基于问题链的初中数学课堂高阶思维培养路径研究

吴立宝,刘颖超,曹雅楠

一、引言

从21世纪技能和《中国学生发展核心素养》来看,发展学生的高阶思维已成信息时代下人才培养的核心取向,是实现由知识本位向思维和素养本位转变的关键所在。数学作为思维的体操,其核心就是思维教育。在《义务教育数学课程标准(2011年版)》的前言部分中,特别指出数学课程要发挥数学在培养人的思维能力与创新能力方面不可替代的作用,课程性质中也明确强调要培养学生的抽象思维、推理能力、创新意识和实践能力。[1]杜威认为高阶思维不是自然发生的,而是由“困惑”和“疑问”引发的,高阶思维的发生就是反思—问题生成—探究、批判—解决问题的过程。可见问题是培养高阶思维的载体,在教学中必须坚持以问题为导向,设计符合学生思维发展的问题链,有效引领学生思考,将思维过程显性化。思考和解决问题链的过程就是学生高阶思维发展的过程,因此将问题链类型与数学高阶思维要素相对应,探讨在初中数学学科教学中通过设置恰当的问题链,培养学生数学高阶思维的实现途径,有助于初中数学课堂中有效地开展学生高阶思维的培养,落实发展学生核心素养的教学目标。

二、数学高阶思维构成要素

高阶思维是一种以较高层次认知水平为主的综合性能力,在教学目标分类中表现为分析、综合、评价和创造,主要指创新能力、问题求解能力、决策力和批判性思维能力。[2]数学学科是学生高阶思维培养的重要途径之一,数学高阶思维除具有一般性高阶思维的共同属性外,还应具有符合数学学科本质特征的独有属性。

国内学者在突出数学思维过程的基础上,通过探索性和验证性分析构建了数学批判性思维、数学创造性思维、数学元认知能力、数学问题解决能力四维度的初中生数学高阶思维的结构模型。[3]放眼国际,PISA2021数学素养的结构要素中与高阶思维直接相关的,包括数学推理以及通过表示、使用和解释数学来解决问题的能力,并突出强调了数学推理在数学素养中的重要地位。[4]再者由数学课程标准中所体现的数学思维来看,中美两国课程标准均包括数学建模能力与数学模型思想的培养,中澳两国课程标准强调创新意识和创造性思维,而发展学生问题解决及推理的数学思维,是中美澳三国所共有的数学课程能力目标。[5]因此在借鉴已有数学高阶思维结构的基础上,结合数学学科特征和数学思维过程,依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》中的十个核心概念、课程基本理念以及初中学段课程目标,将数学高阶思维划分为数学抽象思维、数学逻辑思维、数学模型思维、数学创新思维、数学批判思维,并对初中数学高阶思维五大构成要素的具体内涵分别进行阐释,具体见表1。

表1 数学高阶思维的构成要素

三、基于问题链的初中数学高阶思维培养路径

数学教学的一大任务是训练学生思维,而数学问题链教学通过构建思考型问题引导学生进行清晰、明确、有逻辑的深入思考,同时问题间的跨度也可以使学生开展多样的思维探索,[6]为促进学生高阶思维发展提供了可实施的路径和有效手段。初中数学的四能目标与高阶思维的发生过程“反思—问题生成—探究、批判—解决问题”有着总体一致性,[7]故以发现和提出问题、分析问题、解决问题、发展问题和反思问题为五大课堂教学环节,分别从以情境型问题链导入,以阶梯型问题链展开,以探究型问题链建模,以发散型问题链拓展,以反思型问题链深化五个方面探索了初中数学课堂教学高阶思维的培养路径,指向学生的数学抽象思维、数学逻辑思维、数学模型思维、数学创新思维、数学批判思维五大数学高阶思维的发展(见图1)。

图1 初中数学课堂高阶思维培养路径图

(一)发现和提出问题:以情境型问题链导入,培养数学抽象思维

在发现和提出问题的导入环节主要培养学生从实际问题中抽象出数学关系的抽象思维能力,而在导入环节经常会遇到教师创设了一定的教学情境,却好像只是为了创设情境,其教学仍停留在发展学生记忆和理解等较低层次的思维水平上,缺少有效的情境型问题链,难以培养学生抽象思维能力。史宁中认为抽象有两个层次,一是从感性具体到理性具体,二是符号化,[8]这既要求学生能将现实的问题数学化,又要求学生能从提取到的数学要素中发现数学关系、概念、命题等,故有效的情境型问题链应当是具有真实性和思考性的问题链。首先要基于真实性情境设置问题链,情境越真实、意蕴的问题越本原,越能引发学生的高阶思维,[9]调动学生的亲身经历和已有知识,引起情感上的共鸣,在此基础上还应包含学生所不熟悉的新信息和新知识,制造学生想知道却又不知的认知冲突,诱发学生积极主动地从真实性情境中识别数学要素,抽象出数量或图形的数学关系。其次,情境型问题链还应该具有思考性,教师在把握知识结构和数学的本质基础上,应减少仅通过简单的回忆、记忆、理解就能够回答的问题,有意识地让学生处于观察、分析、比较、概括等复杂思考中,从而逐步抽象出数学问题的本质,促进学生的思维由直觉思维向抽象思维转变。

【案例1】“锐角三角函数(1)——正弦”导入片段

问题1:同学们去超市购物都坐过自动人行扶梯吗? 你知道它倾斜的角度是多少吗?

问题2:你能从这个情境中抽象出一个怎样的数学图形呢?

问题3:现已测量出扶梯所连接两层间的高度和扶梯坡面长,你能求出扶梯的倾斜角度吗?

问题4:我们之前从哪些角度研究过直角三角形? 还可以研究什么?

问题5:假如超市一、二楼之间的高度为3m,要修建一个倾斜角度为30°的扶梯需要准备多长的扶梯坡面的材料呢?

问题6:你能把这个问题转化成数学问题吗?已知了什么? 要求什么?

在学习锐角三角函数之前,学生已学过函数、三角形相似和勾股定理的知识并具备一定生活经验。问题1首先将学生带入超市自动人行扶梯的生活情境,一是激活学生的生活经验,为锐角三角函数的学习提供真实性的生长点,引出学习三角函数的必要性;二是还原锐角三角函数在生活中的实际背景,在既熟悉却又不知如何求解的认知冲突中,激发学生思考如何求扶梯倾斜角度的求知欲,使学生带着期待和问题投入学习。问题2和问题3由情境到数学自然引入所要研究的数学问题,将学生置于观察、分析、联想之中,从贴近日常生活的真实情境中分别抽象出直角三角形的数学图形以及“已知直角三角形的斜边和一条直角边,求这条直角边所对的锐角度数”的数学问题。接着问题4通过回顾已研究过的直角三角形的边与边、角与角之间的关系,从数学内部需要的角度引出将要研究的直角三角形边和角的关系。最后问题5和问题6从解决实际问题需要的角度引发数学问题,不仅使学生了解引入三角函数的原因,还培养了学生用数学之眼观察生活、从实际情境中抽象出数学图形、将实际问题抽象成数学问题的习惯,强化抽象思维,打通学生较高层次的思路,实现从直观经验到抽象为数学知识的过渡。

(二)分析问题:以阶梯型问题链展开,培养数学逻辑思维

逻辑思维能力是指通过分析、综合、比较、判断、推理、概括等进行合理思考的能力,[10]在分析问题过程中离不开学生运用逻辑思维一步步厘清事物的性质、本质和相互关系。在课堂教学分析问题的过程中,教师往往为了在有限的时间内追求“效率”,将知识填塞给学生,教师的提问也显得较为随机且没有层次性和针对性,缺少“为什么”“怎么样”等进一步深入的问题,表面上看似所用的时间减少了,实际上只是将书本上的知识“灌”给学生,学生缺少分析、综合的逻辑思维过程,仅停留在被动接受知识等低层次的思维活动中,久而久之,势必会影响学生高阶思维的发展。而阶梯型问题链注重知识之间的内在联系,强调利用正向或逆向的思维方式提出一连串由浅入深的问题组,[11]需要学生运用精准的知识与方法和严谨的逻辑思维综合分析问题。教师在创设阶梯型问题链的过程中,首先要关注学生目前所处的认知水平和思维结构,从较为简单、在学生已有经验范围内的问题入手,为思维的进阶提供“脚手架”。其次关注知识的整体结构,避免那些分散和无意义的问题,使问题链成为一个系统性的组合。依据这两个方面从简单到复杂、从现象到本质、从低阶到高阶层层递进,以合适的梯度螺旋上升,引导学生拾级而上,有逻辑地开展问题分析,向思维更深处迈进。

【案例2】“锐角三角函数(1)——正弦”分析片段

问题1:你能用数学的符号和语言表达我们抽象出的问题吗?

问题2:在直角三角形ABC中,你能求出AB的值是多少吗? 依据是什么?

问题3:如果一、二楼之间的高度是4m,扶梯的倾斜角度不变,我们需要多长的坡面材料呢?

问题4:如果一、二楼之间的高度是am,扶梯的倾斜角度不变,又需要多长的坡面材料呢?

问题5:你发现了什么? ∠A 的对边与斜边的比值与三角形的大小有关系吗?

问题6:能够得到什么数学结论呢?

问题7:用数学公式怎么表示∠A 的对边与斜边的关系呢?

问题1完全抛开实际背景,使学生整理思路,用有逻辑的数学语言表征出数学问题,在学生依据“Rt△ABC 中,30°所对的直角边是斜边的一半”回答问题的基础上,进一步按照学生思维的发展性和知识结构之间的内在逻辑,从具体的数到用字母表示、从文字语言到符号语言两个维度循序渐进地设置系统性的问题链。由于锐角三角函数的概念具有一定抽象性,问题3和问题4首先由数过渡到字母,初步感受直角三角形中锐角固定不变时,对边与斜边之间的变化关系,为实现正弦中几何知识与函数观点之间的跨度搭建起桥梁。而后问题5使思维再上一个台阶,进一步体会∠A 的对边与斜边的比值是固定值,并尝试据此得出数学结论,再以问题7引导学生用准确的数学符号语言表达∠A 的对边与斜边的关系,关注点转向“比值”研究,将问题分解为“小步子”,一层一层进行逻辑嵌套,在文字语言归纳和概括的基础上进一步上升到符号语言表达,环环相扣、层层递进引发学生有逻辑地思考问题,既引导了学生进行有逻辑地表述形成规范化结论,构建知识网络,又能将学生思维过程暴露出来,实现学生逻辑思维“质”的飞跃。

(三)解决问题:以探究型问题链建模,培养数学模型思维

在经历分析问题之后往往需要构建数学模型最终解决数学问题,数学建模既属于问题解决的一部分,也可以视为问题解决的一种特殊模式。[12]而在课堂教学中往往会出现不经历带领学生建模的思考过程,教师直接告诉学生结论,或者是将活动和任务派给学生,缺乏问题引领的现象,在看似忙碌而又热闹的课堂氛围背后学生却不知道怎样合理地进行探究,也不知道怎样有效调用数学模型思想来解决问题,更不用说培养和提升学生的模型思维了。探究型问题链是教师启发学生大胆探索、独立思考、构建模型解决问题的问题链,在设置探究型问题链时要注意把握以下两个特征:一是具有挑战性,不具有挑战性的问题任务仅运用无意识的自动化策略或者已知的数学知识就可以完成,无法提起学生的学习兴趣,[13]只有有挑战性的问题才能激发学习者的欲望,使学生渴望像研究者一样逐步突破思维障碍,从而主动地去探索合适的数学方法来解决问题;二是具有思考性,用富有思考性的问题充分调动学生的积极性,激发学生的潜能去大胆地思考和探究,在探究中掌握数学的思想方法,在思考中提升模型思维,锻炼数学学习能力。探究型问题链也被视为“有效教学的核心”,是培养学生数学能力的有效路径,[14]是发展用模型思维解决问题的有效方法,更是培养探究型人才的有效途径。

【案例3】“锐角三角函数(1)——正弦”探究建模片段

问题1:任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A 的对边与斜边的比,你能得出什么结论?

问题2:任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=60°,计算∠A 的对边与斜边的比,你能得出什么结论?

问题3:当∠A 取其他度数的锐角时,其对边与斜边的比是否也是一个固定值呢?

问题4:当∠A 的度数发生改变时,这个“固定值”会跟着发生改变吗? 我们借助几何画板来观察,当∠A 的度数变化时,什么在变,什么是不变的? 当∠A 的度数不变,改变边长的长度时,什么在变,什么没有变?

问题5:你能证明我们得到的“在直角三角形中,当锐角一定时,比值是固定值”的猜想吗?

首先从问题1“∠A=45°”和问题2“∠A=60°”的特殊情况入手,由简单、易于解决的问题出发,调动学生积极性的同时为后续正迁移的发生奠定基础。其次从∠A 为任意度数、∠A 度数变化两个方面设置探究型问题链,经历从特殊到一般的过程,为学生设置挑战和思考的阶梯,一方面通过探究、归纳等方法发现直角三角形中,当锐角一定时,其对边与斜边的比值的特点,加深对“对边与斜边比值”的认识,强化以模型思想探究问题的能力;另一方面借助几何画板的演示,渗透数形结合思想,引导学生观察概括在动态过程中变与不变的量,使学生有效调用模型思想,提炼问题本质,检视自己的思维过程,总结出动态变化过程中的规律,这是学生自己剖析问题、发现结论的过程,而非教师直接告诉答案。同时问题5为学生提供自主探究的空间,证明猜想的合理性,引导学生表达思考的路径,最后引出固定值叫作正弦的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦,记作sin A,即sin A=。只有让学生经历知识的产生和探究过程,并有逻辑地进行证明和表达,才能使学生的理解由单一表面上升到统一整体的模型思维层面,以探究型问题链建模促进了对知识的深度理解,更渗透了数学的思想方法。

(四)发展问题:以发散型问题链拓展,培养数学创新思维

当前应试型的课堂教学中教师往往仅通过提问学生“是不是”“对不对”等诸如此类低级而又封闭性的问题来检查学生对知识的理解程度,或者企图让学生沉浸在高密度、低认知的提问和大容量、重复式的习题训练中培养学生的创新思维,[15]既不能启发学生多角度思考问题,又不利于发生知识迁移,更谈不上培养学生的创新思维。数学创新思维的培养需要发散型的问题链作为土壤,帮助学生思维枝叶般地生长,思考和解决发散型问题的过程就是数学创新思维孕育和成长的过程。设置发散型问题链一方面要确保立体性,从不同角度、不同层次促进学生思考,能够发现解决问题的多种方法甚至选择出最优之法,打破以往的思维定势和思维惯性,引导学生思维向纵深和拓宽发展;另一方面要具备开放性,即围绕中心问题,辐射出其他相关联的问题,这些问题是不能直接从教材中找到答案的,或者没有固定答案,是与数学内在知识本质相联系,或与其他学科和生活实际相联系的问题链,帮助学生在更广阔的空间里使创新性思维茁壮成长。

【案例4】“锐角三角函数(1)——正弦”拓展教学片段

问题1:一个角的正弦值与边的大小有关吗?与角的大小有关吗?

问题2:对于锐角∠A 的每一个确定的值,∠A的对边与斜边的比都有什么样的值与它对应? 这符合我们所学过的什么关系?

问题3:求sin A 就是要求什么呢?

问题4:当∠A 的度数一定时,sinA 是确定的,为什么sinB也是确定的?

在探索并证明“对边与斜边的关系”之后,围绕sin A 的意义从与函数的联系和与互余角正弦的联系两个不同层面展开,设置发散型问题链。首先问题1和问题2以较高的发散度与开放度提问,需要学生调动新旧知识找到数学知识之间的内在关系,从不同层面以更具综合性和深刻性的视角再看正弦,建立正弦一一对应关系与函数一一对应关系之间的联系,渗透函数思想,将前后知识进行正迁移,使学生在潜意识中形成“以函数观点看问题”的思维方法,在迁移应用中促进思维发展的创新性。其次问题3和问题4旨在强化正弦在沟通直角三角形角与边关系中的重要作用,同时联系起互余两角之间的正弦关系,为后续学习其他三角函数以及三角函数的转化关系打下基础,帮助学生从封闭式的学习中解放出来,为学生多元化思维提供可能,在集思广益中进行思维的创新与开拓,实现知识之间横向与纵向的嫁接,在立体开放的问题环境和没有现成答案的氛围中,不拘囿于课本知识,不做老师的“应声虫”,主动灵活地思考问题,深化发展数学创新思维。

(五)反思问题:以反思型问题链深化,培养数学批判思维

“学而不思则罔,思而不学则殆”,反思对于知识的生成和认知的发展具有重要作用,“回头看”也是一种思维的前进。高阶思维的相关研究都非常强调反思和批判的重要性,以批判思维反思问题主要包括两个层面的含义:一是对自己的批判,即通过对自我认知的监控和反思,有意识地进行管理和调节;二是对他人的批判,即以批判性的眼光质疑思考,作出分析、判断、辨别、评价等。反思型问题链更注重问过程而非问结果,注重问思考而非问知识,[16]通过反思型问题链一方面鼓励学生从知识技能的掌握、数学思考的过程、问题解决的方法和结果、情感态度的参与等多维度进行反思,帮助学生将所学的知识点串成线、结成网,将所用的数学思想和方法归纳总结;另一方面鼓励学生反思自己或者他人在本节课里哪些方面做得更好、哪些方面存在错误并分析原因,反思遇到了哪些难点以及如何攻克这些难点,在后续学习中应该重视和避免哪些问题,等等。学生经历对反思型问题链的思考,能够逐渐培养起反思质疑的批判意识,不断梳理问题的解决路径,突破思维障碍,优化思考过程,达到真正的学会学习。

【案例5】“锐角三角函数(1)——正弦”小结片段

问题1:通过本节课我们学习了什么数学知识和数学思想?

问题2:研究锐角正弦的思路是如何构建的?定义锐角正弦的过程和方式与之前下定义的方式有什么不同?

问题3:在求正弦时应注意什么? 在整个学习过程中大家都出现了哪些错误? 怎么避免出错?

问题4:在学习过程中你有什么感受和体会?还有什么疑惑或没有弄懂的地方?

教师在精讲之后设置反思型问题链,首先从知识技能和数学思想的层面反思,在回顾中看看自己是否掌握了这节课重难点,能否总结出在问题解决中所运用的数形结合和函数的思想,这种有意识的回顾是对知识的二次学习,是在不断查漏补缺中的自我反思和批判性成长。其次从问题解决的过程入手,让学生思考如何抽象数学问题、如何进行逻辑分析、如何从特殊到一般一点一滴建构知识的过程,并比较不同下定义法的区别,打通知识之间的联系。问题3从更高的层面审视课堂学习过程,进入质疑、批判阶段,引导学生既能够质疑、评价他人的行为,从中汲取经验,又能够监控自己的学习过程,反思思维出现错误的地方,找到合理的修正策略,由此批判性思维也得到了提升。问题4鼓励学生大胆提出疑惑之处,充分暴露思维过程中出现的问题,一方面感知课堂学习过程中的情感态度从而更好地调节自我进行后续学习,感受数学知识的实际意义和价值;另一方面批判性地审视还有哪些知识方法未掌握,研判继续深入学习的方向,在不断完善和改进中学会学习。长期运用反思型问题链对学生进行思维训练能够养成学生主动反思质疑的习惯,促进学生批判性思维更深入的发展。

高阶思维集中体现了21 世纪教育的元价值,[17]是实现核心素养的重要途径。问题是思维发生和发展的起点,基于问题链培养高阶思维,更为注重挖掘和显露学生的思维过程。以问题贯穿课堂,通过情境型、阶梯型、探究型、发散型和反思型问题链,引导学生经历数学抽象、逻辑分析、探究建模、创新迁移、反思批判的思维过程,将数学高阶思维的培养渗透于课堂教学各环节之中,唯此,才能让学生的思维得以内化和升华,数学课堂教学才能真正成为高阶思维的发展舞台,实现数学的育人价值,为培养新世纪人才保驾护航。