数学师范生数学核心素养模型建构与发展路径研究

摘 要：关注数学师范生的数学核心素养，就是关注“数学教师教育要培养什么样的人”的根本教育问题。为解决这一问题，本研究以扎根理论为方法论指导，对14位大学数学教师进行深度访谈，利用MAXQDA20软件对访谈资料进行整理、编码和统计分析，构建起数学师范生数学核心素养模型。该模型包括数学核心知识、数学关键能力和数学价值观念3个核心要素，以及数学学科知识、数学教学知识、数学学科能力、数学教学能力、数学信念、数学价值观6个子要素。高师院校应将发展数学核心素养作为数学人才培养的根本目标，发展路径包括：基于数学教学知识理论开发素养为本的整合课程、基于协同创新理论建立导向素养发展的教学方式、基于设计思维理论形成促进素养转化的学习过程。

关键词：数学专业；核心素养；师范生；模型构建

中图分类号：G650 文献标识码：A 文章编号：2095-5995（2024）01-0028-11

兴国必先强师。作为未来教师的后备力量，师范生任重道远，理应为国家教育事业做出垂范［1］。2014年，我国颁布《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，明确提出构建“各学段学生发展核心素养体系”。2015年起，21世纪核心素养开始扎根于我国的教育热土，基于核心素养的标准、课程、教学和评价等研究如雨后春笋跃升而出。特别地，基础教育阶段学科核心素养体系已经建成，成为学习内容组织、教与学方式和评价设计的基准。虽然富有创造性的教育改革的设想来自许多方面，但是，只有教师才能提供来自于课堂本身深刻的、有直接经验的洞察力［2］，教师才是教育改革成败的关键，教师专业水平的高低直接决定教育质量的优劣。由此，为回应素养时代的召唤，响应国家提出的“用优秀的人去培养更优秀的人”的伟大号召，研究教师乃至师范生的核心素养显得尤为重要。

关注数学师范生的数学核心素养，就是关注新师范愿景下“数学教师教育要培养什么样的人”这一根本的教育问题。扎尔曼（Zalman， U.）曾指出，直到未来一代教师在学习数学时关注核心素养，核心素养才可能成为学校的主流［3］。换句话说，在大学层级上关心核心素养对中小学生培养有重要作用，原因很简单，大学教育影响着未来中小学数学教师的核心素养［4］。那么，数学师范生应拥有怎样的数学核心素养？如何构建数学核心素养模型？模型应包含哪些要素？数学师范生怎样发展数学核心素养？目前，解决这些问题都还缺乏一定的研究基础，本研究将做一探讨：以高师院校数学教师为研究对象，通过深度访谈收集资料，以扎根理论为方法论指导，归纳提炼、建构和释义数学师范生数学核心素养模型；提出发展数学师范生数学核心素养的若干路径。以期为高师院校的师范人才培养定位、课程建设与教学改革提供可参照的理论框架，在规范和引领数学师范生素养发展上发挥借鉴作用。

一、理论概述

（一）词源分析：数学核心素养内涵本质的透视

在我国数学教育发展历程中，21世纪以前提的比较多的是“数学能力”“数学素质”“数学双基”等。20世纪70年代“数学素养”作为新名词出现在国内文献中，1992年其被首次写入全日制初级中学数学教学大纲，并一直沿用至今。2014年后，“数学核心素养”成为教育领域的新热点。何谓数学核心素养？有研究从核心素养推演界定数学核心素养，如数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力［5］。也有研究认为数学核心素养不应被看成一个全新的概念［6］，对数学核心素养的讨论离不开数学素养，研究数学核心素养，就是明确哪些数学素养对学生的终身发展是最为关键和必要的［7］，即最关键、最重要且可以衍生其他数学素养的可被称为“数学核心素养”［8］。基于第二种研究视角，我们有必要对数学素养加以溯源。

1959年，英国发表题为“15—18岁青少年的教育”的克劳瑟报告（Crowther Report），首次提出数学素养（Numeracy）。由于西方国家用词习惯不同，与数学素养对应的英文词条还有Quantitative Literacy（简称QL）、Mathematical Literacy（简称ML）。在以往文献中，QL、ML、Numeracy经常交换使用［9］。从数学素养概念演变来看，一方面，数学素养是从素养范畴中发展形成的一个专门领域，如同文化素养、科学素养、信息素养等；另一方面，QL、ML继Numeracy之后陆续产生，前两者是后者的扩展集，后者指向数量［10］，前两者倾向于被看作更全面的概念［11］。具体而言，Numeracy和QL是在简单背景中有效处理数字信息的自觉自为，ML是一种精细的、长期的教育愿景，包括对数学及其应用的洞察力［12］。换句话说，QL是所有公民的非常基本的数学技能，ML与学校数学教育结果相联系，是所有期望获得更高等教育和在信息时代从事工作的人的需要［13］。 ML作为数学课程的教育目标已有半个多世纪，而且很多世界性组织、国家或地区都将数学素养作为学生核心素养指标体系的一级指标［14］。在ML的众多定义中，国际学生评价项目PISA（Programme for International Student Assessment）的较有代表性：数学素养是个体确定并理解数学在这个世界中所起作用的能力，能够作出有根据的数学判断和从事数学活动的能力，以符合个体在当前和未来生活中作为有创新精神、关心他人和有思想之公民的需要［15］。

（二）特征描述：具备数学核心素养的人的研究

國外研究大致通过两种方式揭示数学素养的内涵，一是直接下定义，研究者们从不同的视角来界定数学素养的内涵，大致可归纳出四种观念类型：“特定区域和背景”说、“数学内容”说、“数学过程”说、“综合性诠释”，而将“背景、过程和内容”三条主线有机结合起来的“综合性”诠释是界定数学素养内涵的主流方式［16］。二是用对具备数学素养的人的描述来间接地解释这一概念。例如，数学素养意味着一个人能够在真实背景中推理、分析、明确表达、解决问题；有数学素养的个体是见多识广的公民，他们有能力解释和分析大量隐含在平日报纸、电视和互联网中的信息［17］。一个具备数学素养的人需要拥有数学的功能性知识、数学推理能力，认识数学的社会影响和效用，理解数学的本质和历史发展，对数学有积极态度［18］。又如，为成人生活和公民身份做准备的数学素养是：一般的认知能力、推理和思考、学科专有语言，思维或情感习惯，信息交流技术［19］。拥有数学素养的公民有用数学的眼光观察世界的预感性……在仔细评估的基础上有信心处理复杂问题，这里的数学素养包括：对数学的自信，文化欣赏，解释数据，逻辑思考，决策，数感，实践技能，必备的知识，符号感［20］。一言以蔽之，除非你懂得数学、除非你能将数学应用在实际情境或者能够处理与数学有关的情况，否则你不能称为有数学素养的［21］。

针对数学职前和职后教师的素养问题，我国大抵有两种研究思路。其一，专门聚焦数学素养，这类研究凸显出数学学科特性。如段志贵从数学的认识、数学的意识、数学思想方法的理解与掌握、数学史的明了、数学美的感悟以及数学语言的运用六个方面揭示数学师范生的数学素养构成［22］。叶志强等用数学知识、数学思维、数学能力、数学情意四部分刻画职前小学数学教师数学素养［23］。方勤华将数学教师专业素养界定为教师实施高质量数学教学需要具备的数学素养，即数学知识、数学能力和数学情意的综合统一体［24］。其二，把国内外制定的教师专业标准或者教师专业素养研究成果作为数学核心素养的演绎框架，以此彰显教师职业特征。如，高职院校数学教师核心素养由专业知识、专业能力和专业品性三个一阶因素构成［25］，中学数学教师的核心素养是指教师在高尚师德素养和精深教育数学素养协同作用下所形成的教师育人和数学树人的专业素养［26］。

综上所述，数学核心素养产生于数学素养和核心素养两条研究脉络的交汇处。本研究在构建数学师范生的数学核心素养模型时，既会站在核心素养视域下考虑数学师范生的培养定位，也会基于数学素养的本质考虑数學的特质。也就是说，本研究要立足两个出发点：第一，数学核心素养应具有鲜明的“学科性”，是数学学科特有的，其他学科的学习无法替代；二是要具有一定的“师范性”，即考虑教师职业的专业特性，这是高师院校师范人才培育的基本要求。但是，师范性并不意味着一般意义上教育理论知识和师范技能，而是关注由“数学—教学法”融通转化而得的数学教学素养以及为师为范的数学情感。

二、研究设计

（一）访谈对象

饱和是判断质性研究质量、说明样本量合理性的重要标准。当在数据收集的过程中发现新收集的数据与已有数据有重复且显得“多余”时，或者数据分析中不再涌现新编码或新主题，即可算作达到饱和状态。大部分情况下，质性研究达到饱和的样本范围为6至25之间［27］。本研究以数据饱和（Data Saturation）作为标准，在信息冗余时停止收集数据，最终访谈样本量是14个。访谈对象都是高师院校数学教师，主要从事基础数学、应用数学和数学教育的教学和科研工作，少数教师同时承担教学管理工作，大部分教师都同时为学科教学（数学）硕士生导师样本相对同质（详见表1，以访谈先后顺序排列）。

（二）访谈设计与过程

本研究采用半结构访谈方式，即按照访谈提纲或谈话主题进行，访谈者对访谈结构有一定的控制，但也会留下弹性空间，供受访者积极参与、表达观点。访谈围绕以下提纲进行：您认为，数学师范生应该具备哪些数学核心素养？为什么？每次面对面交流时间约为60分钟，对访谈进行全程录音。每次访谈结束后，立即将录音内容经机器和人工转录为文字。文字文本通过电子邮件被反馈给相应的受访者，请他们修改或剔除与他们原话或原意不符的内容，避免遗漏、曲解、错误等现象发生。所有专家都对转录文字进行核查、完善，使得语言更加流畅、观点更加清晰。当所有回访工作结束后，立刻对访谈资料进行整理归类。

（三）数据处理与分析

待所有访谈录音资料经研究者逐字逐句地转录和受访者检核后，将转录文本导入质性资料分析软件MAXQDA 20进行编码（Coding）。编码是扎根理论最关键的环节，是给予原始经验资料以抽象化类别、主题或者概念的过程。一般包括三级编码：第一级开放编码、第二级主轴编码、第三级核心编码［28］。

1.开放编码

在一级编码时，研究者应该采取一种主动“投降”的态度，这意味着研究者要把有关的前设和价值判断暂时悬置起来，让资料自己说话。研究者只有彻底敞开自己的胸怀，腾出一定的空间，才能让资料进到自己的心中［29］。研究者从这些原始资料中透视受访者的语义，将受访者的语义“登录”到自身的意识之中。在资料分析中，登录是最基本的一项工作，是将收集的资料打散，赋予概念和意义，然后再以新的方式重新组合的操作化过程。经过两次一级编码处理，对原始资料进行概念化，最终得到46个一级编码（如表2）。

2.主轴编码

建立一级编码之间的关联，发展类属概念是二级编码的主要任务。在建构生成二级编码的过程中，应不断思考以下问题：这些资料是有关什么的研究？这些资料说明了什么？是谁的观点？可以归结为哪些类属？［30］例如，从被访者的观点中可以提炼出“逻辑推理”“归纳猜想”“直觉洞察”开放编码，它们是数学推理的两方面：演绎推理和合情推理，因而这些类属被归并为“数学推理能力”。此外，关联后的类属之间应该是相对独立的。数学推理能力和抽象思维能力、空间想象能力、运算求解能力等都属于数学思维能力，而数学思维能力和数学应用能力又是数学学科特有的关键能力。因而，最终抽取出的二级编码是“数学学科能力”。依此思路，形成7个二级编码（如表3）。

3.核心编码

三级编码是选择具有统领性的，能够将最大多数的概念类属囊括在内的核心类属，以此将所有类属串联起来。选择核心类属的同时，要进行理论分析，把概念化尚未发展完备的下属类属补充完整。这是一个从原始资料发展出具有概括性的理论结构的过程，所以，也称为理论编码。在核心编码阶段，研究者应经常问：这个（些）概念类属可以在什么概括层面上属于一个更大的社会分析类属？在这些概念类属中是否可以概括出一个比较重要的核心？我如何将这些概念类属串起来，组成一个系统的理论构架？［31］在二级编码的基础上，提炼出3个核心类属。表4为核心类属与其关联的范畴。

三、模型建构与释义

（一）数学师范生数学核心素养模型的理论构建

扎根理论的研究最终会走向建构理论的阶段，理论建构是有价值取向的，理论的产生要依赖于研究者本身的立场和观点［32］。研究发现，受访者对数学师范生数学核心素养的理解是合理、丰富和系统的，其中不乏鲜明、独特的见解。如，“数学是自成体系的，是在最广泛的人类承认的公理上，用逻辑架构起的一套系统，有它独特的个性、美感。师范生在大学要学习对日后教数学有用的东西，最主要的不是教书的技巧与口才，而是对数学的基础理论、核心内容、数学的内涵和特征以至数学的整个体系有最深刻的理解，要知道数学是什么。每一门高等数学可以说是相应的初等数学的补充和发展，师范生要能够高屋建瓴地看到初等数学。（L）”“数学教学技能是指在有了基本数学知识、数学思想的前提下，把相关的数学知识和思想方法传达给学生并使其固化为学生自己的思想的一种合适的方式。（D）”这些观点与本研究的基本立场不谋而合，也就是说数学核心素养模型应指向“数学”学科自身。尽管模型中“数学教学知识”“数学教学能力”“数学教学观”和“数学学习观”都体现一定的“师范性”，但是它们的价值在于使得“学术数学”变为“教育数学”，终究都指向数学的深层理解。具体来说，比如，沃特金斯（Watkins， D.A.）和比格斯（Biggs， J.B.）通过对中国学习者的分析，提出教师的信念系统由数学学习观、数学观和教学观构成［33］。对“数学教学是什么、数学学习是什么”的认知一部分建立在教育学、心理学以及教学法知识之上，但是本研究更关注受合理“数学观”支配的“数学学习观”和“数学教学观”。同样，“数学教学能力”也可以分解为与数学本身紧密结合的知能和一般性教学技能，后者将不在考虑之列。

此外，戈尔丁（Goldin， G. A.）和德白理斯（DeBellis， V. A.）提出情感领域的四面体模型：情绪、信念、态度和价值观代表一个四面体的四个顶点，四者彼此联结、相互作用［34］。虽然受访者认为，师范生“应具有勇于探索的素质，为了成功，不怕挫折，不怕失败的精神（B）”“要能自我欣赏（F）”“需要坚强的意志品质（M）”，但是关于学习数学的动机和态度，对非数学专业的学生来说，它们通常与学习内容的难易关联较大而跟“数学”这一特定学科本身并无直接的关联。对数学专业的学生而言，学习兴趣和意志更多地取决于学生对数学的本质和价值的认识以及对数学美、数学理性的崇尚。这样的观点在某位受访者的话语中可见一斑，“数学使人精密、使人深刻、使人聪慧，数学学习总是在艰苦探索，总是在追求创新。人们就是通过这种艰苦的探索，提高追求真理的素质。师范生应通过数学学习培养这样的素质，这就是数学能够赋予的一种理性的思维模式（L）”。因而，情绪和态度中包含的情感成分远大于认知成分，不具有较强的稳定性，尤其没有学科特性。本研究着眼的是更为深入的数学观、数学价值观，数学审美情感、理性精神，而不泛泛地谈兴趣、自信心等“态度”。

从梳理提炼的各级编码中舍去“态度”及其下属编码，构建起数学师范生数学核心素养模型（如图1）。该模型主要源于大学数学教师的专业学识和教学实践经验，利用相关理论加以要素抽取、概括和精细化，体现扎根理论的方法路径。需要注意的是：（1）核心知识、关键能力、价值观念是模型的三个核心要素，虽然受访者提及各要素的频次不一样（如表4），但三者地位同等重要。（2）核心要素有着自身的结构和发展规律，相对独立又相互关联，具有动态转化关系（图中用双向箭头代表），共同构成耦合、循环的系统，指向数学核心素养发展，体现模型的“系统性”。综上，本研究认为，数学师范生数学核心素养是指在数学经验积累的基础上，生成并外显出来的可用于指导数学教学活动的一种关键的思想和行为特征，是数学核心知识、数学关键能力和数学价值观念的综合表现。

（二）数学师范生数学核心素养模型要素的意涵

1.数学学科知识和数学教学知识

研究者们普遍认为，教师需要的最重要的知识是：学科知识（Subject Matter Knowledge， 简称SMK）和能向学生有效表征SMK的学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge， 简称PCK）。在舒尔曼（Shulman， L.）的教师知识分类中，SMK包括内容知识、实质结构知识、章法结构知识和学科的信念，PCK是学科知识与一般教学法知识的特殊混合物，是教师专业理解的一种特殊形式［35］，是教师在面对特定主题，针对学生的不同兴趣与能力，将学科知识组织、调整，并进行教学的知识［36］。由频数统计可见，核心知识素养获得受访者普遍关注，被分为数学学科知识和数学教学知识两部分。其中，数学学科知识由数学内容知识、数学思想方法、数学结构知识、数学观知识组成。也就是说，“一名合格的数学师范生首先应有扎实的基础知识，基础知识包括概念、定理和思维方法，而且要通过基础知识的学习去认清整个知识体系，要充分地认识到大学的知识体系对中学是有用的。（K）”数学内容知识是数学学科知识的根基，是高等和初等数学课程中的核心概念、定理等知识的本质及其产生的背景，背景知识作为理解知识本质的必要条件，可以拓宽到数学史和数学文化的层面。数学思想方法内蕴于数学内容知识，是建立数学、发展数学和应用数学解决问题的指导思想及其具体化后的方式、手段和途径。数学结构知识是对数学内容知识组织化的结果，也包括不同数学分支赖以形成发展并据此建立彼此联系的数学形式结构（如代数结构、序结构、拓扑结构）。数学观知识是有关“数学是什么”的知识，比如欧尼斯特（Ernest， P.）将教师数学观大致分为3种类型：动态的、易谬主义的数学观，静态的、绝对主义的数学观，工具主义的数学观［37］，理解这些知识有助于形成合理的数学信念。数学思想方法、数学结构知识和数学观知识都生长于数学内容知识，而且三者之间也互为联系。比方说，数学思想方法是数学知识结构中不可缺少的元素，蕴含着一种数学观——“数学承载着思想，是解决问题的方法论”，同样地，数学结构知识也反映了“数学是研究抽象结构的理论”的观点。

有人说过，没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽［38］。中小学数学核心概念、性质、法则、公式等数学知识及其蕴含的数学思想方法是按照一定的逻辑顺序排列在教科书当中，数学教师的任务就是返璞归真，把形式化的数学还原出火热思考，回到数学原始的朴素的思想状态。“师范生可能把高等数学和中学数学都学的很好，可是对‘怎样把这些知识转化为教的知识，所学的知识教出来应该是怎样的认识不够。比如，函数知识很简单，但要知道教函数需要什么知识，如背景和函数应用。（C）”这意味着，数学师范生应发展数学教学知识——对学术数学进行理论上的再创造之后而得到一种教育数学，具体行为表现为：能基于中（小）学数学课程标准的理念和要求以及教材的编写意图进行教学，以便确保教学的准确性；能将中（小）学数学教材上的数学知识序列适当调整、重新组合或改造后再进行教学，以便帮助中（小）学生发现数学内在联结、建构知识体系；能将中（小）学数学教材上的数学知识的本质、思想、方法或历史文化厘定出来再进行教学，以便帮助中（小）学生更好地理解数学。

2.数学学科能力和数学教学能力

能力是在习得与运用知识的过程中形成和发展起来的，是顺利完成认知活动需具备的而且直接影响活动效率的一种个性心理特征。在频数统计中，关键能力素养是受访者提到最多的，包括数学学科能力和数学教学能力。数学学科能力涵盖数学思维能力和数学应用能力。数学思维能力在理性思维中发挥着独特的作用。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断［39］。值得一提的是，受访者非常关注数学思维中的“非逻辑”成分，认为“数学人很在乎逻辑，但一些创造性的东西是需要感性认识的，它来源于丰富的想象，这种想象来自于合情推理。（M）”数学应用能力是一种综合能力，离不开数学思维，是数学核心素养最为重视的。数学应用到底在“用”数学的什么，这是由数学的本质即数学“是什么”决定的［40］。从数学是“一种语言”“一个思维的实验过程”“一类模型、一种模式”的角度出发，本研究指涉的数学应用能力包括“四能”：数学地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，“四会”：会用数学语言表述的能力和交流的能力，会用数学符号、工具建模的能力和实验的能力。“四能”是数学应用能力的核心，数学建模和实验也不断地伴随着发现、提出、分析和解决问题的完整过程。如果说“四能”突出的是一种处理“数学情境”问题的能力，那么建模和实验更为强调的是“现实情境”。数学表述和数学交流是一种语言活动，是“出声地思维”，可以说是数学思维的书面化或口头化。这种语言活动始终渗透在处理数学问题和数学教学问题的過程中。

数学教学能力是师范生通过长期浸润在多样化实践场域中，经历运用数学教学知识解决模拟或真实教学任务后，生成的稳定的心理特点。数学教学能力涵括数学教材的分析和处理能力，数学教学设计能力，数学教学实施能力（包括数学概念、原理、问题解决和活动四类重要课型的教学）和数学教学评价能力。事实上，教材分析属于教学设计的一部分，鉴于教材处理能力受到不少受访者关注，所以将其单独析取出来。“师范生要对教材的整体结构、体系、目的、难点、重点、教学的量（例题量、作业量）、考试要求等有一个通盘的、综合性的、系统的了解（F）”“教材怎么处理，概念怎么引入、怎么展开，定理证明、应用方法以及习题怎么处理，都是要清楚的。拿到一本教材，有教学经验的老师处理手法、观点视角完全不一样，每一个地方都有很出彩的东西，加入很多创造性的东西。（A）”虽然数学概念等基本课型和评价设计都有教学理论规律和基本技法可循，但是最根本的还是对数学学科知识的精深理解和个性化创造。例如，在教学“配方法”时，可以采取“例子—原理”或“原理—例子”两种教学模式设计教学过程。但是，找到初中方程学习的统一路径，类比“消元”与“降次”思想，建立方程、平方根、开平方运算、完全平方式等知识之间的联结，才是这节课的教学根本。当数学师范生能够读懂教材，才会个性化处理教材——大胆舍弃教材中的现实问题情境，对教学内容进行结构化整合，从数学内部本身创设情境。总之，“数学有内在规律，数学教与学的过程比较经典，是一个教学思维的过程，不需要太多花哨的东西，最重要的是数学教师对数学要有很好的理解，又懂得把理解到的讲清楚给学生听。相对于外在表现，怎么启发学生思维更加重要。（I）”

3.数学信念和数学价值观

情感伴随人的一生，也不可避免地伴随着人的学习过程。在本研究中，数学信念指数学观、数学教学观和学习观，这个系统决定教师的教学方式，学生的学习观、学习方式以及学习结果［41］。数学价值观是指在拥有合理的数学信念的基础上，对数学的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值等的判断和认识。“教师不仅要教学生课本知识，还要告知他真正的数学是什么，将来用来解决什么问题。即便课堂上不用讲这么多，但是教师至少要清楚，这会影响自己教学方式和学生的学习。这就是为什么中学老师上大学，接受抽象数学教育的原因。（B）”事实上，每一种数学教学观、学习观和价值观都与某种数学观有着深层次的对应关系，如果数学观不合理，或者不完善，那么就不可能站在比较宽广的视阈之下审视数学的教学、学习和价值问题。比方说，“数学是一种科学语言”是对数学本质的“语言观”诠释，数学借助它的语言特征向人类传播思想，构筑精神文化，这从一个侧面反映出数学具有文化价值。而当教师将数学视为科学的语言，那么就会重视学生的数学表达、引导学生感悟数学语言的简洁美。又如，持有“数学是一门技术和工具”观念的教师可能更多地看见数学的应用价值，但是如果仅把数学当作解题工具，看不到数学更丰富的价值，不得不说是教学的一个缺失。再如，倘若教师了解数学发展史中出现的悖论及其引发的危机，认可“数学是可误的且可纠正的理论”，那么就会珍视学生的错误，甚至将“纠错课”“错中学”视为很有意义的教与学方式，而这样的教学也在传递一种精神、一种理性的精神。很显然，教师所持有的数学观点与在课堂教授中数学讲述的方法密切相关。“数学不只是一些抽象的符号和公式的汇集，而是一门充满人文精神的科学，形成了社会的一种特殊的文化形态。数学对于学生的世界观，思维方式以及精神世界的养成具有十分重要的影响。（L）”传递给儿童们的关于数学及其性质的细微信息，就会对他们今后去认识数学以及数学在他们的生活阅历中的作用产生影响［42］。

观念的更新与知识的更新（包括方法论方面的学习）相比如果说不是更为重要，至少也是同样重要的［43］。理性、情感和意志都是在观念（指教学中提供给学生的所有知识）基础上形成的，只有掌握一定的系统知识，才能形成道德概念和行为［44］。例如，二次函数y=ax2+bx+c可以将许多数学现象简洁地融于一身，莱布尼兹用∫f（x）dx简洁符号表达了积分概念的丰富思想，刻画出“人类精神的最高胜利”，只有深刻理解数学知识，才有可能体会到数学美的存在。又如，为感悟数学的理性精神、文化价值，对数学历史的了解必不可少。通过追溯数学发展史可以发现，正是伟大的数学家们在理性精神的驱动之下对数学真理孜孜不倦地追求，数学三次危机才能被解决，数学科学才能不断进步，并为人类社会、科学、文化带来巨大的价值。因此，数学信念和数学价值观的形成离不开数学知识的土壤，它们彼此相互砥砺、协调发展。

四、发展路径探索

高师院校应将数学核心素养培育作为数学教师教育的根本目标，建议以模型为参照，系统推进课程与教学变革。

（一）基于数学教学知识理论开发素养为本的整合课程

数学教学知识（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）是一个由数学学科知识、教学知识、学习者以及情境有机整合，用以表征学习者难以理解的数学内容的知识体系，是数学知识素养中的各要素融通转化而成。那么，数学学科知识、一般教学知识、技术知识和实践情境知识等都是MPCK得以转化生成的知识基础，开设传播这些知识的课程，也就能够指向发展数学核心素养的具体目标。当然，我们不能侥幸地认为，某一类知识基础（如数学学科知识、教学知识或技术知识）的增长都会自发引起MPCK的增长。MPCK的发展过程是教师不断整合和应用多种知识的过程。因而，增设体现这些知识有效整合的教师教育课程，促使师范生将各类知识有效联结，才有可能生成MPCK这种独特的化合物，才能促进数学核心素养的发展。西方教师教育研究领域对此做出积极探讨，学者们专门撰写了相应的教材，如《小学数学学科教育学知识：为教师提供的有力观点》，分别对数系、算术、几何、部分与整体、小数、测量、数据分析、可能性、比率与比例、推理、代数等的MPCK知识进行厘清［45］。我国高师院校没有开设专门培养MPCK的课程。数学教学论、中学数学教学设计等虽然具有发展MPCK的功能，但是大多数课程仅停留在理论和教法的授导层面。在加强已有课程建设的同时，应将数学学科专业类课程、数学教材研究和教学理论类课程、数学教育实践类课程相互交融转化，生成“素养导向”的数学教师教育课程，如高观点下的初等数学教学研究、中学数学教材分析与教学知识转化实践、数学文化教与学、数学跨学科主题学習等。

（二）基于协同创新理论建立导向素养发展的教学方式

目前，教师教育课程存在三方面困境：师范生完全在去情境化的课堂环境中模拟教学、教师教育者往往缺乏完备的中小学学科教学素养、教学法课程内容与基础教育脱节，这些无疑对师范生实践性知识和教学智慧生成以及创造型学习都提出了严峻挑战。科克伦（Cochran， K.F.）等指出，教育学专家、学科专家和经验丰富的一线教师必须合作开展教师教育课程的教学［46］。因为，协作教学可以改善教师教育，为职前学生提供向不同背景的教师学习，并体验一种聚焦教学实践核心的合作形式的机会［47］。协同创新（Collaborative Innovation）思想主要源自于管理学和经济学的研究，目前已经广泛用于教育领域，是指“由自我激励的人员所组成的网络小组形成集体愿景，借助网络交流思路、信息及工作状况，合作实现共同的目标。”［48］基于协同创新思想，数学教师教育者、数学师范生和中小学数学教师可以深度合作，建立“U-S双师”［49］教学方式——中小学参与师范大学人才培养、教师教育者支持中小学教师专业发展，双师协同开发课程、共同执教，从而实现学术知识和经验知识整合应用和价值互化，促进教学改革创新，让师范生获得强有力的理论学习和实践指导。比如，大学数学教师和中学名师共同承担高观点下的初等数学教学研究，帮助数学师范生建立结构化知识体系、发展数学应用能力。大学数学教师和数学教学法教师一起建设数学思想方法和数学文化类课程，厘定“大中小学”数学知识中一脉相承的思想和文化，让数学师范生形成发明数学、改进数学和应用数学解决问题的思想体系，发展数学思维能力，形成合理的数学观。数学教学法教师和中小学数学名师可以共同主持数学实践类课程，帮助数学师范生夯实初等数学知识体系，获得MPCK。

（三）基于设计思维理论形成促进素养转化的学习过程

设计思维（design thingking），即像设计师一样思考，对不存在的事物进行规划和想象，找出富有创意的想法［50］。设计思维有一套系统的方法体系，强调设计与思维相依的双螺旋关系，具有生成性和创造性双重属性，并关注学习制品（artifacts）的生成［51］。近年来，研究者們尝试将设计思维融入某一类型的课程或主题教学设计中，有研究指出学习者运用设计思维方法解决问题的过程及优秀设计思维者培养的过程即是创客思维和21世纪核心技能养成的过程［50］。设计思维何以作用于数学核心素养的发展？设计思维与数学核心素养都根植于问题解决。发展数学核心素养意味着强调以“问题解决”为中心的自主探索、合作交流和创新设计学习过程，在参与行动中，师范生的数学核心素养伴随对数学内容本质的理解而生成和积累。设计思维支持下的学习活动以解决劣构问题为导向，设计者通过许多情境练习来理解如何从处理某种事物中产生意义建构。作为创造性解决问题的手段，设计思维直接、动态地联系着思维和行动。所以，数学核心素养发展与设计思维过程都蕴含着共同的内在思想——“问题”“设计”和“创造”，两者在目标和路径上完全契合。例如，在数学建模或数学实验课程中，师范生要综合数学学科知识对问题进行解决方案设计，用实验探索规律，进而建模和验证，发展数学思维和应用能力。又如，在教师教育类课程学习中，数学师范生面对设计一门校本课程、一节中学数学课或者一份小学数学作业的学习任务，需要调动已有的中小学数学、数学课程论以及教学论等知识，将它们转化迁移到不同情境的问题域，在数学问题探究和数学教学实践中生成新的知识和能力。“理解—迁移—创新”恰好体现数学核心素养生成的主体性活动过程，也是数学师范生作为设计者综合运用所学知识，解决挑战性问题，学会共情、思考、创想、修正制品的学习过程。

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Research on theModel Construction and Development Path of Mathematical Core Literacy of Prospective Mathematics Teachers

Liu Zhe

Abstract：Paying attention to mathematical core literacy of prospective mathematics teachers is to pay attention to the fundamental educational problem of “what kind of people should be cultivated in mathematics teacher education”. In order to solve the problem， guided by grounded theory， 14 university mathematics teachers were interviewed in depth， and the interview data were sorted， coded and statistically analyzed by MAXQDA20 software， so as to construct the mathematical core literacy model of prospective mathematics teachers. This model includes three core elements： mathematical core knowledge， mathematical key ability， and mathematical opinion of value， as well as six sub elements： mathematical subject knowledge， mathematical pedagogical knowledge， mathematical subject ability， mathematical teaching ability， mathematical beliefs， and mathematical values. These elements reflect that mathematical core literacy of prospective mathematics teachers not only has a distinct “disciplinarity” and is unique to mathematics discipline， but also has a certain “pedagogical characteristics”， which reflects the professional characteristics of the teaching profession. Normal universities should regard the development of mathematical core literacy as the fundamental goal of cultivating mathematical talents， and the development path includes： developing literacy-oriented integrated curriculum based on mathematics pedagogical content knowledge theory， establishing teaching methods oriented to literacy development based on collaborative innovation theory， and forming a learning process promoting literacy transformation based on design thinking theory.

Keywords：mathematical core literacy；prospective mathematics teachers；model；development path;

基金項目：2023年广东省教育科学规划课题（高等教育专项）“设计思维视域下面向师范生跨学科教学设计能力发展的教学改革研究”（2023GXJK264）；2023年华南师范大学“本科教育教学数字化转型”校级专项教改项目“数字化转型赋能教师教育‘设计类课程高质量混合学习的行动研究”.

作者简介：刘喆，女，安徽人，教育学博士，华南师范大学数学科学学院副研究员、硕士生导师，主要从事数学课程与教学论、教师教育等研究.