基于日常教学实践的数学教师MPCK发展模式建构
——以初中函数为例

欧慧谋，辜钰荣

（1.韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2.潮州市金山实验学校，广东 潮州 521041）

1 问题提出

教师是教与学的核心，如何促进教师专业发展，提高教学质量，是历次教育改革热点.但长期以来，作为教师专业能力的两个基本因素，学科知识与教育学知识却普遍存在分离现象，针对此问题，美国著名教育家Sulman 于1986 年提出“教学内容知识（简称PCK）”理论.所谓PCK，意指教师在面对特定主题时，针对学生兴趣和能力，将学科知识加以组织、调整，并呈现给学生的教学方面的知识，它是学科知识、教育知识及其他相关知识的有机融合［1］.研究表明，PCK最能区分学科专家与教学专家、高成效教师与低成效教师的差别［2］，是教师专业能力的核心［3］.近年来，通过PCK发展来提升教师专业能力，已逐渐在教育领域形成共识.

在数学教育领域，“数学教学内容知识”简称MPCK，有关数学教师MPCK发展的研究主要集中在MPCK 来源、MPCK 发展策略、MPCK 案例研发等方面.已有研究侧重理论思辨，基于教学实践的MPCK 发展探讨缺乏.日常教学实践是教师专业成长的主要舞台，教师MPCK 的发展，理应返璞归真，落实到数学教学实践中.本文以初中函数单元为例，尝试建构“基于日常教学实践的数学教师MPCK发展模式”，期待能给数学教师MPCK发展、甚至教师专业能力提升提供启发.

2 MPCK理论基础

2.1 MPCK的内涵与结构

MPCK相关理论主要源于PCK，但同时体现数学学科特点.所谓MPCK，指教师对某特定数学内容该如何表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识［4］.按照教师开展常规教学，MPCK可划分为3个维度［5］：数学学科知识（简称MK），一般教学法知识（简称PK），有关数学学习的知识（简称CK，指有别于前两类知识的关于学生、学习背景、学习环境、教育宗旨等学习方面的知识）.而MK、CK、PK 的融合就是MPCK，它们的关系可用图1 表示，其中MK、CK、PK 三个集合的公共部分即为MPCK.

图1 MPCK一般结构图

MK、CK、PK构成要素主要有侧重理论与侧重实践两种观点（如表1所示）.前者基于MPCK内涵，从数学知识、教育理论、学习理论、教育技术理论等理论探讨MK、CK、PK，TK（属表征技术范畴，有些研究把其归为PK的一个方面）［6］；后者倾向MPCK实践，强调MK、CK、PK在日常教学的具体表现［7］.尽管这两种观点因视角取向不同而存在差异，但却从不同方面反映了MK、CK、PK 内涵，为认识MK、CK、PK，甚至MPCK提供了途径.

表1 MK、CK、PK构成要素

为研究方便与突出重点，本文结合数学学科特点以及MPCK理论，对MK、CK、PK构成要素界定如下.MK：数学学科知识，数学思想方法，数学发展历史.CK：知识储备，学习经验、生活经验，学习难点、疑点、错点及其成因，具体内容学习心理过程.PK：意指教师对数学教育理念、教育理论、学习理论以及课程理论等的认知，譬如问题驱动理念、数学思想方法渗透策略、数学表征优化策略、难点突破策略、评价与反馈策略等方面.

2.2 MPCK与数学教师专业发展

一般地，职前教师、职初教师、优秀教师的MPCK 基本结构框架是一样的，但三者的MK、CK、PK 基本集合以及它们的交集MPCK 大小有所区别.通常情况下，随着教学经验的积累，MK、CK、PK往往会增大，它们的交集MPCK 也会随之越来越大，形成的MPCK 越来越丰富（如图2 所示）.特别地，与职前教师、职初教师相比，优秀教师的MPCK集合往往大得多［5］.

图2 优秀教师的MPCK结构图

MPCK 结构既直观反映了MPCK 基本内涵，又形象表征了教师MPCK发展的基本过程，这为教师MPCK发展提供了较好实践启发.在日常教学实践中，教师可以通过备课、磨课、实践、反思、观摩、交流等方式，提升对MK、CK、PK 的认识与整合，进而促进MPCK发展.

3 基于MPCK的教师专业发展模式

依据MPCK理论以及日常教学实践规律，尝试建构了“基于课例研究的MPCK发展模式”（如图3所示）.该模式包括深化MK、提升CK、发展PK，以及整合MK、CK、PK四个组成部分，它们分别通过梳理数学历史、分析学习对象、优化教学策略、以及实践、反思、观摩、交流等实践活动来实现.这些组成部分或实践活动相互关联与作用，共同促进教师MPCK发展.

图3 基于课例研究的MPCK发展模式

3.1 梳理数学历史，深化MK

MK是开展数学教学的前提和基础.作为教师，不但要拥有良好数学知识结构，而且对数学知识产生背景、形成发展过程、应用价值、思想方法、数学联系等要有深刻认识，这就涉及MK深化问题.教科书由于编排局限性，难以全面、深刻地呈现以上方方面面，教师需要另寻渠道，而梳理数学历史则是较好选择.

以函数概念为例，历史梳理对函数概念MK的深化意义体现在以下方面.首先，了解函数产生背景.函数产生于天体运动、单摆运动、抛射体运动、航海、弹道等科学问题，是研究运动变化现象的手段，这些了解可帮助教师更好认识函数由来和意义.其二，促进函数定义历史性理解.函数定义先后经历几何说、依赖说、对应说及关系说四个发展阶段，这是一个不断抽象、不断精确、不断严密化的过程，这对教师拿捏难度、增强教学合理性具有积极启发.其三，深化数形结合思想理解.“数”与“形”是函数属性的两个表征，二者相辅相成，是理解与应用函数的重要途径.

3.2 分析学习对象，提升CK

CK是教师对学生实际状况以及学习心理过程的认识，对数学知识教育形态化、教学策略合理化具有不可忽视的作用.教师CK的提升，关键在于理论指导下的经验积累，在日常教学学情中，教师应有意识地运用教育、学习理论，以增强实践体验感.

借助教育理论分析学生实际状况.学生实际状况包括知识储备、学习经验、生活经验等方面，是学与教的起点与支点.学生实际状况分析方法可分为经验分析法和理论分析法两类，前者主要基于学生以往表现，为教师常用方法，后者则注重理论运用.在日常学生分析中，教师应注意二者结合，尤其是教育理论的合理运用.以学生知识储备分析为例，除基于经验的判断外，教师还可通过概念图或者思维导图深入了解学生知识掌握情况.譬如，直角坐标系是函数学习的先行者，课前不妨先让学生作其概念图，测验学生直角坐标系知识的掌握情况.学生所列概念越多，概念间关系越清晰，说明其对该部分知识掌握越好.图4是某学生所作的直角坐标系概念图，从中可以看出，该学生直角坐标系认知结构良好.

图4 平面直角坐标系概念图

借助学习理论分析学习过程.概念与原理的获得、数学解题“好念头”的启发、“最近发展区”的寻找等，均要遵循一定的学习心理规律.另外，数学内容不同，学习心理往往过程有别.譬如函数，在概念学习阶段，适宜采取形成方式获得概念，即引导学生从解析表达式、图像以及列表等具体例子归纳、抽象出函数概念；在图像学习阶段，譬如由y=ax2图像平移求作y=a(x-h)2+k（h>0，k>0）图像，则需遵循“动作操作→表象操作→符号操作”学习过程，三个环节缺一不可，否则可能给学生造成学习障碍［8］.在教学生活中，教师应加强各种学习心理学习，并自觉地把理论运用于学习过程分析之中，这对提高数学学习心理认识、从而提升CK大有帮助.

3.3 优化教学策略，发展PK

PK既是教师对教育理念、教学理论、学习理论以及课程教材等总体的认识，又是教师把这些认识落实到具体教学的直接体现.PK 的发展，理论是基础，实践是途径.下面依据数学学科特点和MPCK理论，主要从问题驱动、数学思想方法、数学表征加以论述.

践行数学问题驱动理念.问题是数学的心脏，但问题有真伪之分，那些能促使概念或原理被发现的原始问题称为真问题，否则是伪问题.真问题又分为本原性问题与派生性问题，前者指促使事物产生的最初根源，后者则指某个理论产生之后根据自身发展与逻辑发展产生的问题［9］.问题来自数学历史、学生实际、数学内部或者三者的综合，教师需要综合考虑，设计出那些能促使概念与原理产生的真问题.以二次函数为例，抛射体运动作为本源性问题广泛存在于生活之中，理应是良好学习素材，但由于初中学生不用学习三角学以及相关物理知识，无法直接由此展开教学，只能采取折中办法，在学生感知喷泉水线、投篮等抛射体运动“形”的基础上，从面积、比赛场数、利息等角度设计派生性问题.教师只有对数学历史、学生实际等充分了解，才能设计出真问题，好问题.

渗透数学思想方法.如果说问题是数学的动力，思想方法则是数学的推力.在教学中，有效渗透数学思想方法，使学生由学会走向会学，是教师PK高水平的重要体现.但是，数学思想方法犹如无形推手隐藏在知识背后，需要教师深入挖掘.以函数单元为例，通过深入分析，可以发现丰富的思想方法，譬如函数（包括具体函数）概念形成过程中的归纳思想、函数图像与性质学习的数形结合思想、函数应用的模型思想、含参函数的分类讨论思想，以及确定函数的待定系数法、利用函数估计方程近似值的二分法、二次函数的配方法等，这些思想方法对理解函数概念、掌握函数性质、提高解题效果具有重要影响，教师应给与重视与渗透.

优化数学表征.数学概念或原理高度抽象，给学习带来较大困难，但抽象背后往往存在多种表征形式，合理的表征可以促进数学理解.MPCK 主张通过解释、举例、比喻、符号、表格、图像、模型、操作、演示等数学表征［6］，引导学生多角度学习.为优化数学表征，教师不妨考虑如下问题：概念或原理有哪些表征？如何有序呈现表征？怎么促进表征转化？以函数概念为例，总体看，其具有解析式、图像、列表三种具体表征，以及文字表征、符号表征两类定义表征（如图5所示）［10］.在具体表征学习中，教师需引导学生学习各种表征（如图5中①、②、③所示）、寻找表征间联系（如图5中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ所示），以促进学生抽象函数概念本质.而函数定义文字表征较为抽象，单一表征学习枯燥、困难，不妨引进“函数模型（如图6所示）”表征，文字表征与模型表征参照学习（如图5中Ⅳ所示），可以在降低学习认知负荷的同时，促进函数定义的理解.

图5 函数概念多元表征学习

图6 函数模型

3.4 开展“实践—反思、观摩—交流”活动，整合MK、CK、PK

MPCK由MK、CK、PK公共部分构成，其发展既以三者的发展为前提，又以它们的整合为条件.整合是一种深层次的教学思辨，需要以经验积累为基础，教师应勤于反思，善于积累，乐于交流和工于实践［11］，而“实践—反思、观摩—交流”则是较好途径.

实践—反思.实践与反思是教师MPCK发展的主要来源［12-13］，美国学者Posner也曾指出，教师专业成长遵循公式“经验+反思=教师的成长”.一方面，实践是检验教学设想的标准，数学知识把握是否到位，学生分析是否准确，教学策略安排是否合理，均可通过教学实践检验，这种检验实质是教师对MK、CK、PK再认识与整合的过程.教师应加强实践，尤其是参与教学公开课、教学比赛课或者教学示范课等活动，以促进自身MPCK发展.另一方面，经验的积累同样需要来自教学反思，诸如“教学中有哪些成功得失？不足之处原因何在？需做何改进？”反身性问题属于元认知范畴，可以深度促进MK、CK、PK整合发展.

观摩—交流.观摩与交流既是教研活动的主要方式，亦是教师MPCK的重要来源［13-14］.在观摩环节，所授之课往往历经千锤百炼，被打磨成“精品课”，具有示范性、研究性特点；授课教师现场直播式的“表演”，容易引起观摩教师强烈的共鸣或对比，授课教师教学方案与自己的有何异同？哪种方案更加合适？为什么？这些问题涉及MK、CK、PK及其关系的综合思考.如果说教学观摩是授课教师展示“如何教”的环节，随后的交流则是授课教师解释“为什么这样教”以及授课教师与观摩教师共同探讨“如何更好地教”的过程，这同样需要综合考虑MK、CK、PK及其关系.

可以说，“实践—反思、观摩—交流”过程就是教师MK、CK、PK生成、整合与再创造过程，对教师MPCK具有举足轻重的作用.

下面是《二次函数y=a(x-h)2+k的图形与性质》教研活动片段，授课教师主要通过y=2x2→y=2（x±1）2图像关系引导学生归纳出“左加右减”结论.这里“特殊→一般”归纳策略貌似问题不大，但实则不然，其函数图像左右平移结论“左加右减”与前面“y=ax2+k上下平移结论‘上加下减’”、坐标平移结论“上加下减、左减右加”存在认知冲突，仅通过一个特殊案例难以突破学习障碍.针对此问题，教师集思广益，总结出四种处理方案：①特例归纳，即述授课教师策略；②动态演示：利用几何画板演示y=a(x-h)2与y=ax2当h分别取不同参数值时图像的平移关系，便于学生归纳得到结论；③坐标代入：即任取函数图像上一点（x，y），其向右平移h（h>0）个单位得点（x+h，y），把其代入函数y=a(x-h)2，等式成立，由此得到结论.与前两种方案相比，此法严谨度大大增加，可消除学生“不完全归纳”带来的疑问；④严格证明：可扩充到y=a(x-h)2+k情形，任取满足函数y=ax2的点（x，y），其向上平移k（k>0）个单位再向右平移h（h>0）个单位得到点（x+h，y+k）. 令x′=x+h，y′=y+k， 所 以x=x′-h，y=y′-k， 代 入 函 数y=ax2得 到y′=a(x′-h)2+k，最后用x，y代替x′，y′，得到y=a(x-h)2+k.此法为严谨代数证明，但学习难度大，初中一般不做要求.这种现场直播式教研活动，无疑更利于提高教师“二次函数图像平移”的教学认识.

4 实践建议

基于日常教学实践的数学教师MPCK发展模式以理论为指导、以实践为平台，以MPCK发展为目标.其实践效果如何，与教师理论素养、实践体验、实践方式有关，为此需要注意以下两点.

理论与实践“双管齐下”.首先，提高教育理论素养.MPCK发展水平首先决定于教师数学教育理论素养，在日常教学中，教师除数学教材教参外，应深入学习数学历史、研读数学教育与学习理论、博览数学教育期刊等，以了解数学知识来龙去脉、吸取经典数学教育思想、把握数学学习心理规律、领略优秀案例风采.再者，增强实践体验感.MPCK的发展与实践经验具有紧密关系，而理论指导下的实践更具体验感，可加速MPCK的发展.在教学实践、观摩交流、反思总结中，教师应有意识地站在理论高度设计教学、实践教学、分析教学，以积累积极的实践体验，从而丰富MK、CK、PK认识，加快教师MPCK发展.

组建MPCK共同体.教师个体理论认识、实践经验有限，如果闭门造车，容易故步自封；相反，互相学习，取长补短，更能促进教师MPCK发展.为提高实践组织性与有效性，不妨组建MPCK共同体（譬如名师工作坊）.一方面，MPCK共同体由优秀教师或教学名师主持，他们拥有丰富的MPCK，可通过示范教学、教学指导、日常交流等活动，引领其他教师MPCK发展.第二，MPCK共同体可以定期或不定期地开展观摩交流、培训学习活动，以提高教师备课、磨课、研课及赏课能力.第三，MPCK共同体成员各有所长，或精于数学理解、或长于教学与学习理论认识、或懂于几何画板等，大家可通过交流学习，共同发展.最后，中小学教师经验丰富，但理论一般不足，而高校数学教师（尤其是数学教学论教师）则相反，因此可以聘请高校教师出任MPCK共同体指导专家，由他们通过调查研究、学术讲座、教学指导等活动，提升共同体成员理论素养水平.