含切口的压电准晶组合结构界面断裂分析的辛-等几何耦合方法

杨震霆, 王雅静, 聂雪阳, 徐新生, 周震寰

(大连理工大学 工程力学系 工业装备结构分析优化与CAE软件全国重点实验室, 辽宁 大连 116024)

0 引 言

1983年,诺贝尔奖获得者Shechtman教授首次在急速冷却的铝锰合金中发现了一种介于晶体与非晶体之间的物质——准晶体(QC)．该类物质由于特殊的微观结构,表现出诸多优良的属性,如隔热、耐腐蚀、耐磨等,可用于制备太阳能选择吸收器、储氢材料等,在航空航天领域和新能源领域具有广阔的应用前景．但是,准晶体为脆性材料,自身极易发生断裂失效,需要与其他材料组合使用．然而,由于材料失配问题,不同材料的界面处不可避免地会出现界面断裂．因此,研究准晶体组合结构的界面断裂问题具有重要的实际意义．

目前,准晶体/压电准晶体(PQC)的断裂力学研究已经受到了学术界的广泛关注．基于准晶体的弹性理论[1],Fan(范天佑)等首次研究了准晶体中的Griffith裂纹[2-3]．此后,研究者们进一步深入研究了准晶体线弹性断裂问题[4-13]．在压电准晶体断裂方面:Jiang和Liu[14]研究了含有V形切口的一维六方压电准晶体断裂问题,并推导了应力强度因子的解析解;Li等[15]采用奇异积分方程研究了横观各向同性压电准晶体圆柱壳的断裂问题;Zhou和Li[16]考虑了压电准晶体中的半渗透裂纹并求解了应力强度因子;Zhao等[17-18]发展了一种扩展位移不连续边界元法,研究了双压电准晶体材料的界面断裂问题;Hu等[19]研究了双压电准晶体材料中的双界面裂纹．

上述研究工作主要集中于单一准晶体/压电准晶体断裂问题,解析分析主要基于单变量的Lagrange求解系统,需要根据边界条件构造假设函数,因此大部分研究工作为无限大或半无限大的模型．此外,目前还没有针对含有切口的压电准晶体/压电晶体/弹性体多材料界面反平面断裂问题的相关研究．为解决上述问题,本文将辛方法与等几何方法[20]相结合,发展了一种适用于压电准晶体/压电晶体/弹性体多材料组合结构反平面界面断裂问题的辛-等几何耦合方法．辛方法[21]是钟万勰院士首次提出的一种全新的解析求解方法,该方法无需构造假设函数,是一种直接理性的求解方法,目前已广泛应用于多场耦合材料力学问题和断裂力学领域．相比传统方法,提出的辛-等几何耦合方法主要具有以下三方面优势:① 无需切口尖端的控制点加密,节省了大量计算资源; ② 无需后处理,直接获得切口尖端附近的物理场和强度因子解析表达式,计算精度大幅提高; ③ 可以避免复杂的网格剖分过程．

1 压电准晶体/压电晶体/弹性体的辛体系

1.1 基本模型

含V形切口的三材料组合结构如图1所示,为了研究切口在不同材料界面的情况,这里考虑3种情况: ① 切口位于压电准晶体和弹性体之间,即M1为压电准晶,M2为压电晶体(PZC),M3为弹性体(情况1); ② 切口位于压电晶体和弹性体之间,即M1为压电晶体,M2为压电准晶,M3为弹性体(情况2); ③ 切口位于压电准晶体和压电晶体之间,即M1为压电准晶,M2为弹性体,M3为压电晶体(情况3)．以切口尖端为原点,以上切口面为x轴和极轴建立直角坐标系(x,y)和柱坐标系(r,θ,z),以不同材料界面分别建立两个子柱坐标系(r1,θ1,z1)和(r2,θ2,z2)．

图1 含切口的三材料组合结构Fig. 1 The 3-material composite with a notch

1.2 Hamilton对偶方程

由文献[22-23],三种材料反平面问题的应变能密度和对应的Lagrange密度函数为:

应变能密度

(1)

(2)

(3)

Lagrange密度函数

(4)

(5)

(6)

引入广义位移向量:

(7)

由Legendre变换,广义位移的对偶变量为

(8)

因此,Hamilton函数为

(9)

由Hamilton变分原理,Hamilton对偶方程为

(10)

1.3 辛本征值和本征解

式(10)可采用分离变量法求解．令ψ(i)={q(i),p(i)}e-μξ,有

(11)

式(11)有零本征值,其对应的本征解为

(12)

对于非零本征值,式(11)的通解为

(13)

该情况下,上下切口面声子场、相位子场应力和电位移为零:

{σθz|θ=0,Hzθ|θ=0,Dθ|θ=0}T=0,σθz|θ=-γ1-γ2-γ3=0．

(14)

压电准晶体与压电晶体界面处,声子场对应的应力、位移、电势和电位移连续,相位子场应力为零:

(15)

压电晶体与弹性体界面处声子场应力、位移连续,电位移为零:

(16)

将通解(13)代入边界条件(14)—(16)中可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中Λ由式(17)—(25)获得．

式(26)有非零解,因此

|Λ|=0．

(27)

由于式(27)无法解析求解,采用迭代法可求出辛本征值的数值解．将本征值代入式(26)中,即可求出所有的非零本征值对应的本征解．至此,式(11)中的所有辛本征解已全部获得．因此,式(10)的解可以表达为这些辛本征解的线性组合:

(28)

2 辛-等几何耦合方法

2.1 压电准晶体/压电晶体/弹性体的等几何列式

采用NURBS基函数对声子场/相位子场位移和电势进行离散:

(29)

对应声子场/相位子场应变和电场强度为

(30)

将式(29)和(30)代入式(1)—(3)中,由变分原理即可得到等几何列式:

K(i)a(i)=P(i),

(31)

(32)

其中

载荷向量P(i)为

(33)

2.2 压电准晶体/压电晶体/弹性体的辛-等几何耦合列式

将模型分为两个区域,如图2所示．Ωs为奇异区,该区域受切口尖端的奇异应力影响较大．Ωn为非奇异区,该区域远离切口尖端,受奇异应力影响较小．

图2 奇异区和非奇异区Fig. 2 The singular region and the non-singular region

将等几何列式(31)按奇异区和非奇异区进行分块:

(34)

下标s和n代表奇异区和非奇异区．采用辛方法对奇异区进行求解,将奇异区的解式(28)代入式(34)中,即可获得辛-等几何耦合列式:

(35)

其中Φ(i)由辛本征解组成．可以发现,辛-等几何耦合列式中,基本未知量为辛本征解的待定系数和非奇异区内控制点的未知量．当求解该方程,获得待定系数c,即可获得模型奇异区内物理场的解析表达式．

3 数 值 算 例

表1 压电准晶体/压电晶体/弹性体材料参数

3.1 对比算例

图3 含内部裂纹的压电准晶体Fig. 3 The square PQC with an internal crack

图4 应力强度因子随模型尺寸的变化Fig. 4 The variations of the stress intensity factor vs. the size of the model

图5 圆形压电晶体/环氧树脂双材料结构Fig. 5 The circular PZC/epoxy bi-material

(a) κ1的影响(a) The effects of κ1

3.2 压电准晶体/压电晶体/弹性体三材料结构的奇异性

考虑图1中各角度对切口尖端奇异性的影响．计算参数为γ1=γ3=Δθ,γ2=180°．表2—4给出了不同情况下,切口尖端的奇异性随各角度的变化．结果显示情况1和情况2均有两个奇异性指数,而情况3仅有一个奇异性指数,并且所有的奇异性指数均随着角度Δθ的增加而降低．因此,切口的角度越小,3种情况的应力奇异性越强．

表2 情况1时切口奇异性指数随角度Δθ的变化

表3 情况2时切口奇异性指数随角度Δθ的变化

表4 情况3时切口奇异性指数随角度Δθ的变化

3.3 含边切口的方形三材料结构

考虑如图7所示的含有边切口的方形压电准晶体/压电晶体/环氧树脂组合结构,分别考虑情况1、情况2、情况3三种组合方式．三材料角度分别为:γ1=γ3=60°和γ2=180°;切口深度为a;模型宽和高为L=6,H=12;无量纲载荷参数为:Δu=Δw=Δφ=0.1．由于三材料组合结构尖端奇异性指数不再为-1/2,这里采用文献[23,27]所定义的广义强度系数．

(a) 情况1 (b) 情况2 (c) 情况3 (a) Case 1 (b) Case 2 (c) Case 3

表5 界面1强度系数(情况1)

表6 界面2强度系数(情况1)

表7 界面1强度系数(情况2)

表8 界面2强度系数(情况2)

表9 界面1强度系数(情况3)

表10 界面2强度系数(情况3)

4 结 论

本文发展了一种适用于压电准晶多材料组合结构界面断裂问题的辛-等几何耦合方法．该方法可以分析含V形切口的压电准晶体/压电晶体/弹性体的界面断裂问题,直接获得切口尖端附近区域内的奇异物理场的解析表达式以及各物理场对应的强度因子．该方法克服了传统数值方法在计算强度因子时存在网格和路径依赖问题,并且不需要引入新的单元和复杂的后处理程序．