无痕视域下数学核心素养提升策略探微

江苏省苏州市新康实验小学校 姚 岚

在数学教学中，大多数教师会发现这样的情况：很多学生课堂表现非常出色，听讲很认真，也能正确回答教师的提问，仿佛没有什么可以难倒他们，但一旦遇到在纸上解答的问题，他们就无从下笔，甚至错误百出。可见，这部分学生课堂听讲没有问题，但是解题能力还有待提高。

无痕教育指出，数学思维是一种内隐性活动，而且各种思维方式之间的彼此相连、融会贯通和发展变化是一种无痕的状态。数学解题活动则是数学学科六大核心素养的外显模式。因此，在实施无痕教育策略提高课堂教学质量的同时，借鉴无痕教育的艺术引导学生通过“三道合一”策略提升解题能力和数学核心素养显得尤为重要。

一、“三道合一”释义解析

“有”和“无” ，“有痕”和“无痕”，其内在是对立而统一的，也是互相依存和相互转化的。从提升学生核心素养来说，要体现顺其自然的“无痕”渗透；而从教育的结果来看，要达到教育发展的“有痕”变化。“三道合一”策略即内外之道、有无之道、自省之道的有效融合。

内外之道是训练学生有效审题的策略。我们都知道审题是数学解题中的重要环节，是以阅读题目内容为基础的思维活动。很多数学题除了外显的表达外，还内隐着重要的条件、信息、规律、要求等，这就要求学生使用内外之道，通过题目外在表达，关注问题中内隐信息、内在规律，找到解决问题的突破口。

有无之道是引导学生高效解题的策略，在数学学习中就是运用数形结合的数学思维之道，把“无形”的数和“有形”的图自由切换，化无形于有形，融有形于无形，实现有无相生，找到解题突破口，打破解题思路单一化的局限性。

自省之道是促使学生正确解题的策略，在解题后，引导学生对解题结果，包括过程的正确性及时自省、反思、验证，拾遗补阙，减少失误。

将内外之道、有无之道、自省之道融合于整个解题过程中，能使学生的数学思维从内隐走向外显，由肤浅走向深刻。

二、学生解题现状分析

（一）题意理解外在化

在一次练习后，一年级家长群里对于找规律画图形的第二小题（见图1）出现了讨论：

图1

对于孩子的填法，部分家长觉得并没有问题，那到底该如何分析这类情况呢？

只看学生的答案，他们创造的这个规律完全无错，甚至可以说是常见的规律模式。那为什么判错呢？因为信息来源的本意是按照图形排列的规律，而学生创造了规律。发生这样的错误，原因在于学生在审题时只关注外在信息——继续画下去，而忽略了题目内隐要求——按照规律。

（二）解题思路盲目化

数学是一门极其强调思维的学科，很多学生看到一道从没有做过的数学题往往会觉得无从下手，即便下手了，采用的方法也是非常机械的死记硬背或简单粗暴的纯计算，稍有不慎就会出现错误。

（三）验证反思缺失化

提高学生解题能力，不仅要提高学生对问题的分析与解答能力，还要引导学生利用数学思维对解答过程进行反思和检验。我们常常发现学生在解题时为了快速完成，往往解答完就认为做完了。由于没有养成良好的反思验证习惯，出现解题错误后经常后悔，他们认为自己解题粗心了。其实，这种情况不仅是学生解题马虎的表现，还是学生验证反思能力缺失的体现。

三、“三道合一”策略实践

（一）内外之道：审题从外显走向内隐

解决问题时，我们不能只关注问题的外在表达，而要善于引导学生捕捉题目中的内隐信息、内在规律。这些“冰山”之下隐藏的要求、规律，才是解决问题的关键所在。正如找规律那道题（见图2）：

图2

从学生的解答中，我们可以看出，他们只是将模式单元1重复到模式单元2，并没有找出模式单元1内在的规律，也没有根据题目中内隐的要求按照模式单元1的规律继续画下去，而是自己创造了“重复”这个模式。“重复画”只是学生对题意的粗浅理解，而非题目本意。因为题目的要求是“找到规律并按照规律画”。这就是在审题过程中，学生忽略了内隐要求“找到规律并按照规律画”造成的解题错误。

要提高学生的解题能力，我们要在内外之道的策略指引下，通过观察、联想、类比、抽象、溯源、组合等把这些“内隐”识别，提升自身的审题能力。

1.对比训练，识别内隐信息

根据学生审题中经常出现的错误，特别是容易混淆的题目，教师可以对学生进行有针对性的专项对比训练，提高其捕捉内隐信息的能力。如根据轴对称图形的一半，画出另一半图形。（见图3）

图3

很多学生在审题时，会忽略对内在知识点——对称轴位置的关注，而画成了他们直觉中的图形。

教师也可尝试进行对比训练，让学生提高对内隐信息的捕捉能力。如出示部分学生完成情况，请学生来辨析哪位同学画的轴对称图形符合要求，说说为什么。（见图4）

图4

在对比中，教师引导学生发现，出现四个不同的图形是因为他们没有关注到题目中对称轴的位置，而是根据自己的理解画了四种不同的图形。所以，要确定另一半图形的样子，一定要确定对称轴所在的位置。

实践表明，对比训练可使学生提高识别内隐信息的能力，提高审题能力。

2.使用标注，捕捉隐藏信息

学生在获取信息时采取自上而下的模式。为了促使学生在审题时加强感知，教师可指导学生在关键的、重要的信息下面做标记，养成使用标记、捕捉隐藏信息的习惯。如教师可把问题中出现的关键词语、信息，用符号、线段图标注出来，强化这些关键信息在应用题里的重要作用，使题目中的条件与条件之间、条件与问题之间的密切联系更容易被学生关注到，从而促使学生正确地选择解题方法。

（二）有无之道：解题化无形于有形

有与无是辩证法的一对矛盾概念，无形的、无质的、无常的，都是“无”或接近于“无”，与此相对的就是“有”，有形、有质、外显、明显，容易觉察，容易看到、听到、想到、接触到。

有无之道告诉我们不能只关注“有”，更要关注“无”，辩证地看待有与无的关系，有则组之，缺则补之，无则变之，使它们相互联系、相互转化，在数学中就是运用数形结合的数学思维方法论实现有无相生，可以解决解题思路单一化的局限，化无形于有形，融有形于无形。

1.化无形于有形，加深理解运用

用长方形或正方形表示单位“1”，根据信息源中各个符码的关系，我们很容易看出剩余空白部分占了单位“1”的1 —64，那么6个加数的和就是单位“1”与空白部分的差，该题呈现的问题迎刃而解。（见图5）

图5

可见，把无形的数转化成有形的图，能使呈现形式更直观，更容易让学生理解和运用。

2.融有形于无形，解题化繁为简

将一个正方形纸片剪出一个小的正方形，再将阴影部分剪一刀，拼成一个长方形或梯形。（见图6）（1）你能完成拼图吗？（2）根据前后两个图形阴影面积关系，你能发现什么结论？很多同学面对这样的题会觉得无从下手。

图6

如果直接从平面几何的角度寻找结论，学生可能一时无法找到解题方向。此时，学生可将图形转换成无形的符号，探索解题途径。在理解图形信息后，学生可尝试将边长设以符号标识，在推导过程中将其转换为无形的符号（见图7）：

图7

可见，把有形的图形转化为无形的代数信息，能使几何信息呈现形式更简明，为寻找出简便的解题突破口指明了方向。

（三）自省之道：验证反思及时纠错

针对学生解题过程中验证反思能力的缺失，教师要借鉴无痕教育中的自省之道，培养学生的自省意识，将自省渗透到整个广义的解决问题流程中，在解题后，引导学生对解出的结论（包括过程结论和终结结论）的正确性及时自省、反思、验证，拾遗补阙，减少失误。

那么，如何采用自省之道对解决问题环节及结论进行验证呢？

1.估值验证

估值验证是指通过对题目的实际意义或心算估值，发现解题过程中的一些错误，从而达到解题结果自省的目的。

在“数与代数”领域，利用估值验证来验证对错非常可行。如“2613÷13” 这道计算题，学生在计算时很容易漏掉商中间的0，导致得出的答案为2613÷13=21，如果采用了估值验证，2600÷13=200，所以2613除以13的商肯定比200多。这样既避免了解题结论的错误，又进一步强化了解决问题过程的规范性。

2.多解验证

一题多解，目前作为一种被广泛运用的教学手段，对培养学生思维的广阔性、灵活性有着重要的意义。在解决问题过程中对解题的结果运用多解验证，可以从不同角度检测信息解题的规范性和正确性，并对验证出的结果加以调整，从而提高解题正确性。

3.返代验证

返代验证就是通过解题获得结论后不急于输出，而是将结论或在结论中取值代回原题，看其是否成立，若不成立，则说明结论有误，这样就可以查找解题错误之处。

如方程的检验、解决问题的策略中设计的检验过程都属于返代验证。返代验证可检测出此解题结论若符合原题条件，则解题正确。在教学中，教师要引导学生养成会用、善用、乐用返代验证的自省习惯，提高解题能力，使数学思维更具有双向的拓展性。

除了上述自省方式外，我们还可以采用量纲验证、逆向运算等自省手段。不过，对解题结论自省是解决问题的辅助手段，灵活选择合适的自省方式才能起到检验作用，有效否定错误解题结论。

总之，数学核心素养要求把学生培养成全面发展的人。提升学生的解题能力是发展学生核心素养不可分割的有机组成部分。学生在数学学习中的课堂学习效果及解决问题的能力直接影响着他们对数学知识的理解、掌握与应用。教师要充分借鉴无痕教育的艺术通过内外之道、有无之道、自省之道的有效融合，培养学生的数学感知力，提升其解题能力和数学核心素养，使其数学思维从肤浅走向深刻。