导电压头作用下的功能梯度压电涂层二维黏附接触问题研究

韩立夫, 刘铁军

(1. 内蒙古工业大学 理学院, 呼和浩特 010051;2. 河套学院, 内蒙古 巴彦淖尔 015000)

0 引 言

随着微机电系统和仿生器械的快速发展,对于结构和构件的黏附接触及损伤的研究已经引起了科学家和工程师们的广泛关注．对于均匀弹性材料的黏附接触问题,学者们先后建立了Bradley刚体模型[1]、JKR模型[2]、DMT模型[3]、Maugis-Dugdale(M-D)模型[4]、双Hertz模型[5]．近年来,学者们将这些经典模型发展到新型复合材料中,并研究其黏附接触行为．Chen等[6]研究了压电半空间球面刚性冲头的微尺度黏附接触问题,结果表明,压电效应对压电材料的黏附接触行为有显著影响; Sergici等[7]研究了球形压头与弹性层状介质之间的无摩擦黏附接触问题;Chen等[8-9]建立了幂型梯度材料的黏附接触模型,给出了黏附接触界面临界拉脱半径的解析解,研究结果表明,功能梯度材料的黏附接触拉脱力与材料的弹性模量无关, 但依赖于材料的梯度变化、球体半径及黏附能;Jin和Guo等[10-15]相继建立了幂型梯度材料的轴对称无摩擦JKR黏附接触模型和受表面粗糙度影响的黏附接触模型以及双Hertz黏附接触模型,并将黏附接触模型扩展到了压电材料,以上研究更详细的内容可参见文献[14]．

有学者将功能梯度材料的设计理念引入到压电材料,从而为功能梯度压电材料(FGPM)的制备提供了设计思路,已经取得的大量研究成果表明,将FGPM用作涂层能有效改善均匀压电材料接触表面的力学性能和损伤,并实现可设计性．Zhu等[16]研究了利用FGPM作为均匀压电材料表面的涂层,有效抑制了器件使用过程中的破坏行为;Ke等[17-18]研究了参数随指数变化的FGPM与刚性绝缘和导电压头的二维无摩擦接触问题,研究结果表明,材料梯度指数和压头特性对功能梯度压电涂层的接触力学性能产生显著影响;Liu等[19-21]对材料参数呈指数变化的功能梯度压电涂层在绝缘与导电压头作用下的轴对称无摩擦接触问题进行了研究,发现导电压头作用下的最大接触应力值小于绝缘压头下的值,同时还研究了绝缘压头作用下的功能梯度压电涂层部分滑移接触问题;Su等[22-23]深入研究了功能梯度压电涂层在导电压头作用下的部分滑移接触问题;刘兴伟等[24]研究了一维六方压电准晶中正n边形孔边裂纹的反平面问题;马占洲等[25]基于层合板模型研究了梯度压电涂层Reissner-Sagoci问题;代文鑫等[26]研究了导电压头作用下的多层FGPM涂层二维接触问题,更详细的内容可参见文献[23]及相关文献．

特别地,Baney等[27]建立了平行弹性长圆柱体(均匀弹性材料)之间的M-D黏附接触模型,并给出了一个参数λ来控制不同接触理论的适用范围;Li等[28-33]建立了功能梯度材料相关的M-D黏附接触模型,并比较系统地研究了功能梯度涂层二维和轴对称黏附接触问题,同时还考虑了尺度效应,详细的研究内容可参见文献[34]．本文在功能梯度压电涂层二维接触问题基本解的基础上,利用M-D黏附理论,建立了刚性圆柱导电压头与功能梯度压电涂层二维黏附接触模型,给出了刚性圆柱导电压头作用下,功能梯度压电涂层二维无摩擦黏附接触问题的控制方程,并转化为Cauchy奇异积分方程．标准化后,采用Erdogan-Gupta的方法进行了数值计算,并定量分析了黏附应力、梯度参数和压头所带电荷对拉脱力、接触应力、电荷分布、压痕及电势等力电参数的影响．本文的研究丰富了FGPM黏附接触理论,对解决功能梯度压电涂层二维黏附接触问题具有一定的理论指导意义．

1 功能梯度压电涂层-基底结构二维问题的通解

考虑厚度为h的功能梯度压电涂层与均匀压电基底半空间完美黏接,x轴位于涂层和基底之间的界面处,z轴沿竖直方向向上,涂层上表面(z=h,x=0)处受法向集中线载荷P、切向集中线载荷Q以及正集中线电荷Г的共同作用,该问题的力学模型如图1(a)所示,并假设沿厚度方向极化压电材料,功能梯度压电涂层的材料参数沿z轴方向呈指数形式变化[17-20,22-23],即

(a) 法向、切向集中线载荷P、Q和正集中线电荷Г共同作用 (b) 刚性导电压头作用 (a) Under normal and tangential concentrated line load P, Q and (b) Under the rigid conducting indenter positive concentrated line charge Г

{clk(z),elk(z),εll(z)}=(clk0,elk0,εll0)eβz, 0≤z≤h,

(1)

其中,clk0,elk0和εll0分别代表功能梯度压电涂层与均匀压电基底半空间在z=0处的弹性常数、压电常数和介电常数;β代表涂层内材料参数的梯度指数,β=0代表涂层和基底是同种均匀压电材料．关于该问题通解的具体推导过程可参见附录A,后文中方程推导和数值计算将会用到．

如图1(b)所示,假设压头是刚性的,其上作用有法向集中线载荷P和正集中线电荷Γ,并按要求将其安置在FGPM涂层和均匀压电基底半空间上,在FGPM涂层表面将会形成接触区2a和电势φ1;在接触区外(x>|a|),假设接触应力和电荷分布均为零,不计摩擦．此问题可用FGPM涂层和均匀压电基底半空间二维无摩擦接触问题的基本解(附录A中式(A36)—(A38))进行求解．

假设p(x)和e(x)(-a≤x≤a)分别为表面接触区内的法向接触压力和电荷分布,即σzz1(x,h)=-p(x)和Dz1(x,h)=-e(x),利用叠加原理,对附录A中式(A36)—(A38)在接触区内积分,可以获得刚性导电压头作用下接触表面的位移分量和电势表达式:

(2)

(3)

(4)

2 刚性圆柱导电压头作用下无摩擦黏附接触问题的求解

2.1 建立黏附接触模型

为了便于问题的求解,压头选用圆柱型,并假设FGPM涂层和均匀压电基底半空间在刚性圆柱导电压头作用下的二维无摩擦黏附接触满足M-D黏附理论[27-34],如图2所示的FGPM涂层在导电压头作用下的力学模型．图2(a)为黏附接触模型,图2(b)为涂层表面的应力分布．根据M-D黏附理论,其黏附功可表示为w=σ0h0,当两个接触物体表面间的距离小于h0时,其接触表面的黏附应力为σ0,于是接触表面的应力分布可重新表示为

(5)

(a) 黏附接触模型 (b) 涂层表面的应力分布 (a) The adhesive contact model (b) The stress on the coating surface

对于圆柱压头,当接触区2a远小于压头半径R时,圆柱压头的外形可近似为如下抛物线[17-18,23,26,28-30]:

(6)

式中,δ0表示发生在接触区域中心的最大压痕深度,R表示刚性圆柱压头的半径,

(7)

黏附接触在x=c和x=a两点处的位移须满足如下条件[28-30]:

uz1(c,h)-uz1(a,h)=h0-(c2-a2)/(2R)．

(8)

涂层接触表面x=0处的压痕δ0可表示为

δ0=uz1(0,h)-uz1(1 000a,h)．

(9)

涂层接触表面x=0处的电势φ0可表示为

φ0=φ1(0,h)-φ1(1 000a,h)．

(10)

2.2 奇异积分方程的建立

考虑黏附时,式(2)—(4)重新表示为

(11)

(12)

(13)

其中

将式(11)—(13)对x求导,可以得到如下无摩擦黏附接触问题的Cauchy奇异积分方程:

(14)

(15)

(16)

其中

假设压头是一个绝缘体,那么法向电位移在接触表面为零,即Dz1(x,h)=∂φ1(x,h)/∂x=0,从而可得到绝缘压头作用下,FGPM涂层和均匀压电基底半空间无摩擦黏附接触问题的奇异积分方程

(17)

(18)

若为均匀压电半空间无摩擦黏附接触问题,则奇异积分方程为

(19)

(20)

(21)

根据静力学平衡关系,考虑黏附时,涂层表面接触应力p(x)=σ(x)-σ0,电荷分布e(x)与法向集中力P、总电荷Γ满足下列关系:

(22)

(23)

FGPM涂层表面接触应力p(x)在接触区边缘(x=±a)处是光滑的,在接触区内表面电势φ1(x,h)是一个常数,则有∂φ1(x,h)/∂x=0．同时, 根据文献[18], 刚性圆柱导电压头的电荷e(x)可以分解为下面两个部分:

e(x)=e1(x)+e2(x),

(24)

其中,e1(x)是由法向载荷P引起的表面电荷分布,且在接触边缘(x=±a)光滑,e2(x)是由电势φ1(x,h)引起的表面电荷分布,其在接触区边缘具有-1/2奇异性,根据文献[18],结合式 (7)可得到

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

其中,Γ1是与法向荷载P关联的电荷,Γ2是与电势φ1(x,h)关联的电荷．

将式(12)代入式(8),得到求解位移差的表达式:

(31)

2.3 积分区间的变换

利用如下的变量代换[28,34],将式(25)—(30)转化为如下形式:

x=aζ,t=aη,-1≤ζ≤1, -1≤η≤1,c=ma,

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

其中

式(31)变换为

(38)

式(9)变换为

(39)

式(10)变换为

(40)

2.4 方程的离散化

涂层表面接触应力σ(η)和法向荷载引起的电荷分布e1(η)可表示为[18,23]

(41)

式(32)、(33)和(36)为第一类Cauchy奇异积分方程,考虑Erdogan-Gupta的方法[35-36],对其进行离散后可数值求解．首先将式(32)—(35)进行离散,从而得到

(42)

(43)

(44)

(45)

其中

ηl=cos[lπ/(N+1)],ζk=cos[π(2k-1)/(2(N+1))],k=1,2,…,N+1,

由于电荷e2(η)具有-1/2奇异性,可设[18,23]

(46)

同样,使用Erdogan-Gupta的方法对式(36)和(37)进行离散[35-36],从而得到

(47)

(48)

其中

ηξ=cos[(2ξ-1)π/(2N)],ζt=cos(πt/N),t=1,2,…,N-1,

在求解m值时,需要将方程式(38)写成差值形式[28-34],然后利用二分法进行迭代,其差值形式如下:

(49)

对式(39)进行离散,从而得到

(50)

对式(40)进行离散,从而得到

(51)

其中

Z1(ηl)=cos(saηl)-cos[sa(1 000-ηl)],Z1(ηξ)=cos(saηξ)-cos[sa(1 000-ηξ)],

Z2(mη)=cos(samη)-cos[sa(1 000-mη)]．

3 算例分析与讨论

首先对本文所建立的二维无摩擦黏附接触模型进行退化,目的在于验证其科学有效．去掉式(25)—(30)中的黏附项,然后采用Erdogan-Gupta的计算方法[35-36]和文献[18]中相同的材料参数(基底由PZT-4压电陶瓷制成,具体参数见表1)进行数值求解,计算选取N=30,涂层厚度h=0.01 m,圆柱压头半径R=0.08 m,法向荷载P=103N/m,电荷Γ=10-6C/m．从而得到如图3(a)和3(b)所示的接触应力、电荷分布曲线．可以看出,本文的数值结果与文献[18]给出的结果完全吻合,说明本文所建立的模型和计算方法是合理可靠的．

表1 PZT-4压电陶瓷的材料参数

(a) 接触应力分布 (b) 电荷分布 (a) Contact stress distribution (b) Charge distribution

本文计算和分析刚性圆柱导电压头作用下FGPM涂层的二维无摩擦黏附接触问题．计算时黏附功w取0.1 J/m,圆柱压头半径R取0.025 m,涂层厚度h取0.01 m,数值计算结果如下文所示．

图4给出了梯度参数βh=0时,不同的黏附应力σ0下,比值m与接触半径a(图4(a))、接触半径a与法向荷载P(图4(b))、应力分布p(x)(图4(c))、电荷分布e(x)(图4(d))、法向荷载P与压痕深度δ0(图4(e))、法向荷载P与电势φ0(图4(f))的关系曲线．从图4(a)中可以看出:随着接触半径的逐渐增大,黏附区与接触区的比值m逐渐减小并趋近于1,这与Chen等[9]和Li等[29,31,34]的结论相同;对于相同的接触半径,随着黏附应力的增大,比值m减小,且在接触半径较小时,黏附应力对比值m的影响较大．从图4(b)中可以看出:当黏附应力较大时,随着接触半径的增大,法向荷载由某一值(由压电效应所产生)趋于一负的极大值(即临界拉脱力,主要由黏附效应引起),之后由拉力(负值)逐渐过渡到压力(正值)并逐渐增大;当黏附应力逐渐减小时,黏附效应引起的临界拉脱力逐渐变小,为Hertz压电接触时,黏附效应完全消失,此时的临界拉脱力为零;当法向荷载为压力时,随着黏附应力的逐渐减小,产生相同的接触半径所需的法向荷载增大．

(a) m-a (b) a-P

图4(c)表示接触半径a=9×10-5m时,涂层接触表面的应力分布曲线,在涂层表面与压头接触区边缘处(x=9×10-5m)的应力值等于黏附应力值．由于黏附区大于接触区(m>1),且在相同的接触区情况下,不同的黏附应力所对应的黏附区不同,因此本文只给出了接触区的应力．从图4(c)中可以看出:随着黏附应力的逐渐减小,涂层表面的拉应力在减小,压应力在增大,此结论与Li等[29-34]的研究结论一致．从图4(d)中可以看出:电荷分布几乎不受黏附应力变化的影响,即黏附效应对电荷分布的影响作用甚微．从图4(e)中可以看出:当黏附应力较大时,压痕深度由某一值(压电效应所引起)趋于一个极值(最大的负值,临界拉脱力所对应的压痕深度),之后由负值变为正值并逐渐增大;随着黏附应力的减小,临界拉脱力所对应的压痕深度(负值)逐渐减小;当法向荷载为压力时,随着黏附应力的逐渐增大,产生相同的压痕深度(正值)所需的法向荷载增大．从图4(f)中可以看出:当黏附应力较大时,电势由某一值(压电效应所引起)趋于一个极值(最大的负值,临界拉脱力所对应的电势),之后由负值变为正值并逐渐增大;随着黏附应力的减小,临界拉脱力所对应的电势(负值)逐渐减小．当法向荷载为压力时,随着黏附应力的逐渐增大,产生相同的电势(正值)所需的法向荷载增大．

图5给出了黏附应力σ0=20 MPa时,不同的梯度参数βh下,比值m与接触半径a(图5(a))、接触半径a与法向荷载P(图5(b))、应力分布p(x)(图5(c))、电荷分布e(x)(图5(d))、法向荷载P与压痕深度δ0(图5(e))、法向荷载P与电势φ0(图5(f))的关系曲线．从图5(a)中可以看出:随着接触半径的逐渐增大,比值m逐渐减小并趋近于1;对于相同的接触半径,随着梯度参数的增大,比值m增大;且在接触半径较小时,梯度参数对比值m的影响较大．从图5(b)中可以看出:当梯度参数较小时,随着接触半径的增大,法向荷载由某一值(由压电效应所产生)趋于一个负值的极大值(临界拉脱力,主要由黏附效应引起),之后由拉力逐渐过渡到压力并逐渐增大;当梯度参数逐渐增大时,黏附效应引起的临界拉脱力逐渐减小;相同法向压力作用下,接触半径将随着梯度参数的增大而减小．

(a) m-a (b) a-P

从图5(c)中可以看出:随着梯度参数的逐渐增大,涂层表面的压应力增大．从图5(d)中可以看出:受压区(应力为正)的电荷分布随着梯度参数的增大而增大,而受拉区(应力为负)的电荷分布则随着梯度参数的增大而减小．从图5(e)中可以看出:当梯度参数较小时,压痕深度由某一值趋于一个极值(临界拉脱力所对应的压痕深度),之后由负值变为正值且逐渐增大;随着梯度参数的增大,临界拉脱力所对应的压痕深度(负值)逐渐减小．

从图5(f)中可以看出:当梯度参数较小时,电势由负值变为正值并逐渐增大;随着梯度参数的增大,临界拉脱力所对应的电势(负值)逐渐减小．

图6给出了黏附应力σ0=30 MPa时,不同的电荷Γ作用下,比值m与接触半径a(图6(a))、接触半径a与法向荷载P(图6(b))、应力分布p(x)(图6(c))、电荷分布e(x)(图6(d))、法向荷载P与压痕深度δ0(图6(e))、法向荷载P与电势φ0(图6(f))的关系曲线．从图6(a)中可以看出:随着接触半径的逐渐增大,比值m逐渐减小并趋近于1;对于相同的接触半径,正电荷比负电荷所对应的比值m要大;且在接触半径越小时影响越明显．

(a) m-a (b) a-P

从图6(b)中可以看出:当受足量正电荷(Γ=10-6C/m)作用时,随着接触半径的增大,法向荷载由拉力逐渐过渡到压力并逐渐增大;当受足量负电荷(Γ=-10-6C/m)作用时,法向荷载由某一值(由压电效应所产生)趋于一负的极大值(临界拉脱力,主要由黏附效应引起),之后由拉力逐渐过渡到压力并逐渐增大．从图6(c)和6(d)中可以看出:足量正电荷作用下涂层表面的应力和电荷分布比等电量负电荷作用下要大,且对电荷分布的影响更明显．从图6(e)中可以看出:相同法向压力作用下,带足量正电荷的压头所产生的压痕深度相对大,而带等电量负电荷的压头所产生的压痕深度相对小,说明所带的正电荷助长了压头的压入,而所带的负电荷则抑制了压头的压入;相同法向拉力作用下,结果反之．从图6(f)中可以看出:相同法向压力作用下,带足量正电荷的压头所产生的电势相对小,而带等电量负电荷的压头所产生的电势相对大;相同法向拉力作用下,结果亦反之．

4 结 论

综上所述,可得出如下结论:

1) 对本文所建立的黏附接触模型进行退化求解,其结果与Ke等[18]给出的结果完全吻合,且本文黏附接触模型的计算结果与Chen等[9]和Li等[29,31,34]的结果一致．

2) 当黏附应力逐渐减小时,临界拉脱力及其所对应的压痕深度和电势在减小,涂层表面的拉应力减小,压应力增大;当法向荷载为压力时,随着黏附应力的逐渐增大,产生相同的压痕深度和电势所需的法向荷载增大,而产生相同的接触半径所需的法向荷载减小．

3) 当梯度参数逐渐增大时,黏附效应引起的临界拉脱力逐渐减小,临界拉脱力所对应的压痕深度和电势减小,受拉区的电荷分布减小,而涂层表面的压应力和受压区的电荷分布增大;相同法向压力作用下,接触半径将随着梯度参数的增大而减小．

4) 足量正电荷作用下涂层表面的接触应力和电荷分布比等电量负电荷作用下要大,且对电荷分布的影响更明显;相同法向压力作用下,带足量正电荷的压头所产生的压痕深度相对大,所产生的电势相对小,而带等电量负电荷的压头所产生的压痕深度相对小,所产生的电势相对大;相同法向拉力作用下,反之．

5) 接触半径越小,黏附应力、梯度参数和压头带电量对比值m的影响越显著,说明接触区趋于微尺度时,黏附作用更加明显．

因此,可以通过合理设计FGPM涂层的梯度参数和黏附参数来改变压电材料表面的黏附接触行为,进而达到抑制压电器件接触损伤和破坏的目的．

附 录 A

在平面应变状态下,横观各向同性FGPM的本构关系为[17-18,23]

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

式中,j=1,2,其中1表示涂层,2表示基底;σxxj(x,z),σzzj(x,z),σxzj(x,z),Dxj(x,z)和Dzj(x,z)分别为涂层或基底的应力分量和电位移分量;uxj(x,z),uzj(x,z),φj(x,z)分别为涂层或基底沿x和z方向的位移分量以及电势．

忽略自重与体电荷,平衡方程和Maxwell’s方程可以表示为[17-18,23]

(A6)

(A7)

(A8)

将方程(A1)—(A5)代入到方程(A6)—(A8)中,可得到如下控制方程:

(A9)

(A10)

(A11)

其中,uxj,uzj,φj依次为uxj(x,z),uzj(x,z),φj(x,z)的简写形式．

式(A9)—(A11)对x进行Fourier积分变换得到域内表达式如下[17-18,23]:

(A12)

(A13)

(A14)

将式(A12)—(A14)联立求解,可得到涂层和基底在变换域内位移分量和电势的矩阵表达如下:

(A15)

(A16)

其中

(A17)

对式(A2)、(A3)、(A5)分别进行Fourier积分变换,然后代入式(A15),可得到功能梯度压电涂层(0≤z≤h)的位移分量、电势、应力分量和电荷分量在Fourier积分变换域内的矩阵表达[17-18,23]:

(A18)

其中

k,l=1,2,…,6,

[Al1(s)]=[A11(s)A21(s)A31(s)A41(s)A51(s)A61(s)]T,

[Tkl1(s,z)]=[T1l1(s,z)T2l1(s,z)T3l1(s,z)T4l1(s,z)T5l1(s,z)T6l1(s,z)]T．

Tkl1(s,z)表示矩阵[Tkl1(s,z)]中第k行和第l列的元素,展开形式如下:

T1l1(s,z)=enl1z,T2l1(s,z)=al1(s)enl1z,T3l1(s,z)=bl1(s)enl1z,

T4l1(s,z)=[c130is+c330al1(s)nl1+e330bl1(s)nl1]e(nl1+β)z,

T5l1(s,z)=[c440nl1+c440isal1(s)+e150isbl1(s)]e(nl1+β)z,

T6l1(s,z)=[e310is+e330al1(s)nl1-ε330bl1(s)nl1]e(nl1+β)z．

同理可得,均匀压电基底半空间的位移分量、电势、应力分量和电荷分量在Fourier积分变换域内的矩阵表达为[17-18,23]

(A19)

其中

k=1,2,…,6;l=4,5,6,

[Al2(s)]=[A42(s)A52(s)A62(s)]T,

[Tkl2(s,z)]=[T1l2(s,z)T2l2(s,z)T3l2(s,z)T4l2(s,z)T5l2(s,z)T6l2(s,z)]T,

T1l2(s,z)=enl2z,T2l2(s,z)=al2(s)enl2z,T3l2(s,z)=bl2(s)enl2z,

T4l2(s,z)=[c130is+c330al2(s)nl2+e330bl2(s)nl2]enl2z,

T5l2(s,z)=[c440nl2+c440isal2(s)+e150isbl2(s)]enl2z,

T6l2(s,z)=[e310is+e330al2(s)nl2-ε330bl2(s)nl2]enl2z．

为了确定式(A18)和式(A19)中的未知参变量Al1(s)(l=1,2,…,6)和Al2(s)(l=4,5,6),在接触表面(z=h)处,需满足如下边界条件[23]:

σzz1(x,h)=-δ(x)P,σxz1(x,h)=-δ(x)Q,Dz1(x,h)=-δ(x)Γ,

(A20)

其中,δ(x)为Dirac δ函数．在界面(z=0)处,位移分量、应力分量、电位移分量和电势需满足下列连续性条件[23]:

ux1(x,0)=ux2(x,0),uz1(x,0)=uz2(x,0),σzz1(x,0)=σzz2(x,0),

σxz1(x,0)=σxz2(x,0),Dz1(x,0)=Dz2(x,0),φ1(x,0)=φ2(x,0)．

(A21)

在Fourier积分变换域内,上述边界与连续性条件可表示成如下矩阵形式[23]:

H1T1(s,h)[Al1(s)]=[-P-Q-Г]T,

(A22)

[Tkl1(s,0)][Al1(s)]=[Tkl2(s,0)][Al2(s)]．

(A23)

将式(A22)和(A23)联立求解,可得到[Al1(s)]和[Al2(s)]的表达式[23]:

(A24)

(A25)

其中

V=[Tkl1(s,0)]-1[Tkl2(s,0)],Vm=H1[Tkl1(s,h)]V．

将式(A24)代入式(A18)中,然后进行Fourier逆变换,可得到[23]

(A26)

从式(A26)中提取出涂层表面(z=h)处位移分量和电势的表达式[23]:

(A27)

其中

对矩阵F(s,h)进行渐进性分析[23],得到

(A28)

于是,式(A27)可表示为[23]

(A29)

其中

根据Euler公式和奇偶性以及下列变换关系:

eisx=cos(sx)+isin(sx),F1l(-s,h)=(-1)lF1l(s,h),l=1,2,3,

(A30)

F2l(-s,h)=(-1)l+1F2l(s,h),F3l(-s,h)=(-1)l+1F3l(s,h),

(A31)

(A32)

由式(A29)可导出表面(z=h)处位移分量和电势的基本解为[23]

(A33)

(A34)

(A35)

式(A33)—(A35)为FGPM涂层和均匀压电基底半空间在法向、切向集中力P,Q和正集中线电荷Г作用下的二维接触问题的基本解．特别地,当不考虑摩擦时,式(A33)—(A35)中包含切向集中力Q的项将消失,可得到FGPM涂层和均匀压电基底半空间在法向集中力P和正集中线电荷Г作用下的二维无摩擦接触问题的基本解为[18]

(A36)

(A37)

(A38)

当FGPM涂层和均匀压电基底为同一材料时,式(A33)—(A35)中的梯度项将全部消失,可得均匀压电半空间接触问题的基本解为[23]

(A39)

(A40)

(A41)