基于数学多元表征理论“解决问题的策略”单元教学研究

江苏省淮安市和平镇中心小学 朱艳艳

江苏省淮阴师范学院教育科学学院 曹雨琳

数学多元表征学习是一种可外显的、具有一定可视化的思维过程，可以促进学生思维的进阶。在“解决问题的策略”单元教学中，多数教师存在解题思路的单一等问题，解题过程停留在对题目浅层的解释上，并未深入发掘其与数学基本思想或方法的本原性联系，导致学生的解题滞留在对方法和步骤简单模仿的阶段。相比单一表征，多元表征具有建构深度理解的认知功能。为解决此类问题，教师可以采用数学多元表征进行教学，让知识内核可视、思维深入，从而促进学生的数学理解和问题解决。

一、数学多元表征的内涵及运用价值

（一）数学多元表征的内涵

迪因斯提出多元具体化原则，表示多元表征的含义主要是一种学习原则，呈现出物理情境或具体实物模型的各种变式，获取抽象的数学结构。数学多元表征是将同一个数学学习对象用本质不同的多种形式表征，通过表征内部的自身转换和表征之间的相互转译以及联系或变式，对数学学习产生影响。

（二）数学多元表征的运用价值

数学多元表征指导学习过程主要通过内化多元外在表征信息、系统内部转译、构建图式这三个部分。“外在表征—内在表征—认知结构—数学对象”构成了学生数学多元表征学习的认知循环系统。小学生正处于从形象思维向具象思维转换的认知过程，单一的表征不同，数学多元表征意味着对数学研究对象理解上的多样性与具体性。数学多元表征的运用可以提升理解的层次，激发创造性解题思路的产生，从而使学生获得推理能力与解题能力的双向进步。

二、“解决问题的策略”学习与多元表征之间的关系

从数学教学的角度，数学表征分为形式化、图像化、动作化和语言化四类表征，或者分为符号、言语、图像和体验四类表征。由于“解决问题的策略”单元具有高度的抽象性与综合性，策略的学习需要建立在对数学基本思想与基本方法的深度理解与掌握的基础上。

对于学生而言，理解题目意思并且选用适当的策略是解决数学实际问题的两大核心步骤，而理解题意，需要将大段繁杂的文字表述简化、提炼抽象出所需的数量关系。在此基础上，学生再根据已有的经验去选择合适的策略解决问题。总体而言，小学阶段“解决问题的策略”单元能很好地培养学生的概括、理解与逻辑推理能力，从而让学生用数学的眼光看待生活中的问题，将理论素养与实践素养联系紧密。但这也对学生的思维层次提出了更高标准的要求，需要他们具备较高水平的数学多元表征思想，否则就会在理解题目上产生困难。

三、利用多元表征融入数学思想，促进数学理解

美国著名教育心理学家莱许用外在多元表征结构系统（见图1），如口头语言、图像、文字符号、实物操作和现实情景这些表征来说明数学概念的发展过程。笔者运用这些表征质性，结合“解决问题的策略”教学需求，提炼出以下四种多元表征基本类型：语词表征、关系表征、图式表征和符号表征。结合这四种表征，笔者进行“解决问题的策略”的整体教学，融入数学思想方法的渗透，促进学生数学素养的提升。

图1

（一）借助语词表征，找准解题关键

语词表征强调对于题目中关键性词汇的重复表述，这一过程往往要求学生具备发现数学问题中个别关键词的敏锐洞察力与简化提炼能力。

借助语词表征，学生可获得条理化思维，其解题过程也从最初题目呈现的繁杂无序向条理化后的简洁有序方向转变。学生在进行语词表述时，本质上是用自己的原有经验对题目中关键词的简单再加工过程。这个过程是否顺利很大程度上依赖于学生原有解决问题相关经验的丰富程度，原有经验越丰富，抓关键词就越容易，从而在语词表征方面就越简练。值得一提的是，仅靠关键词汇重复表述而进行的简单再加工过程仍处于认知层面的较浅层，这意味着语词表征很难构建题目中反映的数量关系。而数量关系的构建恰恰是“解决问题的策略”单元的核心要点，因而语词表征在多元表征中与其他表征相比处于劣势地位。在运用语词表征时，教师要注意发挥数学抽象思想，实现对学生从繁到简的数学求简意识的培养，从而找准解题关键，提升学生解决问题的能力。

（二）借助关系表征，厘清数量关系

关系表征强调根据题目意思建立相对应的数量关系的多种表述形式，同时需要在这多种形式中选择最容易理解的表述数量关系的形式作为解题依据。某些题目中，可能存在已给出了两者的数量关系这样的情况，但往往这种表述形式对于学生而言是陌生且不容易学会的。因而，教师可采用替换、转化等数学思想对关系表征形式进行表述形式上的再变动。

如苏教版数学六年级下册第三单元“解决问题的策略”的例题：星河小学美术组一共有35人，其中男生人数是女生的2—3，美术组的男生和女生各有多少人？在理解男生人数与女生人数的倍数关系时，学生可以借助关系表征使用转化的数学思想。学生对此处的分数表示男、女生这两者之间的倍数关系存在极大的理解障碍，原因是在他们以往的经验中，两者之间的倍数关系若不是整倍数，大多时候的表述形式会以“A与B的比是多少比多少”的形式呈现。因而，他们在开始选择恰当的策略解答这道问题之前，会将这一句话的表述形式转化成自己熟悉的倍数表述方法，即将“男生人数是女生的2—3”转化成“男生人数与女生人数的比是2：3”，从而感知转化思想，体悟转化后的简明性。在此基础上，学生再选择画线段图这样的直观表征综合理解数量关系，从而解决问题。

（三）借助图式表征，直观表示数量关系

图式表征强调通过画简图等手段，借助空间表象建立数学问题的视觉与空间模型，将物体间存在的数量关系形成相关图式。图式的直观性与鲜明性可指导学生运用不同的数学思想解题，如变与不变的思想，结合图式观察前后变化过程的规律，找准对应关系，从而使用恰当的方法解题。

由于图式表征能清晰地表现出题目中的已知条件与所求数学对象之间的数量关系，而且能指导学生选择最简单易懂的策略解决实际问题，图式表征在多元表征中与其他表征相比，处于优势地位。如苏教版数学四年级下册第五单元“解决问题的策略”例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？在探究原来花圃的面积时，教学的重点即是画图的策略。教师教学时开放教学过程，让学生借助图式表征使用画图和倒推的数学思想，先让学生结合题意画出变化后的花圃扩建过程图示（见图2），从而解决问题。教学此例题后，教师还可以进一步增加题目的开放度，拓展为长、宽分别增加（减少）和长、宽同时增加等不同的情况。学生只有在复杂多变的情况下，才能进一步感受到图式表征对理解题目数量关系进行解决问题的价值。

图2

（四）借助符号表征，抽象出数学对象的本质属性

符号表征强调通过使用数学符号表示出数学对象，在理解的基础上抽象出数学对象的本质属性。越是深层次的理解，越能抽象出简洁的符号来表示数量关系。在掌握不同水平层次的符号表征时，学生对于同一类型的题目的理解也是完全不同的。这一转变是经历了不断调动旧经验，从而生成新经验后获得的在符号表征上的提升。

由于符号表征能较为简单明了地表示出题目所反映出的数量关系，符号表征与图式表征一样处于多元表征的优势地位。使用符号表征、培养符号意识可以让学生在具体问题情境中利用符号描述单个或多个复杂的数学对象，从而提高解决问题的效率。如苏教版数学六年级上册第四单元“解决问题的策略”例题：在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？在分析大盒与小盒各装多少个球时，学生运用的解法一般是延续前一课时的假设替换的思想，其算术思维比较重，而对具有函数思想的代数思维比较轻，很少有人用方程的解法来解决问题。而这类题的变化类型往往让部分学生分析不清，因此，教师在教学中可以借助加大运用符号表征，使用假设的数学思想来解决问题，让学生分析题目的等量关系，列方程解决问题，并将列方程和算术方法进行对比，从而感受到利用设未知数，用符号来代替原来未知量的方法的思考简洁性。

多元表征间的关系不是非此即彼的，教师应重视提升学生多种表征灵活转换的能力，注重多元表征形式间的转换，强化与数学思想的联系，同时强化多元表征与策略背后反映的数学思想与方法二者间的联系，有助于促成更强的连通性。学生从中能收获对题目中隐藏的数量关系更为深刻的理解，运用多元表征教学，从“外”而“内”，走向深度理解，解构认知原理。