标。

（3）把△AOB沿x轴翻折得到△A3OB，写出点A3的坐标。

（4）以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2∶1放大，得到△A4OB4，写出点 A4、B4的坐标。

【解析】（1）A1（1，3），O1（-1，0），B1（2，0）。（2）A2（-2，-3），B2（-3，0）。（3）A3（2，-3）。（4）A4（4，6），B4（6，0）。

【点评】（1）图形的平移变换比较简单，整个图形向右（左）平移了a（a＞0）个单位，图形的大小、形状不变，则图形上每个点的横坐标加上（减去）a，纵坐标不变；整个图形向上（下）平移了b（b＞0）个单位，图形的大小、形状不变，则图形上每个点的纵坐标加上（减去）b，横坐标不变。

（2）图形的旋转变换与平移相比难度略有增加。中心对称变换，需将每个点和旋转中心连接起来，并延长一倍，就得到旋转180°的对应点。以原点为对称中心的中心对称，旋转前后，每一对对应点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。

（3）图形沿x轴翻折，图形的大小、形状不变，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

（4）以点O为位似中心，将线段OA、OB延长一倍，对应点的横坐标和纵坐标都乘2。

【拓展1】在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（-1，-1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，-1），则点B′的坐标为_______。

【解析】通过画图，不难发现，点A向右平移4个单位长度可得到点A′，则点B同样也是向右平移4个单位长度到点B′，所以B′的坐标为（5，2）。

【拓展2】△ABC在方格纸中的位置如图2所示。

图2

（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得A、B两点的坐标分别为（2，-1），（1，-4），并求出C点的坐标。

（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，再作出△ABC以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△A2B2C2，并写出C1、C2两点的坐标。

（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，其中的一个三角形能否由另一个三角形经过某种变换而得到？若能，请指出是什么变换。

【解析】（1）如图3建立平面直角坐标系，点C的坐标为（3，-3）。（2）如图3，点C1的坐标为（3，3），点C2的坐标为（-3，3）。（3）能，是轴对称变换。

图3

【拓展3】如图4，若点A的坐标为（-1，5），点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（5，3）。

图4

（1）建立恰当的平面直角坐标系，并画出点D（3，-1），连接CD。

（2）小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_______。

【解析】（1）如图5所示。（2）根据旋转的基本性质可以得到，对应点到旋转中心的距离相等，因此旋转中心应为两对对应点连线的垂直平分线的交点。若点A与点C为对应点，点B与点D为对应点，则旋转中心的坐标为（1，1）；若点A与点D为对应点，点B与点C为对应点，则旋转中心为（4，4）。所以本题的答案为（1，1）或（4，4）。

图5

【拓展4】在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1；再将点P2绕原点O按逆时针方向旋转30°得到点 P3，延长 OP3到点 P4，使 OP4=2OP3……如此继续下去。求：（1）点P2的坐标；（2）点P2019的坐标。

【解析】同学们可根据题意画图分析。

（1）作P2M⊥x轴于M。

∵OP2=2OP1=2OP0=2×1=2，∠P2OM=30°，

∴MP2=2·sin30°=1，OM=2·cos30°=

∴点P2的坐标为（）。

（2）按照题中的变化规律，点P5、P6落在y轴的正半轴上，点P23、P24又回到x轴正半轴上。

∵2019÷24=84……3，

∴点P2019落在第一象限内，且OP2019与x轴的夹角为60°。

又∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23……

∴OP2019=OP2018=21009。

∴点P2019的坐标为（21008，）

以上四个拓展由简单到复杂，由特殊到一般。同学们在解决这类问题的时候，一定要“笔下有图”，结合图形变化，在平面直角坐标系中画出对应图形，即可顺利解决问题。