水平井眼中单弯螺杆钻具组合力学分析方法*

黄 壮 侯作富 陈 锟 夏成宇 钱利勤 王 鹏 王旭东

(1. 长江大学机械工程学院 2. 中石油西南油气田分公司页岩气研究院)

0 引 言

单弯螺杆钻具组合比传统钻具组合具有更强的造斜能力，因此广泛用于定向井造斜段的钻进。单弯螺杆钻具组合在连续滑动钻进过程中，为实现单弯螺杆下部钻具组合结构参数优化进而提高钻具的造斜能力，也为满足井眼轨迹控制要求，需要对单弯螺杆下部钻具组合进行力学分析[1-3]。

多年来，诸多学者对下部钻具组合建立了大量的力学模型。李子丰等[4-5]采用加权残差法建立了下部钻具组合三维小挠度静力学分析数学模型。苏义脑等[6]提出等效载荷法，分析了初弯曲对梁柱的影响。唐雪平[7-8]分析了受纵横弯曲载荷联合作用下的变刚度梁柱问题，可解决井斜控制实践中不等截面尺寸梁柱问题。潘仁杰[9]建立了螺杆钻具组合控制井斜力学模型。游云武[10]根据纵横弯曲梁理论，建立了“单弯双稳”钻具钻头侧向力模型。肖云峰等[11]采用有限元分析方法建立了单弯螺杆钻具组合下部结构的力学模型。郭宗禄和高德利等[12-13]建立了底部钻具组合复合钻进导向力的拟动态计算模型，采用加权残差法和牛顿-拉夫逊迭代法计算了底部钻具组合变形的n个线性效应，并提出了预测钻具组合性能的基本方程。尹虎等[14]根据有限元法把钻具组合看作梁单元，建立了下部钻具组合力学模型。FENG T.H.等[15]提出一种动态有限元模型，该模型通过沿井中心轴线性化问题来描述定向钻井动力学。华勇[16]根据纵横弯曲法建立了变刚度梁柱力学模型，可求解钻井实际中常见的变刚度问题。

但上述研究在简化处理时通常将弯角处理为连续梁、多变截面处理为等刚度，这样势必造成计算不准确。针对此类不连续和多刚度问题，本文利用微元法和连续梁理论建立了单弯螺杆下部钻具组合统一力学模型，该模型对于单弯螺杆下部钻具组合带有多弯角和多变截面(多刚度)的问题，推导了一种可以直接计算的方法，使得分析结果更接近真实情况。研究成果可为单弯螺杆下部钻具组合管柱的优化设计提供理论支撑。

1 单弯螺杆钻具组合统一力学模型的建立

1.1 基本假设

单弯螺杆下部钻具组合在水平段导向钻进工况下的受力情况十分复杂，为了对钻具组合的实际工作状态进行受力分析，本文做以下基本假设：

(1)下部钻具组合之间的变形是弹性小变形。

(2)钻压作用于钻头中心，钻头中心位于井眼轴线上。

(3)井壁视为刚性体，井眼直径为钻头外径且无井眼尺寸的变化。

(4)稳定器与井璧之间为点接触。

(5)上切点以上钻柱因自重贴在下井壁上。

1.2 单弯螺杆节点划分及微元体受力分析

对于定向井段的作业，通常采用单弯螺杆进行导向钻进。为满足井眼轨迹的要求，首先要分析单弯螺杆下部钻具组合的力学性能。本文根据单弯螺杆下部钻具组合的各类形式，以钻头、变截面、管柱弯点、稳定器和上切点作为节点，对单弯螺杆下部钻具组合进行跨段划分，相邻的两个节点之间为一跨，单弯螺杆下部钻具组合可以看作是由这些节点任意组合成的多跨梁柱。根据纵横弯曲法对单弯螺杆下部钻具组合的处理方法，将钻头至上切点处的钻具组合简化为梁柱进行受力及变形分析。

图1为单弯螺杆下部钻具组合示意图。在梁柱的任意位置取长为dx的微元，其受力分析如图2所示。

1—钻头；2、4、5—螺杆；3—稳定器；6、8—钻铤；7—扶正器；9—加重钻铤。

图2 微元体受力分析图Fig.2 Force analysis of infinitesimal body

在微元体受力分析图中，在竖直方向求力学平衡，并以B截面中心为基准对z轴求力矩平衡，列平衡方程如下：

T+dT-T+qdx=0

(1)

(2)

式中：P为轴向载荷，kN；T为截面剪力，kN；Mz为截面弯矩，kN·m；q为均布载荷，kN；dy为微元体A端面中心与B端面中心的高度差，m。

(3)

(4)

式中：EI为梁柱的抗弯刚度，kN·m2。

对式(4)求通解，得梁柱的挠曲变形方程：

(5)

式中：x为微元体轴向长度的自变量，m；y为x处的挠度，m；C1～C4为各项的系数。

根据式(5)求出梁柱的转角θ、弯矩M和剪力Q的计算公式：

(6)

式中：y′、y″、y′″分别为y的一阶导数、二阶导数和三阶导数。

1.3 各节点处的力学条件和矩阵表达式

图3为包含各节点的单弯螺杆下部钻具组合简图。图3中：①为钻头，②为变截面，③为稳定器，④为管柱弯点，⑤为上切点。根据图示各节点对该单弯螺杆下部钻具组合进行跨段划分，再结合各节点处的边界条件、连续性条件和位移条件求得各节点处的矩阵表达式。为了清楚地描述出各节点处的矩阵表达式，建立如图3右上角所示的坐标系，任取相邻两跨梁柱，在每跨梁柱的左端点各建立一个平面直角坐标系，其中，xi为前一跨梁柱长度的自变量，yi为xi处对应的挠度，xj为后一跨梁柱长度的自变量，yj为xj处对应的挠度。

图3 包含各节点的单弯双稳螺杆下部钻具组合简图Fig.3 Schematic diagram for single-bend and double-stabilizer PDM assembly containing all nodes

1.3.1 钻头

如图3所示，钻头处的边界条件为：钻头处梁柱挠度为0、钻头弯矩为0；表达式为：xi=0，yi=0；xi=0，Mi=0。其中Mi为xi处对应的弯矩；由于钻头前无梁柱，即xi=0，此处yi代表钻头处挠度，Mi代表钻头处弯矩。

联立式(5)和式(6)，则钻头处的矩阵表达式为：

(7)

(8)

式中；EiIi、Pi、qi分别表示前一跨梁柱的抗弯刚度、轴向载荷和均布载荷，由于钻头前无梁柱，此处EiIi、Pi、qi认为是钻头处的抗弯刚度、轴向载荷和均布载荷；Ci1～Ci4是自变量为xi时式(5)的系数，同时也是此处矩阵表达式的未知数。

1.3.2 变截面

如图3所示，钻头和螺杆的连接位置以及外径不同的两根钻柱的连接位置为变截面，其连续性条件为：该处的位移、转角、弯矩及剪力均连续；当xi=li，xj=0时，表达式为：yi=yj，θi=θj，Mi=Mj，Qi=Qj。其中li为前一跨梁柱的长度，θi为xi处对应的转角，Qi为xi处对应的剪力，θj为xj处对应的转角，Mj为xj处对应的弯矩，Qj为xj处对应的剪力。

将其联立式(5)和式(6)，则变截面处矩阵表达式为：

(9)

(10)

式中：EjIj、Pj、qj分别表示后一跨梁柱的抗弯刚度、轴向载荷和均布载荷；Cj1～Cj4是自变量为xj时式(5)的系数，同时也是此处矩阵表达式的未知数。

1.3.3 稳定器

将其联立式(5)和式(6)，则稳定器处矩阵表达式为：

(11)

1.3.4 管柱弯点

如图3所示，管柱弯点处的连续性条件为：弯点处位移、弯矩、剪力都连续，但转角由于弯角的影响发生转角间断[12]；当xi=li，xj=0时，表达式为：yi=yj，θi-θj=θt，Mi=Mj，Qi=Qj。其中θt表示单弯螺杆管柱弯点处的弯角。

将其联立式(5)和式(6)，则管柱弯点处矩阵表达式为：

(12)

1.3.5 上切点

将其联立式(5)和式(6)，得上切点处矩阵表达式为：

(13)

上述各节点矩阵表达式都形如AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为增广矩阵。

1.4 整体力学模型统一方程组的建立

根据单弯螺杆实际下部钻具组合结构，按照节点对其跨段划分。其中，首尾节点分别是钻头和上切点。利用微元法和连续梁理论，并充分考虑实际井眼轨迹、钻具组合结构参数(稳定器直径和位置)、弯角和钻压等各种因素的影响，以钻头至上切点的方向，依据单弯螺杆下部钻具组合力学分析中各节点处的边界条件、连续性条件和位移条件所建立的各节点矩阵表达式，按节点顺序将每个节点对应的矩阵表达式组合在一起，形成单弯螺杆下部钻具组合整体力学统一方程组，据此建立单弯螺杆下部钻具组合整体力学模型。整体力学统一方程组具体表达式如下：

(14)

式中：An表示第n个节点处对应的矩阵表达式中的系数矩阵，Cn表示第n个节点处对应的矩阵表达式的未知数矩阵，Zn表示第n个节点处对应的矩阵表达式中的增广矩阵。

实际上，A1和An分别是钻头和上切点处矩阵表达式中的系数矩阵，且都为2×4即两行四列的矩阵，其余Ai(i=2～n-1)都为4×8的矩阵，在位置上，Ai的后四列与Ai+1的前四列相对应。

2 单弯螺杆钻具组合控制井斜能力的影响因素分析

2.1 单弯单稳螺杆钻具组合

影响单弯单稳钻具组合控制井斜能力的主要因素包括钻压、螺杆弯角、肘点位置、稳点器直径和稳定器位置等。为了分析各因素对单弯单稳钻具组合控制井斜能力的影响规律，采用的某单弯单稳螺杆钻具组合如下：ø215.9 mm PDC+ø165.0 mm螺杆(1.25°弯角，ø213.0 mm稳定器)+ø127.0 mm无磁加重钻杆。其中，弯点至螺杆上接头距离5.33 m,稳定器中点至弯点距离1.33 m,稳定器中点至螺杆钻具下接头端面距离0.64 m,其他计算条件包括井斜角90°，钻压90 kN，钻井液密度1.89 g/cm3。

2.1.1 弯角对钻头侧向力的影响

图4表示不同钻压条件下，螺杆弯角对钻头侧向力的影响规律。从图4可以看出：在钻压一定时，随着螺杆弯角的增大，钻头侧向力呈线性增大；当弯角一定、钻压增大时，钻头侧向力略有降低。因此，在实际钻井过程中可以采用小的钻压和适当的弯角以达到控制井斜的目的。

2.1.2 稳定器外径对钻头侧向力的影响

图5表示不同螺杆弯角条件下，稳定器外径对钻头侧向力的影响规律。从图5可以看出，螺杆弯角的增大或稳定器外径的增大都会使钻头的侧向力增大，螺杆弯角的变化对钻头侧向力的影响更加明显。

图5 稳定器外径对单弯单稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.5 Effect of outside diameter of stabilizer on bit side force of single-bend and single-stabilizer PDM assembly

2.1.3 稳定器位置对钻头侧向力的影响

图6表示不同稳定器外径条件下，稳定器位置对钻头侧向力的影响规律。从图6可以看出：稳定器位置的改变对钻头侧向力影响较大，当稳定器距钻头越近时，钻头侧向力越大；当稳定器逐渐靠近弯点时，钻头侧向力减小且减小的趋势趋于平缓，此时稳定器外径对钻头侧向力的影响也随之减小。

图6 稳定器位置对单弯单稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.6 Effect of stabilizer position on bit side force of single-bend and single-stabilizer PDM assembly

2.1.4 肘点位置对钻头侧向力的影响

图7表示不同稳定器外径条件下，肘点(弯点)位置对钻头侧向力的影响规律。从图7可以看出，当稳定器外径一定时，肘点距钻头越远，钻头侧向力越小。

图7 肘点位置对单弯单稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.7 Effect of elbow position on bit side force of single-bend and single-stabilizer PDM assembly

2.2 单弯双稳螺杆钻具组合

分析各因素对单弯双稳螺杆钻具组合控制井斜能力的影响规律时，采用的单弯双稳螺杆钻具组合如下：ø215.9 mm PDC+ø172.0 mm螺杆(0.75°弯角，ø212.0 mm稳定器)+ø165.0 mm浮阀+ø212.0 mm稳定器+ø165.0 mm定向接头+ø165.0 mm无磁钻铤。其中，弯点至螺杆上接头距离6.385 m,下稳定器中点至弯点的距离0.704 m,下稳定器中点至螺杆钻具下接头端面距离0.464 m,其他计算条件包括井斜角90°，钻压90 kN，钻井液密度1.89 g/cm3。

2.2.1 弯角对钻头侧向力的影响

图8表示不同钻压条件下，螺杆弯角对钻头侧向力的影响规律。从图8可以看出：在钻压一定时，随着螺杆弯角的增大，钻头侧向力呈线性增大；钻压对钻头侧向力的影响不明显。

图8 弯角对单弯双稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.8 Effect of bend angle on bit side force of single-bend and double-stabilizer PDM assembly

2.2.2 肘点位置对钻头侧向力的影响

图9表示不同下稳定器外径条件下，肘点位置对钻头侧向力的影响规律。从图9可以看出：当下稳定器外径一定时，肘点位置的改变对钻头侧向力的影响较大，随着肘点远离钻头，钻头侧向力逐渐减小；仅改变下稳定器外径时，钻头侧向力随着下稳定器外径的增大而增大。

图9 肘点位置对单弯双稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.9 Effect of elbow position on bit side force of single-bend and double-stabilizer PDM assembly

2.2.3 两个稳定器的间距对钻头侧向力的影响

图10表示不同上稳定器外径条件下，两个稳定器的间距对钻头侧向力的影响规律。从图10可以看出：上稳定器外径一定时，随着两个稳定器间距的增大，钻头侧向力先减小后增大；仅改变上稳定器外径时，钻头侧向力随着上稳定器外径的减小而增大；当两个稳定器间距越大时，上稳定器外径对钻头侧向力影响越小。用该钻具稳斜，建议两个稳定器的距离在8 m左右。

图10 两个稳点器间距对单弯双稳螺杆钻头侧向力的影响规律Fig.10 Effect of spacing between two stabilizers on bit side force of single-bend and double-stabilizer PDM assembly

3 结 论

(1)基于微元法和连续梁理论建立的单弯螺杆下部钻具组合统一力学模型并联合MATLAB软件的计算方法，不仅降低了以往对于多跨梁柱的计算复杂度，还可以解决单弯螺杆下部钻具组合中带有多弯角和多变截面(多刚度)问题，能满足工程实际中复杂的单弯螺杆下部钻具组合力学模型的计算。

(2)对单弯单稳螺杆下部钻具组合管柱进行优化设计时，适当增大螺杆弯角、减小肘点和稳定器距钻头的距离以及增大稳定器直径都可以增大钻头侧向力，提高钻具的增斜效果。

(3)对单弯双稳螺杆下部钻具组合管柱进行优化设计时，为增大钻头侧向力，提高钻具的增斜效果，除了适当增大螺杆弯角和下稳定器直径、减小肘点距钻头的距离以及减小上稳定器直径等因素外，还可以适当增大两个稳定器的间距。

(4)对于单弯螺杆钻具组合而言，螺杆弯角、肘点位置、稳定器位置、稳定器外径以及双稳定器间距是控制井斜能力的关键因素，钻压的改变对钻头侧向力的影响不大。